一類有限時(shí)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)及其在飛控系統(tǒng)中的應(yīng)用

萬 兵，李 飛，戴洪德

（海軍航空工程學(xué)院a.控制工程系；b.研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001）

一類有限時(shí)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)及其在飛控系統(tǒng)中的應(yīng)用

萬 兵a，李 飛b，戴洪德a

（海軍航空工程學(xué)院a.控制工程系；b.研究生管理大隊(duì)，山東煙臺(tái)264001）

文章針對(duì)強(qiáng)可觀系統(tǒng)提出了一種有限時(shí)間全階未知輸入觀測(cè)器（Unknown Input Observer，UIO）。首先，設(shè)計(jì)2個(gè)獨(dú)立的全階UIO，其特征值滿足一定的要求；其次，合并這2個(gè)觀測(cè)器得到新的有限時(shí)間觀測(cè)器，并且能夠在預(yù)先設(shè)定的時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入，并借助超螺旋微分器重構(gòu)了未知輸入；最后，用一個(gè)飛控系統(tǒng)例子詮釋了算法的有效性。

全階觀測(cè)器；未知輸入觀測(cè)器；有限時(shí)間；微分器

未知輸入觀測(cè)器能夠消除干擾的影響，并且能夠重構(gòu)未知輸入。在現(xiàn)代控制系統(tǒng)中，未知輸入觀測(cè)器已被廣泛應(yīng)用于反饋控制、系統(tǒng)監(jiān)控、過程辨識(shí)和故障診斷等領(lǐng)域。文獻(xiàn)[1]首先提出了未知輸入觀測(cè)器的概念，此后，該理論得到了一定發(fā)展[2-8]。文獻(xiàn)[2]通過簡(jiǎn)單的坐標(biāo)變換設(shè)計(jì)了降階觀測(cè)器，狀態(tài)被分解為受干擾影響和不受干擾影響的2部分；此外，文獻(xiàn)[3]又提出了另外一種降階觀測(cè)器。當(dāng)干擾和執(zhí)行器故障同時(shí)存在時(shí)，系統(tǒng)方程可被分解為3個(gè)子系統(tǒng)[5]，且狀態(tài)、故障和干擾能夠同時(shí)得到重構(gòu)。文獻(xiàn)[6-7]設(shè)計(jì)了全階未知觀測(cè)器，消除了未知輸入影響，并且保證了觀測(cè)器誤差的漸近收斂；針對(duì)非最小相位系統(tǒng)，系統(tǒng)狀態(tài)也能夠得到精確的估計(jì)[8]。

大多數(shù)UIO只能保證觀測(cè)器誤差的漸近收斂，然而，在有些系統(tǒng)中，卻要求系統(tǒng)狀態(tài)在有限時(shí)間之內(nèi)得到估計(jì)[9]。有限時(shí)間收斂特性意味著更快的收斂速度和更高的精度[10]。針對(duì)線性系統(tǒng)，一類觀測(cè)器通過設(shè)計(jì)2個(gè)獨(dú)立的觀測(cè)器，能夠在預(yù)先設(shè)定時(shí)間內(nèi)準(zhǔn)確估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)[11]。此后，該類觀測(cè)器成功地應(yīng)用到非線性系統(tǒng)[12]和線性時(shí)變系統(tǒng)[13]。對(duì)于非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)[4]通過增加線性誤差反饋項(xiàng)，提出了一種全局有限時(shí)間收斂觀測(cè)器。

當(dāng)存在干擾或故障時(shí)，一類魯棒有限時(shí)間觀測(cè)器得到了發(fā)展[13-14]，該觀測(cè)器基于降階UIO，因而其只能處理未知輸入維數(shù)小于輸出維數(shù)的情形。為了擴(kuò)大魯棒有限時(shí)間觀測(cè)器的使用范圍，本文提出了一種全階有限時(shí)間UIO，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入進(jìn)行了精確快速的估計(jì)，通過引入飛控系統(tǒng)例子，驗(yàn)證了算法的有效性。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下線性系統(tǒng)：

不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)（1）滿足觀測(cè)器匹配條件rank(D)=rank(CD)=q，且rank(C)=p，p≥q，同時(shí)假設(shè)系統(tǒng)是強(qiáng)可觀測(cè)的。

定義1：[15]系統(tǒng)（1）是強(qiáng)可觀的，如果對(duì)于所有的x0∈和任意的未知輸入ξ(t)，下面的陳述成立：意味著x0≡0。

定義2：[16]s0∈被稱作系統(tǒng)（1）的不變零點(diǎn)，如果rank?R(s0)＜n+rank(D)，其中R(s)是系統(tǒng)Σ的Rosenbrock矩陣：

引理1：[15]下面的陳述是等價(jià)的。

Ⅰ）系統(tǒng)（1）強(qiáng)可觀測(cè)；

Ⅱ）系統(tǒng)（1）的Rosenbrock矩陣沒有不變零點(diǎn)。

本文的任務(wù)是構(gòu)建一個(gè)有限時(shí)間收斂觀測(cè)器，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)和未知輸入在有限時(shí)間內(nèi)的精確估計(jì)。

2 有限時(shí)間觀測(cè)器設(shè)計(jì)

本節(jié)進(jìn)行有限時(shí)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì)。有限時(shí)間觀測(cè)器的基礎(chǔ)是全階UIO，因而設(shè)計(jì)過程分為2部分：首先，根據(jù)文獻(xiàn)[6-7]生成2個(gè)漸進(jìn)收斂UIO；然后，利用全階UIO的當(dāng)前時(shí)刻值和過去時(shí)刻值估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)。

2.1 全階UIO構(gòu)建

代表系統(tǒng)（1）的2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)全階UIO，wi∈,(i=1,2)是狀態(tài)估計(jì)值，Ni、Li、G、E為待設(shè)計(jì)的未知矩陣，且需使wi漸進(jìn)收斂到x。

考慮觀測(cè)器誤差ei=wi-x，其動(dòng)態(tài)方程為

式（3）中：i=1,2；P=In+EC，那么方程（3）中的矩陣需滿足條件1和條件2。

條件1：

條件2：Ni為穩(wěn)定矩陣，i=1,2。

那么式（3）可以簡(jiǎn)化為

根據(jù)文獻(xiàn)[6]，設(shè)計(jì)穩(wěn)定觀測(cè)器的充分必要條件由以下定理給出。

定理1：[6]對(duì)系統(tǒng)（1），當(dāng)且僅當(dāng)下列條件滿足時(shí)，觀測(cè)器（2）存在：

定理 2：[6]若 rank(CD)=rank(D)=q且rank(P)=n-q，則下列條件等價(jià)：

Ⅰ）(PA,C)可檢測(cè)；

注2：從定理2的證明過程可以看出[6]，經(jīng)過非奇異變換，條件Ⅲ）和條件Ⅱ）的矩陣相等，因此若放開Re(s)≥0的限制，條件Ⅱ）和條件Ⅲ）依然等價(jià)，此時(shí)條件Ⅱ）、Ⅲ）變成了強(qiáng)可觀測(cè)條件。

注3：根據(jù)注1和注2可得，若滿足先列條件：

Ⅰ）系統(tǒng)（1）是強(qiáng)可觀測(cè)的；

Ⅱ）rank(P)=n-q；

Ⅲ）rank(CD)=rank(D)=q，

則穩(wěn)定觀測(cè)器（2）存在，因此矩陣Ni=PA-KiC的特征值可任意配置，這樣就可以通過選擇合適的矩陣Ki，構(gòu)建兩個(gè)滿足要求的全階觀測(cè)器。

2.2 系統(tǒng)狀態(tài)的有限時(shí)間估計(jì)

構(gòu)建穩(wěn)定觀測(cè)器（2）后，令：

式（6）中，Li=Ki-NiE。

式中，H通過下述定理3得到。

注4：由于存在時(shí)延τ，若觀測(cè)器初始時(shí)間為t0，則經(jīng)過t≥t0+τ后可以獲得精確估計(jì)，即(t)=x(t)(?t≥t0+τ)，且估計(jì)誤差e(t)=(t)-x(t)在區(qū)間?t∈[t0,t0+τ]是有界的。下文將對(duì)觀測(cè)器（7）作進(jìn)一步設(shè)計(jì)。

定理3：τ和Ki的選擇滿足：

Ⅱ）det[T,eNˉτT]≠0。

證明：對(duì)t≥t0，有：

根據(jù)式（4）可得

3 未知輸入重構(gòu)

由于系統(tǒng)（1）滿足觀測(cè)器匹配條件rank(CD)=rank(D)=q，因而存在矩陣Mce滿足：

將系統(tǒng)（1）的狀態(tài)方程兩側(cè)同時(shí)乘以MceC可得：

因此，未知輸入ξ可由下式重構(gòu)：

式（17）中需要計(jì)算輸出y的導(dǎo)數(shù)。由于實(shí)時(shí)微分已經(jīng)得到深入研究，主要困難在于微分器對(duì)輸入噪聲的敏感性。無噪聲情況下，超螺旋微分器[17]可以在有限時(shí)間內(nèi)精確收斂。另一方面，當(dāng)存在一致有界噪聲時(shí)（上界ε），若輸出信號(hào)的二階導(dǎo)數(shù)有界，則超螺旋微分器的精度正比于ε1/2。

超螺旋微分器表示如下：

式中，k、k2可根據(jù)文獻(xiàn)[17]選擇。對(duì)式（18）所述微分器，無噪聲條件下，存在ts＞0使得：

式中，t≥ts。

理論上在無噪聲情況下，σ2可在有限時(shí)間內(nèi)收斂到輸出y的真實(shí)導(dǎo)數(shù)，因而可根據(jù)式（17）在有限時(shí)間內(nèi)得到未知輸入ξ。

4 仿真示例

考慮巡航飛行條件下L-1011的橫軸模型【18】，對(duì)應(yīng)系統(tǒng)（1）的系統(tǒng)矩陣為：

狀態(tài)x=[? r p βx5]T表示傾斜角/(°)、偏航角速度/((°)/s)、滾轉(zhuǎn)角速度((°)/s)、側(cè)滑角/(°)和濾波器狀態(tài)/(°)。輸入u=[δrδa]T表示舵偏轉(zhuǎn)角/(°)和副翼偏轉(zhuǎn)角/(°)，輸出y=[rwop β ?]T表示偏航角速度((°)/s)、滾轉(zhuǎn)角速度((°)/s)、側(cè)滑角/(°)和傾斜角/(°)。

條件Ⅲ）表明系統(tǒng)（1）強(qiáng)，可觀測(cè)，根據(jù)注3，可構(gòu)建2個(gè)穩(wěn)定全階觀測(cè)器以滿足需求，再選擇Ki(i =1,2)以滿足引理2。采樣時(shí)間間隔設(shè)置為0.001 s，初始狀態(tài)為x0=[0 .1 0.2 -0.1 0.05 0.08]T，收斂時(shí)間選為τ=0.05。

仿真圖見1～3，縱坐標(biāo)表示誤差比，計(jì)算方法為（估計(jì)值-真實(shí)值）/真實(shí)值。

圖1 有限時(shí)間UIO的狀態(tài)估計(jì)誤差比Fig.1 Errors ratio of state estimation with finite-time UIO

圖2 全階UIO的狀態(tài)估計(jì)誤差比Fig.2 Errors ratio of state estimation with full-order UIO

圖3 有限時(shí)間UIO狀態(tài)估計(jì)誤差比Fig.3 Detail of state estimation errors ratio with finite-time UIO

圖1 、2分別展示了采用有限時(shí)間UIO和全階UIO的狀態(tài)估計(jì)誤差比。圖3展示了采用有限時(shí)間觀測(cè)器的狀態(tài)估計(jì)誤差比細(xì)節(jié)，可以看到在0.05 s之前，狀態(tài)由全階UIO估計(jì)。圖1、3表明經(jīng)過預(yù)先設(shè)置的收斂時(shí)間后，觀測(cè)誤差為0。同時(shí)，圖1、2的對(duì)比可以看出全階UIO（2）的漸進(jìn)收斂與本文提出的觀測(cè)器（7）的有限時(shí)間收斂的不同。在滿足引理2的條件下，收斂時(shí)間可以任意定制。

圖4展示了根據(jù)式（17）重構(gòu)的未知輸入，其中微分器采用基于歐拉算法的超螺旋算法，測(cè)量間隔和積分步長(zhǎng)均為0.001 s，參數(shù)k1=5，k2=16。可以看出估計(jì)的未知輸入可以快速跟蹤到真實(shí)輸入。

圖4 未知輸入估計(jì)Fig.4 Unknown input estimation

5 結(jié)論

利用本文提出的觀測(cè)器，強(qiáng)可觀線性系統(tǒng)可以在任意預(yù)先設(shè)置的有限時(shí)間內(nèi)精確估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)和未知輸入。注3中的充分條件保證了全階UIO的特征值可以任意配置。特征值滿足引理2中條件的2個(gè)觀測(cè)器可以組合構(gòu)建有限時(shí)間UIO。估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)后，利用輸出的微分可以重建未知輸入。仿真結(jié)果表明，經(jīng)過有限時(shí)間后，本文所提出的觀測(cè)器可以精確估計(jì)出系統(tǒng)狀態(tài)，且快速跟蹤到未知輸入。

[1]BASILE G，MARRO J.On the observability of linear time-invariant systems with unknown inputs[J].Journal of Optimization Theory and Applications，1969，3（6）：410-415.

[2]HOU M，MüLLER P C.Design of observers for linear systems with unknown inputs[J].IEEE Transactions on Automatic Control，1992，37（6）：871-875.

[3]BOUBAKER O.Robust observers for linear systems with unknown inputs：a review[J].International Journal on Automatic Control and System Engineering，2005，5（5-2）：45-51.

[4]MENARD T，MOULAY E，PERRUQUETTI W.A global high-gain finite-time observer[J].IEEE Transaction on Automatic Control，2010，55（6）：1500-1506.

[5]PARK T G.Estimation strategies for fault isolation of lin-ear systems with disturbances[J].IET Control Theory and Applications，2010，4（12）：2781-2792.

[6]DAROUACH M，ZASADZINSKI M，XU S J.Full-order observers for linear systems with unknown inputs[J]. IEEE Tronsactions on Automatic Control，1994，39（3）：606-609.

[7]DAROUACH M.Complements to full order observers design for linear systems with unknown inputs[J].Applied Mathematics Letters，2009，7（22）：1107-1111.

[8]CHEN M S，CHEN C C.Unknown input observer for linear non-minimum phase systems[J].Journal of the Franklin Institute，2010，347（2）：577-588.

[9]LEBASTARD V，AOUSTIN Y，PLESTAN F.Finite time observer for absolute orientation estimation of a five-link walking biped robot[C]//American Control Conference. Minneapolis：IEEE.2006.

[10]DU H，QIAN C，YANG S.Recursive design of finitetime convergent observers for a class of time-varying nonlinear systems[J].Automatica，2013，49（2）：601-609.

[11]ENGEL R，KREISSELMEIER G.A continuous-time observer which converges in finite time[J].IEEE Transactions onAutomatic Control，2002，47（7）：1202-1204.

[12]SAUVAGE F，GUAY M，DOCHAIN D.Design of a nonlinear finite-time converging observer for a class of nonlinear systems[J].Journal of Control Science and Engineering，2007，Article ID：36954.doi:10.1155/2007/ 36594.

[13]MENOLD P H，F(xiàn)INDEISEN R，ALLGOWER F.Finite time convergent observers for linear time-varying systems [C]//Proceedings of the 11thMediterranean Conference on Control andAutomation.Rhodos.2003.

[14]LEE K S，PARK T G.New results on fault reconstruction using a finite-time converging unknown observer[J].IET Control Theory andApplications，2012，6（9）：1258-1269.

[15]HAUTUS M.Strong detectability and observers[J].LinearAlgebra and itsApplications，1983，50：353-368.

[16]FRIDMAN L，LEVANT A，DAVILA J.Observation of linear systems with unknown inputs via high-order sliding-mode[J].International Journal of Systems Science，2007，38（10）：773-791.

[17]LEVANT A.High-order sliding modes，differentiation and output-feedback control[J].International Journal of Control，2003，76（9-10）：924-941.

[18]EDWARDS C，SPURGEON K S.On the develop of discontinuous observers[J].International Journal of Control，1994，59（5）：1211-1229.

A Finite-Time Observer Design and Its Application on Flight Control System

WAN Binga,LI Feib,DAI Hongdea
（Naval Aeronautical and Astronautical University a.Department of Control engineering; b.Graduate Students’Brigade,Yantai Shandong 264001,China）

In this paper,the finite-time full order unknown input observer(UIO)for strongly observable systems was pro?posed.Firstly,two distinct full order UIOs,the eigenvalues of which met some demand were designed.Secondly,combin?ing the two UIOs,the finite-time UIO could exactly estimate the states after arbitrarily pre-defined time.Thirdly,the un?known inputs was reconstructed with super-twisting algorithm differentiator.Finally,a numerical example illustrated the effectives of the proposed observer.

full order observer;UIO;finite-time;differentiator

TP273；V227

A

1673-1522（2015）05-0452-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2015.05.011

2015-05-10；

2015-07-22

萬 兵（1985-），男，碩士。