基于正交小波變換的目標(biāo)檢測(cè)方法

孫宏巖

（海軍裝備部航空技術(shù)保障部，北京100071）

基于正交小波變換的目標(biāo)檢測(cè)方法

孫宏巖

（海軍裝備部航空技術(shù)保障部，北京100071）

理論分析表明，獨(dú)立高斯噪聲經(jīng)過正交小波變換后保持方差和獨(dú)立性不變。基于Mallat的小波多分辨分析，通過對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行平方律處理，建立了基于正交小波變換的恒虛警率檢測(cè)器模型，推導(dǎo)了相應(yīng)的虛警和檢測(cè)概率公式，分析了噪聲未知情況下小波系數(shù)序列長(zhǎng)度對(duì)檢測(cè)性能的影響，并給出了合適的長(zhǎng)度值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提出的檢測(cè)器能滿足不同虛警概率和雜波背景的要求，具有較好自適應(yīng)性。

信號(hào)檢測(cè)；正交小波變換；多分辨分析；高斯噪聲

具有自動(dòng)檢測(cè)的智能化雷達(dá)是現(xiàn)代雷達(dá)的發(fā)展趨勢(shì)，而自動(dòng)檢測(cè)過程的一個(gè)重要部分是恒虛警率（CFAR）處理[1-3]。CFAR設(shè)計(jì)的目的是提供相對(duì)來說可以避免噪聲背景雜波和干擾變化影響的檢測(cè)閾值，并且當(dāng)與到達(dá)的樣本進(jìn)行比較時(shí)，使目標(biāo)檢測(cè)具有恒定的虛警概率。另一方面，自從Donoho提出基于小波變換的軟閾值消噪方法[4]以來，小波變換在信號(hào)檢測(cè)方面顯示了巨大的潛力，至今已在信號(hào)分析、圖像處理、量子力學(xué)、雷達(dá)、計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別、數(shù)據(jù)壓縮、邊緣檢測(cè)等方面得到了廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)的CFAR方法多在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行處理[5-7]，關(guān)于頻域CFAR處理也提出過一定的方法[8]。小波變換是一種時(shí)間窗和頻率窗都可改變的時(shí)頻局部分析方法，在處理非平穩(wěn)信號(hào)方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。針對(duì)雷達(dá)信號(hào)的非平穩(wěn)性，研究小波域CFAR處理方法具有重要意義。

本文首先對(duì)含高斯噪聲信號(hào)進(jìn)行正交小波多尺度分析，基于高斯噪聲在小波域中的特性，通過對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行平方律處理，建立了基于正交小波變換的恒虛警率（OW-CFAR）檢測(cè)器模型，并給出了相應(yīng)的虛警和檢測(cè)概率公式，分析了信號(hào)小波系數(shù)序列長(zhǎng)度對(duì)檢測(cè)性能的影響。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明了該方法在不同虛警概率和雜波背景下的有效性和自適應(yīng)性。

1 高斯噪聲在正交小波域中的特性

離散小波變換（DWT）能用尺度函數(shù)?(t)和小波函數(shù)ψ(t)的平移和伸縮形式來表示信號(hào)x(t)。對(duì)于給定的尺度函數(shù)及其對(duì)應(yīng)的小波函數(shù)，它們應(yīng)滿足雙尺度方程[9]：

式（1）、（2）中：h(n)和g(n)為多分辨分析中定義的共軛低通和高通濾波器的系數(shù)；t表示連續(xù)變量。

正交小波變換的h(n)還必須滿足如下條件[10]：

式（3）中：l表示非負(fù)整數(shù)；“-”表示取共軛，而h(n)與g(n)之間存在如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

以下用hn和gn表示h(n)和g(n)，則正交離散小波變換的多分辨分析可以表示為：

式（6）、（7）中：vj,k和wj,k分別表示尺度 j下平移位置k處的尺度系數(shù)和小波系數(shù)，較大的 j值對(duì)應(yīng)于粗分辨尺度；v0,n表示原始的輸入信號(hào)序列x(n)。

實(shí)際應(yīng)用中，為了計(jì)算尺度系數(shù)和小波系數(shù)，一般采用Mallat算法[11]，其結(jié)構(gòu)框圖如圖1所示?；谠撍惴ǎ鶕?jù)式（7）可以利用 j-1水平下的尺度系數(shù)vj-1，通過卷積獲得 j水平下的小波系數(shù)wj，對(duì)所得系數(shù)進(jìn)行基數(shù)為2的下采樣最終獲得小波系數(shù)。

圖1 Mallat算法的框圖Fig.1 Schematic of Mallat algorithm

為了進(jìn)一步進(jìn)行目標(biāo)檢測(cè)，首先分析獨(dú)立高斯噪聲經(jīng)過正交小波變換后的特性。假設(shè)噪聲序列N(n)是零均值方差為的獨(dú)立高斯噪聲采樣值。若輸入信號(hào)為{N(n)}，由式（7）知，尺度 j=1時(shí)的噪聲小波系數(shù)表示為：

式中，上標(biāo)N表示噪聲。

噪聲小波系數(shù)的均值為：

由于噪聲是相互獨(dú)立的，結(jié)合式（5）、（7）可知，在尺度j=1時(shí)的噪聲小波系數(shù)的相關(guān)系數(shù)為：

式（10）中，n、m、l均為整數(shù)。

同理，由式（3）、（6）可知，尺度j=1時(shí)的尺度系數(shù)的相關(guān)系數(shù)為：

由式（10）、（11）的結(jié)論可知，基于Mallat的小波快速分解算法，利用式（6）、（7）進(jìn)行迭代運(yùn)算，所得的高斯噪聲的小波系數(shù)依然是零均值方差為的獨(dú)立高斯序列。

2 基于正交小波變換的檢測(cè)器

本節(jié)給出了一種基于正交小波變換的OW-CFAR檢測(cè)器：首先，將雷達(dá)回波信號(hào)經(jīng)過正交小波變換，對(duì)尺度j下的小波系數(shù)進(jìn)行平方律處理；然后，將所得結(jié)果進(jìn)行OW-CFAR檢測(cè)，超過檢測(cè)門限的小波系數(shù)被認(rèn)為是目標(biāo)信號(hào)的小波系數(shù)，經(jīng)過處理后加以保留，否則被認(rèn)為是噪聲的小波系數(shù)而被剔除；最后，對(duì)處理后的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)得到檢測(cè)出的信號(hào)。

雷達(dá)信號(hào)X(n)一般有2個(gè)可能的分量[12]，即目標(biāo)信號(hào)S(n)和雜噪信號(hào)N(n)。在有目標(biāo)存在的條件下有

在無目標(biāo)存在的條件下有

因此，X(n)可以被看作是來自于2個(gè)不同隨機(jī)過程之一的樣本函數(shù)[13]。其一表示目標(biāo)不存在情況下的樣本X0(n)；其二表示信號(hào)和噪聲同時(shí)存在條件下的樣本X1(n)。

由上一節(jié)的分析可知，獨(dú)立高斯噪聲經(jīng)過離散正交小波變換后保持了原有的方差和獨(dú)立性。因此，可以假設(shè)在一定的小波分解尺度 j下，回波信號(hào)的小波系數(shù)表示為：

式（14）、（15）中：H0表示無目標(biāo)存在的假設(shè)；H1表示有目標(biāo)存在的假設(shè)；和分別表示目標(biāo)信號(hào)和噪聲在尺度j下的小波系數(shù)。

在H0的假設(shè)下，λ′是總的背景雜噪平均功率水平，用μ表示；在H1的假設(shè)下，λ′是μ(1+λ)。其中，λ是目標(biāo)與雜噪平均功率比。于是有：

在均勻雜波背景中，參考單元采樣是獨(dú)立同分布的，且其對(duì)應(yīng)的λ′均為μ。不失一般性，用Gk來表示，假設(shè)在尺度 j下小波系數(shù)序列長(zhǎng)度為M，定義Sq為：

若在背景雜波功率水平μ確知的條件下進(jìn)行最優(yōu)檢測(cè)，則只需要一個(gè)固定閾值Z0來判定目標(biāo)是否存在，這時(shí)的虛警概率為：

式中，Z0是固定的最優(yōu)閾值。

最優(yōu)檢測(cè)的檢測(cè)概率Pd為：

在背景雜波功率水平μ未知的情況下，由于閾值Zq=T?Sq是一個(gè)隨機(jī)變量，因而可以用其統(tǒng)計(jì)特征將虛警概率表示為：

在第q個(gè)濾波器的輸出端利用閾值Zq進(jìn)行判決。在給定p0的條件下，可以得到標(biāo)稱化因子T。為了方便比較，這里保持虛警率恒定，即

式（22）中，PFA表示總的虛警概率。

將式（22）代入式（21）可以確定T。同理可得未知噪聲功率水平下的檢測(cè)概率PD為：

在噪聲功率水平已知和未知2種情況下，分別利用式（19）、（20）和式（21）、（23），比較不同M值時(shí)二者的檢測(cè)性能差異。假設(shè)2種情況的虛警概率相同，即

為方便比較，定義檢測(cè)概率差值PDiff，它表征了在相同的虛警概率和輸入信噪比條件下，噪聲功率水平已知和未知時(shí)檢測(cè)概率的差異大小，具體如下：

在尺度 j下，由式（18）、（21）可以確定閾值Zq=TSq，而小波閾值可確定為

根據(jù)式（26）所得閾值，可以利用Donoho的小波軟閾值處理[4]方法：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

利用上節(jié)提出的基于正交小波變換的OW-CFAR檢測(cè)器，在噪聲水平未知的情況下，對(duì)含高斯噪聲的雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)。其中，目標(biāo)信號(hào)S(n)為線性調(diào)頻信號(hào)，原始含噪信號(hào) X1(n)的信噪比為-0.108 6dB，信號(hào)長(zhǎng)度為1 024，如圖2所示。

圖2 目標(biāo)信號(hào)和高斯雜波背景下的信號(hào)Fig.2 Target signal and contaminated signal of Gaussian clutter

實(shí)驗(yàn)中，采用Matlab小波工具箱中的d6正交小波，分解層數(shù)為5，在不同虛警概率條件下，檢測(cè)后的信號(hào)如圖3所示，其中S2(n)、S4(n)和S6(n)分別是虛警概率PFA為10-2、10-4、10-6時(shí)的檢測(cè)信號(hào)。可以看出，隨著虛警概率的降低，檢測(cè)信號(hào)中所含噪聲分量越來越少，而且信號(hào)的高頻細(xì)節(jié)信息也得到了較好的保留。

圖3 高斯雜波背景下，不同虛警概率的檢測(cè)信號(hào)Fig.3 Detected signals with different false alarm probabilities of Gaussian clutter

利用該算法對(duì)瑞利雜波和韋布爾雜波背景下的雷達(dá)回波信號(hào)進(jìn)行處理[15]，原始信號(hào)X2(n)和X3(n)的檢測(cè)前信噪比分別為-0.241 9dB和0.160 9dB，虛警概率PFA為10-2、10-4、10-6時(shí)的檢測(cè)信號(hào)分別如圖4、5所示。由圖4、5中的處理結(jié)果可知，該檢測(cè)算法在瑞利雜波和韋布爾雜波背景下仍能有效的檢測(cè)信號(hào)，并較好的保留了細(xì)節(jié)信息，具有較好地魯棒性和自適應(yīng)特性。

圖4 瑞利雜波背景下，不同虛警概率的檢測(cè)信號(hào)Fig.4 Detected signals with different false alarm probabilities of Rayleigh clutter

圖5 韋布爾雜波背景下，不同虛警概率的檢測(cè)信號(hào)Fig.5 Detected signals with different false alarm probabilities of Weibull clutter

4 結(jié)論

本文對(duì)信號(hào)小波域CFAR方法進(jìn)行了初步的研究，由于獨(dú)立高斯噪聲經(jīng)過正交小波變換后保持方差和獨(dú)立性不變，在小波域中對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行平方律處理，接著建立小波域的OW-CFAR檢測(cè)器模型，推導(dǎo)了相應(yīng)的虛警概率和檢測(cè)概率公式，比較了噪聲未知情況下小波系數(shù)序列長(zhǎng)度M對(duì)檢測(cè)性能的影響，并給出了合適的M值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于小波變換的OWCFAR檢測(cè)器在不同虛警概率條件下能有效的檢測(cè)信號(hào)，具有較好的自適應(yīng)性。

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Target Detecting Method Based on Orthogonal Wavelet Transform

SUN Hongyan
（Aviation Technology Support Branch of NED,Beijing 100071,China）

Theoretical analysis shows that independent Gaussian noises keep the independence and variance after the or?thogonal wavelet transform.Applying a squarer to the output of the wavelet transform,an OW-CAFR(orthogonal wavelet?constant false alarm rate)detector based on Mallat algorithm was proposed.The probability equations of false alarm and de?tection were also deduced.The influence of the length of wavelet coefficients on detection performance was analyzed,and the appropriate length was given.Finally,the experiment results of signal detection demonstrated that the proposed method could detect the targets under different false alarm rate and cluster background effectively,which showed the adaptability.

signal detectio;orthogonal wavelet transform;multiresolution analysis;Gaussian noise

TN957

A

1673-1522（2015）05-0414-05

10.7682/j.issn.1673-1522.2015.05.003

2015-06-20；

2015-08-07

孫宏巖（1962-），女，高工，大學(xué)。