Mallat算法與單子帶重構(gòu)算法的分析比較

蘭華　李蘭

摘 要：主要論述了小波分析中的快速算法——Mallat算法和單子帶重構(gòu)算法。對(duì)Mallat分解起點(diǎn)的實(shí)用性、濾波器的濾波方法做了更加通俗的說明，并比較了Mallat算法與單子帶重構(gòu)算法的分析差別，論述了它們?cè)诟髯詫?shí)際工程中的應(yīng)用場(chǎng)合。

關(guān)鍵詞：小波分析；Mallat算法；單子帶重構(gòu)算法；濾波器

中圖分類號(hào)：TH123 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.15913/j.cnki.kjycx.2015.24.017

如果利用某種儀器測(cè)量信號(hào)，那么，鑒于精度（分別率）的限制，得到的信號(hào)只能是實(shí)際信號(hào)的一個(gè)近似表示，即可將f（t）看作屬于某個(gè)空間Vj。如果信號(hào)f（t）中有噪聲，例如某個(gè)尖峰信號(hào)，要想把信號(hào)濾掉（一般的噪聲頻率比有用信號(hào)的頻率高），就需要把f（t）中屬于Vj但不屬于更低一層空間Vj+1的部分去掉（濾波），這時(shí)就產(chǎn)生了小波的概念，即將信號(hào)映射到Vj+1上。

小波分析屬于時(shí)頻分析的一種，它具有多分辨分析（MRA—Multiresolution Analysis）的特點(diǎn)，而且在時(shí)域和頻域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，所以，被譽(yù)為“信號(hào)分析中的顯微鏡”。

多分辨分析為深刻理解小波原理和小波構(gòu)造提供了一個(gè)極好的框架。由多分辨分析理論發(fā)展出了小波分解和重構(gòu)的快速算法，它是法國(guó)學(xué)者M(jìn)allat最先提出來的，所以，被稱為“Mallat算法”。該算法能極大地減少小波變換的計(jì)算量，將小波理論與工程應(yīng)用聯(lián)系起來，使其走向更廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域。

1 Mallat算法分解起點(diǎn)分析

將具有某種性質(zhì)元素的集合或具有某種性質(zhì)的元素組成的一個(gè)類稱為空間。如果空間為V0=W1⊕V1=W1⊕W2⊕V2=W1⊕W2⊕…⊕WJ⊕VJ，那么，設(shè)f（t）為向量，f（t）∈V0空間，則f（t）=D1f（t）+D2f（t）+…+DJf（t）+AJf（t），f（t）在V0空間的投影系數(shù)C0=A0f，f（t）在Vj空間的投影系數(shù)Cj=Ajf.

采用Mallat算法分解V0空間的f（t），則有低頻分解概貌

部分Ajf= H（2t-k）Aj-1f，高頻分解細(xì)節(jié)部分Djf= H（2t-k）

Aj-1f.Mallat分解算法如圖1所示。

Mallat算法是分解系數(shù)的快速算法，很多人在使用Mallat算法時(shí)，都不太清楚其分析起點(diǎn)的真正意義，只是把采集到的f（t）數(shù)據(jù)直接輸入濾波器中分解，但并不知道為什么可以這樣做。

事實(shí)上，其分析起點(diǎn)是這樣來的：設(shè)φ0，k（t）為空間V0的尺度基函數(shù)，由圖1可知，Mallat算法分解的起點(diǎn)應(yīng)該是系數(shù)C0，k=〈f（t），φ0，k（t）〉=〈f（t），φ（t-k）〉.不過，當(dāng)采樣間隔足夠小時(shí)，φ（t-k）相當(dāng)于δ（t-k）的表現(xiàn)，所以，當(dāng)尺度為0時(shí)，可取C0，k≈f[n].因此，在實(shí)際應(yīng)用中，通常都是將連續(xù)信號(hào)f（t）在滿足香農(nóng)定理時(shí)的數(shù)字采樣得到的序列f[n]作為C0，k的近似表示，即直接取為C0，k=f[n].

由此可知，分解的起點(diǎn)變成了f[n]，這樣分解和重構(gòu)都變成了針對(duì)f[n]的運(yùn)算。這樣，便可以利用離散小波變換的方法直接分析需要研究的序列f[n]，從而將它分解到不同的尺度中去，并觀察它的特征。

2 Mallat算法中的濾波器

采用Mallat算法多級(jí)分解每一級(jí)，實(shí)際上是分解出一部分高頻細(xì)節(jié)部分Djf，剩余的低頻概貌部分Ajf再傳遞給下一級(jí)進(jìn)行類似的分解。不同級(jí)之間分解得到的高頻細(xì)節(jié)之間是正交的，所以，它們也是不相關(guān)的。這種分解操作就像實(shí)際生活中的“剝洋蔥”，每剝?nèi)ヒ粚印把笫[皮”，就剝掉了洋蔥的一點(diǎn)“細(xì)節(jié)”，剝?nèi)ヒ粚悠ず蟮难笫[與未剝之前的洋蔥相比，整體形狀相似，只是大小不同，因此，可以說前者是后者的概貌部分，這便是“低頻概貌”和“高頻細(xì)節(jié)”的形象比喻。分解的層數(shù)越少，j越小，Ajf包含的細(xì)節(jié)成分就越多，信號(hào)就越清楚，分辨率就越高；反之j越大，包含的細(xì)節(jié)就越少，只有信號(hào)的輪廓，信號(hào)就越模糊，分辨率就越低。

在Mallat算法中，信號(hào)的頻段是由向小波濾波器被連續(xù)降半劃分到指定的尺度（層）上的。

其濾波器的工作方式通俗的解釋為：因?yàn)榫矸e和內(nèi)積都滿足交換結(jié)合律，所以，在Mallat算法中，系數(shù)Cj=〈f（t），φi，m（t）〉通過低頻濾波器分解一層相當(dāng)于空間Vj尺度基函數(shù)φi，m（t）先與濾波器卷積變?yōu)棣読+1，m（t），然后f（t）與Vj+！上的尺度基函數(shù)φi+1，m（t）內(nèi)積，這樣分解結(jié)果就變成了f（t）在更低一層尺度空間Vj+！上的投影系數(shù)Cj+1.同理，Cj通過高頻濾波器分解，結(jié)果相當(dāng)于f（t）在更低一層細(xì)節(jié)空間Wj+！上的投影系數(shù)dj+1不斷分解Cj.濾波器這樣不斷地工作便實(shí)現(xiàn)了Mallat分解。

3 Mallat算法與單子帶重構(gòu)算法的比較

如圖2所示，單子帶重構(gòu)算法是參考文獻(xiàn)[7]中首先提出來，它認(rèn)為，由于Mallat算法中隔點(diǎn)采樣會(huì)使得頻率折疊，而在單子帶重構(gòu)算法中，子帶和具有與初始系數(shù)相同的尺度可以避免頻率折疊的問題發(fā)生，所以，分解信號(hào)的表達(dá)會(huì)更為準(zhǔn)確。

單子帶重構(gòu)是建立在Mallat算法之上的，它的思路是先將信號(hào)按照Mallat分解算法分解，得到各尺度上的小波系數(shù)，然后將各子帶上的小波系數(shù)分別重構(gòu)至與原信號(hào)相同的尺度。

在尺度空間Vj中，被稱為尺度因子的j與空間分辨率有直接的對(duì)應(yīng)關(guān)系——j越小，包含的細(xì)節(jié)成分就越多，分辨率就越高；相反，j越大，包含的細(xì)節(jié)成分就越少，而且只有信號(hào)的輪廓，保留下來的低頻概貌部分就越平滑，逼近的效果就越差，信號(hào)就越模糊。因此，當(dāng)利用Mallat算法分析信號(hào)時(shí)，分解的尺度越大，越能看到信號(hào)的輪廓而看不到細(xì)節(jié)的東西，而單子帶重構(gòu)算法卻不是這樣的。

舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子直觀地分析兩者的差別。假設(shè)用Mallat算法分解一個(gè)包含頻率為5 Hz、35 Hz、75 Hz和含有150 Hz瞬態(tài)響應(yīng)的4個(gè)頻率的信號(hào)f（t），則f（t）=sin（10πt）+sin（70πt）+sin（150πt）+10e-30t sin（300πt）.

在400 Hz的采樣頻率上取800個(gè)點(diǎn)，選db1小波利用Mallat算法（調(diào)用Matlab小波工具箱相關(guān)函數(shù)進(jìn)行分析）將信號(hào)f（t）分解為3層，如圖3所示。

由圖3可知，利用Mallat算法分解信號(hào)，分解的層數(shù)越多，尺度越大，信號(hào)越模糊，就只能看到信號(hào)的輪廓而沒有細(xì)節(jié)部分。此外，由于每分解一層分辨率降低一定的比例，表述子帶的時(shí)域長(zhǎng)度也會(huì)以同等比例縮小。這就像用比例尺來描述兩點(diǎn)之間的實(shí)際距離一樣，假設(shè)兩點(diǎn)間的距離為10 km，如果比例尺中的1 cm表示1 km，那么，需要用10 cm來表示這兩點(diǎn)之間的距離；如果比例尺中的1 cm表示2 km，需要用5 cm表示這兩點(diǎn)的距離。但是，這樣做，表示的精度就會(huì)降低。

應(yīng)用Mallat算法分解信號(hào)時(shí)，只能從其子帶中看到信號(hào)的輪廓，即低頻概貌。如果要精確地分析各個(gè)子帶，比如想分析信號(hào)具體突變點(diǎn)的位置等，就需要使用單子帶重構(gòu)算法。如果使用單子帶重構(gòu)算法分析信號(hào)f（t），其結(jié)果如圖4所示。

由圖4可知，各個(gè)子帶與原信號(hào)有相同的時(shí)域長(zhǎng)度，這是因?yàn)樽訋盘?hào)的分辨率與原信號(hào)相同，即子帶與原信號(hào)有相同

的尺度。這樣，采用單子帶重構(gòu)算法分析的各個(gè)子帶就相當(dāng)于分別分析原始信號(hào)在不同頻段上的投影分量（每分解一層，子帶信號(hào)帶寬縮小1倍）。因此，單子帶重構(gòu)算法分解的各個(gè)子帶可以表示原信號(hào)在各個(gè)頻段上的投影，以便于分析原信號(hào)的特征（比如突變點(diǎn)的位置等）。在單子帶重構(gòu)算法中，子帶信號(hào)的突變點(diǎn)和極值點(diǎn)與原始信號(hào)f（tI）有對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以，不僅可以利用它檢測(cè)微弱瞬態(tài)成分，還可以精確地確定其發(fā)生的時(shí)間點(diǎn)。

單子帶重構(gòu)算法將各個(gè)子帶重構(gòu)到了與原始信號(hào)相同的尺度，這對(duì)研究子帶有非常重要的意義。事實(shí)上，Matlab小波工具箱“wavemenu”所使用的分析算法就是單子帶重構(gòu)算法。

4 結(jié)論

Mallat算法具有很大的實(shí)用價(jià)值，主要用于觀察信號(hào)的概貌、信號(hào)壓縮和信號(hào)去噪。信號(hào)壓縮即利用數(shù)據(jù)量較少的小波系數(shù)去記錄大量的原始信號(hào)；信號(hào)去噪主要就是利用Mallat算法分解信號(hào)，通過設(shè)定閾值對(duì)各尺度上的小波系數(shù)作除噪處理，之后通過Mallat算法重構(gòu)信號(hào)達(dá)到去噪的目的。由文中的分析、對(duì)比情況可知，如果要具體地分析原始信號(hào)的特征，比如信號(hào)特征的提取、故障診斷等，就需要使用單子帶重構(gòu)算法，一方面，它可以解決Mallat算法帶來的頻率折疊問題；另一方面，子帶回歸到了原始信號(hào)的尺度，便于分析原信號(hào)在各個(gè)頻段的特征。

參考文獻(xiàn)

[1]邸繼征.小波分析原理[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[2]胡友強(qiáng).數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的多元統(tǒng)計(jì)故障診斷及應(yīng)用[D].重慶：重慶大學(xué)，2010.

[3]董振興.交流驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)無傳感器矢量控制及故障診斷研究[D].上海：上海交通大學(xué)，2001.

[4]劉濤，曾祥利，曾軍.實(shí)用小波分析入門[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2006.

[5]劉穎.在役管線腐蝕故障圖像識(shí)別方法研究[D].沈陽(yáng)：東北大學(xué)，2008.

[6]邵克勇，蔡苗苗，李鑫.基于小波分析及奇異值差分譜理論的滾動(dòng)軸承故障診斷[J].制造業(yè)自動(dòng)化，2013（08）.

[7]楊建國(guó).小波分析及其工程應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005.

〔編輯：白潔〕