OSEM 重建算法及其改進算法的研究和比較

楊 娟，王明泉，石 浪，侯慧玲

（中北大學(xué) 儀器科學(xué)與動態(tài)測試教育部重點實驗室，山西 太原030051）

0 引 言

最大似然期望值最大算法 （MLEM）是一種基于統(tǒng)計的迭代重建算法，該算法對噪聲有較強的抑制作用，但因其計算量大，收斂速度慢，在實際當(dāng)中的應(yīng)用較少。Hudson等將有序子集 （ordered subsets of projection data）應(yīng)用到MLEM 算法中，簡稱OSEM。OSEM 算法將投影數(shù)據(jù)按投影角度分解成有限個有序子集，每個子集應(yīng)用MLEM 算法對圖像更新一次，為一次子迭代，所有的子集全部使用完，為一次完整的迭代。相對于MLEM 算法，OSEM 算法在一次迭代過程中，重建圖像更新了n次，因此加快了圖像的收斂速度［1，2］。

OSEM 算法子集水平的不同會對重建圖像的收斂速度以及重建圖像的質(zhì)量產(chǎn)生不同的影響。如何選取子集才能使重建結(jié)果最優(yōu)，許多學(xué)者對OSEM 算法做出了不同的改進。Kadrmas提出了統(tǒng)計自適應(yīng)EM 算法 （StatREM）［3］，該算法利用投影數(shù)據(jù)的統(tǒng)計信息，通過檢驗統(tǒng)計量，在每次迭代時自動調(diào)整子集數(shù)目，但其統(tǒng)計過程比較復(fù)雜；孔慧華等將MOS－BR算法應(yīng)用到OSEM 算法中，提出了子集序列EM 算法 （SSEM）［4，5］，該算法提前將子集水平設(shè)為一個單調(diào)不增序列，每次迭代順序使用序列中的子集數(shù)，但其子集序列的選擇還要視重建結(jié)果予以調(diào)整；Vaissier提出了CROSEM （Count－Regulated OSEM）算法［6］，該算法只需設(shè)定子集水平為最大值，重建過程中，根據(jù)每個像素的活度大小，對其進行更新。該算法有效地改善了OSEM 算法重建SPECT 圖像時低頻元素丟失的問題［7］。

本文首先研究了OSEM 算法子集的不同選取對重建結(jié)果的不同影響，然后分析了SSEM 算法和CROSEM 算法的原理，最后分別使用OSEM 算法、SSEM 算法和CROSEM算法完成對Sheep＿Logan模型和固體火箭發(fā)動機模型的重建，對比重建圖像的收斂速度、重建圖像的質(zhì)量，分析3種算法的實用性和有效性。

1 OSEM 算法

1.1 OSEM 算法簡介

設(shè)定重建圖像大小為n×n，360 個投影角度，每個角度下n條投影射線。將投影數(shù)據(jù)按投影角度劃分成T 個有序子集。OSEM 算法的迭代公式如下

式中：x——待重建圖像，pi——第i條射線的投影數(shù)據(jù)，wij——第i條射線穿過第j個像素的長度，Sl——第l個子集，l＝1，2，...，T。

1.2 子集水平對重建結(jié)果的影響

OSEM 算法重建圖像過程中，子集水平較大時，圖像先恢復(fù)高頻元素信息，子集水平較小時，圖像先恢復(fù)低頻元素信息。并且，當(dāng)投影數(shù)據(jù)不含噪聲時，子集水平越大，重建圖像的收斂速度越快；子集水平越小，圖像的收斂速度越慢。但是一般CT 設(shè)備的投影數(shù)據(jù)都含有泊松噪聲，此時，使用OSEM 算法進行重建，子集水平越大，圖像收斂速度依舊比較快，但是隨著迭代次數(shù)的增加，圖像會發(fā)散，而子集水平越小，圖像收斂速度越慢，并且圖像的高頻元素信息會丟失［8］。

2 SSEM 算法

為了改善OSEM 算法子集水平對重建圖像的收斂速度以及重建圖像的質(zhì)量的影響，孔慧華基于MOS－BR 算法，對OSEM 算法做出改進，提出了子集序列EM 算法 （subset sequence EM），簡稱SSEM。

SSEM 算法對OSEM 算法的改進之處在于：SSEM 算法的子集水平不是一個固定值，而是一個單調(diào)不增序列。在迭代重建過程中，先使用大的子集水平，恢復(fù)圖像的高頻元素，加快重建圖像的收斂速度，然后在下一次迭代時降低子集水平，恢復(fù)圖像的低頻元素，避免重建圖像的發(fā)散。如此循環(huán)，到子集序列結(jié)束。

這樣，在重建過程中，先恢復(fù)高頻元素，再恢復(fù)低頻元素，既加快了重建圖像的收斂速度，又避免了重建圖像的發(fā)散。

SSEM 算法子集序列的不同也會對重建圖像的收斂速度以及重建圖像的質(zhì)量產(chǎn)生影響。一般序列中的第一個子集水平要不大于投影角度數(shù)，大小相同的子集水平的個數(shù)還要具體視重建結(jié)果予以調(diào)整［9］。

3 CROSEM 算法

OSEM 算法重建SPECT 圖像時，子集水平選擇越大，在重建過程中，低活度像素的灰度值會被更新為0，導(dǎo)致這些像素信息的丟失。而子集水平選擇越小，圖像的收斂速度越慢，隨著迭代次數(shù)的增加，低活度像素的灰度值仍然會被更新為0，導(dǎo)致信息的丟失［10－12］。

為此，Vaissier提出了CROSEM （count－regulated OSEM）算法，該算法與OSEM 算法的不同之處在于：OSEM算法每次迭代更新圖像，都是對圖像的每一個像素值進行修正；而CROSEM 算法在迭代更新圖像時，需要判斷每一個像素的活度是否大于一個設(shè)定的閾值CTV （count threshold value），如果大于，這個像素值才會被更新，否則，不予更新。并且，CROSEM 算法的子集水平是其取值范圍內(nèi)的較大值，如此可以加快重建圖像的收斂速度。

將CROSEM 算法應(yīng)用到CT 圖像重建，其重建步驟是：

（1）使用MLEM 算法，迭代一次重建圖像。根據(jù)重建圖像估計每個像素的活度，確定閾值CTV；

（2）k＝0，并給定正的初值圖像x（0），指定迭代次數(shù)Niter，指定子集水平NS等于或小于投影角度數(shù)；

（3）進入子集Sl運算，計算下列參數(shù)

（4）根據(jù)第三步的結(jié)果，計算下列參數(shù)

重復(fù)步驟 （3）、步驟 （4），直到k＝Niter。

CROSEM 算法根據(jù)每個像素的活度來更新圖像，解決了子集水平過高時，低活度像素丟失的問題，并且，其子集水平為取值范圍內(nèi)的較大值，加快了重建圖像的收斂速度［9－11］。

4 實驗結(jié)果及分析

為了對比3種算法的有效性和實用性，分別使用3種算法對Sheep＿Logan頭部仿真模型和實際的固體火箭發(fā)動機模型進行重建，并采用歸一化均方距離對重建結(jié)果進行評價，其表達式如式 （8）所示

式中：tu，v，ru，v——原始圖像和重建圖像中各像素的灰度值。珋t——原始圖像灰度的平均值。d 值越小表示重建圖像與原始圖像的偏差越小，重建圖像的質(zhì)量越好。

重建Sheep＿Logan頭部模型，重建圖像大小為256×256，投影角度是將360°均分為256份，每個投影角度下有256條投影射線。OSEM 算法選定子集為64，迭代5 次；SSEM 算法選定的子集序列為256→128→64→32→32；CROSEM 算法的子集為最大值256，迭代5次。原始圖像及其第128行的灰度曲線如圖1所示，3種算法的重建圖像及其第128行的灰度曲線分別如圖2、圖3、圖4所示。

圖1 原始圖像及灰度曲線

3種算法重建圖像的歸一化均方距離d 見表1。

對實際采集的投影數(shù)據(jù)進行重建，實驗參數(shù)為：射線源電壓為290KV，電流為1.8mA。探測器大小為1920×1536，探元大小為0.127mm，射線源到旋轉(zhuǎn)中心的距離為1060mm，旋轉(zhuǎn)中心到探測器的距離為140mm，工件旋轉(zhuǎn)一周，采樣間隔為1 度。設(shè)定重建圖像大小為256×256。OSEM 算法選定子集水平為36，迭代3次，其重建結(jié)果如圖5所示。

表1 3種算法重建圖像的歸一化均方距離

圖2 OSEM 重建圖像及灰度曲線

圖3 SSEM 重建圖像及灰度曲線

圖4 CROSEM 重建圖像及灰度曲線

圖5 OSEM 算法重建圖像

SSEM 算法，選定子集序列為90→90→60→60→30，其重建結(jié)果如圖6所示。

CROSEM 算法，設(shè)定子集水平為90，迭代5次，其重建結(jié)果如圖7所示。

圖6 SSEM 算法重建圖像

圖7 CROSEM 算法重建圖像

對比3種算法重建的結(jié)果以及表1所示的歸一化均方距離，可知：

（1）算法的收斂速度：3種算法相同的迭代次數(shù)，所得重建圖像的歸一化均方距離關(guān)系為：CROSEM＜SSEM＜OSEM，因此，CROSEM 的收斂速度優(yōu)于SSEM，SSEM優(yōu)于OSEM；

（2）重建圖像的質(zhì)量：CROSEM 優(yōu)于SSEM，SSEM優(yōu)于OSEM；

（3）子集選擇的不定性：CROSEM 算法的子集水平為其取值范圍內(nèi)的較大值，而OSEM 算法與SSEM 算法的子集水平，都要根據(jù)重建結(jié)果來不斷的調(diào)整，因此，CROSEM 算法更有實用性。

5 結(jié)束語

OSEM 算法子集的使用加快了MLEM 算法的收斂速度，但是OSEM 算法子集水平選擇較高時，重建圖像收斂速度快，但隨著迭代次數(shù)增加，重建圖像會發(fā)散；而子集水平較低時，重建圖像的收斂速度又會變慢，而且，圖像的高頻信息會丟失。因此，子集水平的選取對重建圖像的收斂速度以及重建圖像的質(zhì)量有很大的影響。SSEM 算法設(shè)定子集水平為一個單調(diào)不增序列，解決了OSEM 算法子集水平帶來的問題。但是SSEM 算法子集序列的選取，還要視重建結(jié)果予以調(diào)整。而CROSEM 算法只需設(shè)定子集水平為一個固定值，在重建過程中，根據(jù)每個像素的活度對圖像進行更新，有效地解決了低活度像素丟失的問題。

最后，對比3種算法對Sheep＿Logan頭部仿真模型和實際固體火箭發(fā)動機模型的重建圖像的收斂速度以及重建圖像的質(zhì)量，驗證了CROSEM 算法的收斂速度更快，重建質(zhì)量更好，有更好的實用性。

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