基于分簇特性的寬帶信道估計算法

王 燕，張立毅，張 銳

（1.天津大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，天津300072；2.天津城建大學(xué) 計算機與信息工程學(xué)院，天津300384；3.天津商業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院，天津300134；4.天津科技大學(xué) 電子信息與自動化學(xué)院，天津300222）

0 引 言

由于正交頻分復(fù)用 （OFDM）技術(shù)［1］采用了子信道頻譜相互正交重疊的多載波傳輸技術(shù)，對相位噪聲和載波頻偏非常敏感。因此，需要在接收端獲取準(zhǔn)確的信道狀態(tài)信息。無線通信信道的最大特征就是多徑效應(yīng)。實驗結(jié)果表明，這種多徑效應(yīng)通常由極少數(shù)的主要路徑主導(dǎo)，具有稀疏性，即信道時延中非零抽頭系數(shù)的個數(shù)遠(yuǎn)小于信道時延的抽頭總數(shù)，且信道帶寬越寬，這種特性表現(xiàn)的越明顯［2］，如超寬帶信道、雙向中繼信道、水聲信道都屬于這種結(jié)構(gòu)。傳統(tǒng)的信道估計技術(shù)通常沒有考慮信道的這種特性，大多采用密集多徑的形式［3］。

隨著新的壓縮采樣理論——壓縮感知技術(shù)［4，5］的出現(xiàn)，基于壓縮感知的稀疏信道估計技術(shù)成為現(xiàn)在壓縮感知和信道估計領(lǐng)域的研究熱點。文獻 ［5］提出了一種基于L0范數(shù)的信道估計算法，其重構(gòu)概率高，但運算復(fù)雜度也較高；文獻 ［6］提出了一種用L1范數(shù)代替L0范數(shù)的算法，將其轉(zhuǎn)換為凸優(yōu)化問題求解，降低了運算復(fù)雜度；文獻 ［7］提出了基于匹配追蹤算法 （matching pursuit，MP）的信道估計算法，其運算復(fù)雜度低。MP 算法是其它貪婪算法的基礎(chǔ)，如OMP算法［8］、SP算法［9］。

上述所有算法均需要信道沖激響應(yīng)的稀疏度作為先驗條件，這在實際應(yīng)用中是很難甚至根本無法獲得的。文獻［10］提出了一種稀疏度自適應(yīng)的壓縮信道感知算法，但其只考慮了信道的稀疏性，忽略了信道除了具有稀疏特性外，還具有集群或者成簇的特殊結(jié)構(gòu)。為此，本文在考慮了稀疏性之后，加入了對信道分簇特性的考慮，提出一種基于分簇稀疏特性的自適應(yīng)正則匹配追蹤壓縮信道感知算法（CRAMP），通過計算機仿真，比較了該算法與傳統(tǒng)的LS算法、BPDN 算法、OMP算法、BOMP算法在OFDM 系統(tǒng)中的誤碼率（BER）、均方誤差（MSE）和算法復(fù)雜度。

1 信道模型及系統(tǒng)模型

1.1 信道模型

本文采用修正的S－V 信道模型［11］。該模型的主要特性之一就是多徑分量在顯示出稀疏特性的同時，還具有分簇結(jié)構(gòu)，且簇結(jié)構(gòu)也具有稀疏性。其信道數(shù)學(xué)模型為

式中：C——簇的數(shù)目，Tc——第c簇的延時，P——每一簇中多徑的數(shù)量，τp，c——第c簇的第p 條多徑的 延時，hp，c——第c簇的第p 條 多 徑 的 振 幅，ejφp，c——第c簇 的 第p 條多徑角度。

1.2 系統(tǒng)模型

在如圖1所示的系統(tǒng)中，發(fā)送端數(shù)據(jù)經(jīng)過調(diào)制后，插入導(dǎo)頻數(shù)據(jù)，再進行串并轉(zhuǎn)換和進行IFFT 變換，并加入循環(huán)前綴，送入無線多徑信道傳輸；在接收端，去除循環(huán)前綴后，提取導(dǎo)頻，進行FFT 變換，進行信道估計、信道補償后，得到最終的數(shù)據(jù)。

圖1 OFDM 系統(tǒng)框架

在發(fā)送端，設(shè)OFDM 每個子載波的數(shù)據(jù)為X（k），經(jīng)過IFFT 后得到的數(shù)據(jù)為

信號通過信道后 （這里設(shè)信道的長度小于CP 的長度，即在一個符號周期內(nèi)，信道是時不變的）接收信號為

式中： ——線性卷積，w（n）——白噪聲。在去除CP 后，并進行FFT 變換后得到的表達(dá)式為

式中：H（k）——信道的頻域響應(yīng)，W（k）——白噪聲w（n）的頻域響應(yīng)。

將式 （4）寫成向量形式為

式 中：Y——收 信 號 向 量，X ＝diag（X（0），X（k），…，X（N－1）），X（k）為OFDM 符號中第k 個子載波的數(shù)據(jù)，F(xiàn)——DFT 變換矩陣。

設(shè)每個OFDM 信號總共有N 個子載波，在其中插入M個導(dǎo)頻信號，即N 個子信道中有M 個子信道為導(dǎo)頻信道。通過選擇矩陣得到M 個導(dǎo)頻信號處的數(shù)據(jù)為

2 基于壓縮感知的信道估計算法

在傳統(tǒng)的OFDM 系統(tǒng)信道估計中，根據(jù)式 （6），要求導(dǎo)頻信號的數(shù)量必須大于信道長度數(shù)。當(dāng)導(dǎo)頻信號數(shù)量小于信道長度數(shù)時，式 （6）是一個欠定性問題，未知解不唯一。由于信道h具有稀疏特性，令Ψ ＝XMFM，則式 （6）變?yōu)?/p>

從OMP算法的整個迭代過程可以得到，OMP 算法需要已知信號的稀疏度才能實現(xiàn)精確重構(gòu)，對稀疏度的過大或過小估計都可能影響算法的性能，并且由于選擇的原子不能更新，所以對算法的性能也有一定的影響。

3 基于分簇特性的壓縮信道感知算法

3.1 簇 （塊）感知

在實際通信系統(tǒng)中，許多稀疏信號的非零值都是簇（集群）或成塊出現(xiàn)的，如寬帶信道、多波段信號、DNA陣列、雷達(dá)脈沖信號等［13］。

簇 （塊）稀疏信號的壓縮感知模型與傳統(tǒng)的壓縮感知模型一致，只是其中h 的稀疏結(jié)構(gòu)為簇 （塊）稀疏結(jié)構(gòu)，其中，C 為簇 （塊）的數(shù)目，d 為每簇 （塊）中的元素數(shù)目，L 為總的元素數(shù)目，且L ＝C×d。hT［c］稱為一個子簇（塊）。若h 中共有C 個子簇 （塊），且在C 個子簇 （塊）中，僅有K（K＜L）個簇 （塊）中含有非零的元素，則h 稱為K－階簇 （塊）稀疏信號，即

要保證h能通過Y 有效地重構(gòu)出來，只有當(dāng)Ψ 滿足有限等距特性 （RIP）時，才能完成。并且重構(gòu)信號的重構(gòu)精度直接與RIP 特性相關(guān)，RIP 的值越小，重構(gòu)精度越高。文獻 ［14］將原有RIP 特性延伸到K－階簇 （塊）稀疏向量，并定義了塊有限等距特性 （B－RIP），即：

存在一個較小的常數(shù)δB∈（0，1），對于任意K－簇稀疏向量h，有式 （9）成立

同時，文獻 ［14］證明了對于一個K－階簇 （塊）稀疏向量，由于塊稀疏向量比一般隨機稀疏向量具有更小的等距常數(shù)，即δB＜δK。ELDAR 等指出，當(dāng)簇 （塊）稀疏向量的測 量 矩 陣Φ 滿 足2 K 階 的B－RIP 條 件，且B－RIP 特 性δB＜－1，就可以完成對稀疏向量的重構(gòu)。

因此，當(dāng)稀疏信號具有簇 （塊）稀疏結(jié)構(gòu)時，有限等距特性具有衰減特性。由于等距特性的衰減，將信號的簇（塊）稀疏結(jié)構(gòu)特性應(yīng)用到重構(gòu)算法中時，重構(gòu)算法可以具有更好的重構(gòu)精度?，F(xiàn)在基于簇 （塊）稀疏信號的重構(gòu)算法主要有L－OPT［14］，BMP［15］，BOMP［15］這3 種。其中LOPT 是基于凸優(yōu)化算法的，而BOMP是從原有的貪婪算法中加入簇 （塊）稀疏結(jié)構(gòu)改進的。

3.2 基于分簇特性的信道壓縮感知算法

由于文獻 ［15］提出的算法雖然考慮了信號的稀疏結(jié)構(gòu)，但要求簇 （塊）稀疏度須已知，而實際中信號的稀疏結(jié)構(gòu)通常是未知和具有不確定性的。因此，本文提出一種基于分簇特性的自適應(yīng)正則匹配追蹤 （CRAMP）信道估計算法。該算法利用回溯和正則化的思想，將簇稀疏度與非零簇的位置進行分階段迭代估計和更新，改變了BOMP 中簇不能進行更新的缺點，對實時性和準(zhǔn)確度都要求較強的寬帶信道估計有較好的適用性。基于稀疏信道結(jié)構(gòu)的重構(gòu)算法流程如圖2所示。

（1）輸入及初始化：根據(jù)式 （7），觀測矩陣Ψ＝XF∈RM×N，測量值YM，初始化簇稀疏度s，閾值ε；分塊向量G

圖2 CRAMP算法流程

初始化：h＾＝0，殘差r0＝Y(jié)M，信號支撐簇集T0＝ （空集），第一階段塊稀疏度k＝s，迭代次數(shù)i＝1，階段次數(shù)j＝1。

（2）初始測試：在第i次迭代時，i∈｛1，2，…，L｝選擇與殘差ri－1最相關(guān)的s個簇的序列號付給li，即

（3）更新信號支撐簇：運用正則化的思想，將信號支撐簇選擇的簇進行分組，選擇最大的k 個信號支撐簇，更新支撐簇

（4）回溯

（5）計算殘差ri

其中 （·）T表示轉(zhuǎn)置，（·）＋表示偽逆運算。

4 仿真與結(jié)果分析

為了驗證CRAMP 算法的性能，本文通過MATLAB仿真平臺進行了如下仿真，其中系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置如下：在OFDM 系統(tǒng)中，子載波個數(shù)N＝512，循環(huán)前綴長度CP＝128，系統(tǒng)載波頻率5GHz，符號調(diào)制為QPSK。信道采用IEEE802.15.3a標(biāo)準(zhǔn)信道，信道長度為128，稀疏度為8，分簇大小d＝4。

圖3 給出了導(dǎo)頻子載波數(shù)為32 （占子載波數(shù)的6.25%），不同信噪比時幾種算法的誤碼率BER 比較曲線。圖4給出了導(dǎo)頻子載波數(shù)為32，不同信噪比時幾種算法的MSE比較曲線。

圖3 導(dǎo)頻為32、不同信噪比時算法的BER 比較曲線

圖4 導(dǎo)頻為32、不同信噪比時算法的MSE比較曲線

由圖3、圖4可見，傳統(tǒng)的LS算法性能較差，這是由于采用的導(dǎo)頻數(shù)目小于信道抽頭數(shù)目，采用最小二乘法不能準(zhǔn)確估計信道；OMP算法和BPDN 算法性能雖有一定提高，但由于信道的分簇性亦不能達(dá)到良好的效果；BOMP算法雖然性能較好，但由于其需要預(yù)先知道信道的非零抽頭數(shù)目，并不利于在實際中實現(xiàn)；本文提出的算法在誤碼率和MSE比BOMP 算法均有了一定程度的提高，且不需預(yù)先知道信道的非零抽頭數(shù)目。

圖5和圖6給出了信噪比為30dB時，不同導(dǎo)頻數(shù)目對算法性能的影響。

圖5 不同導(dǎo)頻數(shù)目對算法BER 的影響

圖6 不同導(dǎo)頻數(shù)目對算法MSE的影響

由于傳統(tǒng)的LS算法在導(dǎo)頻數(shù)量大于信道抽頭數(shù)時才能滿足信道估計的要求，因此這里只對基于壓縮感知的信道估計算法進行了比較。由圖5、圖6中可以看出，BPDN 和OMP算法的性能較差，這是由于以上兩種算法雖然是稀疏算法，但其并不涉及到信道的分簇特性。同時，由圖5、圖6可以看出隨著導(dǎo)頻數(shù)量的增加，每種算法的性能都有了提高，但當(dāng)導(dǎo)頻數(shù)目增大到70 后，其性能的改善并不明顯。這是因為壓縮感知算法屬于對欠定問題的求解算法，當(dāng)導(dǎo)頻達(dá)到一定數(shù)量時，重構(gòu)性能達(dá)到最好，此時增大導(dǎo)頻的數(shù)量并不能帶來系統(tǒng)性能的改善。

圖7給出了BPDN、OMP、BOMP、CRAMP算法在計算機上的仿真時間曲線，由圖7可以看出BPDN 算法的運算時間最長，OMP 次之，接下來是BOMP 算法，運算時間最短的是CRAMP 算法。對于BPDN 算法和OMP 算法都是應(yīng)用傳統(tǒng)的CS理論并沒有將信號的稀疏結(jié)構(gòu)加以考慮，每次只能提取一個非零元素，BPDN 算法又是基于凸優(yōu)化的稀疏重建算法，所以其運算復(fù)雜度最高；OMP算法是貪婪算法，其運算時間與算法的迭代次數(shù)有關(guān)，當(dāng)信道稀疏度已知時，運算時間相對較短。對于BOMP 和CRAMP這兩種貪婪算法而言，它們每次提取的是塊元素，其和OMP算法中每一次迭代的復(fù)雜度是相同的，但由于塊稀疏度是小于信號稀疏度的，所以BOMP和CRAMP算法的迭代次數(shù)較少，自然運算的時間也較短。又因為CRAMP算法采用了稀疏度自適應(yīng)的過程，可以減小迭代次數(shù)所以運算時間又比BOMP 短一些，但整體上，BOMP算法和CRAMP算法的運算時間差別不大。

圖7 不同算法的運算時間比較

5 結(jié)束語

寬帶信道的稀疏性是其本身固有的物理特性，使得壓縮感知技術(shù)能在稀疏信道估計上得以應(yīng)用。本文在寬帶信道原有稀疏特性的基礎(chǔ)上進一步研究分簇稀疏結(jié)構(gòu)，并根據(jù)分簇結(jié)構(gòu)和實際中簇稀疏度未知的情況，提出了一種分簇特性的自適應(yīng)正則化的壓縮信道感知算法。仿真結(jié)果表明，在導(dǎo)頻數(shù)與信噪比相同的情況下，該算法的BER 和MSE的性能均優(yōu)于原有的相關(guān)算法，且兼顧了算法的復(fù)雜度要求。

［1］Dahlman E，Parkvall S，Skold J.4G：LTE／LTE－advanced for mobile broadband ［M］.Academic Press，2013.

［2］Raghavan V，Hariharan G，Sayeed AM.Capacity of sparse multipath channels in the Ultra－wideband regime ［J］.IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing，2007，1 （3）：357－371.

［3］Bajwa WU，Haupt J，Sayeed AM，et al.Compressed channel sensing：A new approach to estimating sparse multipath channels ［J］.Proceedings of the IEEE，2010，98 （6）：1058－1077.

［4］Candès EJ，Romberg J.Quantitative robust uncertainty principles and optimally sparse decompositions ［J］.Foundations of Computational Mathematics，2006，6 （2）：227－254.

［5］Baraniuk R.Compressive sensing ［J］.IEEE Signal Processing Magazine，2007，24 （4）：118－121.

［6］Barbieri，Alessandro，Pancaldi，et al.Compressed channel estimation and data detection algorithms for IR－UWB ［C］／／IEEE International Conference on Ultra－Wideband，2011：360－364.

［7］Venkateswaran，Vijay，Van Der Veen，et al.Analog beamforming in MIMO communications with phase shift networks and online channel estimation ［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，50 （8）：4131－4143.

［8］Tropp JA，Gilberta C.Signal recovery from random measurements via orthogonal matching pursuit［J］.IEEE Transaction on Information Theory，2007，53 （12）：4655－4666.

［9］Wei Dai，Milenkovic O.Subspace pursuit for compressive sensing signal reconstruction ［J］.IEEE Transactions on Information Theory，2009，55 （5）：2230－2249.

［10］CHEN Shuzhen，ZHANG Yajing，LIAN Qiusheng.Channel estimation algorithm based on compressed sensing for OFDM systems［J］.Signal Processing，2010，26 （1）：157－160 （in Chinese）.［陳書貞，張亞靜，練秋生.OFDM 系統(tǒng)中基于壓縮傳感理論的信道估計算法 ［J］.信號處理，2010，26 （1）：157－160.］

［11］Santos T，Karedal J，Almers P，et al.Modeling the ultrawideband outdoor channel：Measurements and parameter extraction method ［J］.IEEE Transactions on Wireless Communications，2010，9 （1）：282－290.

［12］HE Xueyun，SONG Rongfang，ZHOU Keqin.Study of compressive sensing based sparse channel estimation in OFDM systems［J］.Journal of Nanjing University of Posts and Telecommunications （Natural Science），2010，30 （2）：60－65（in Chinese）.［何雪云，宋榮方，周克琴.基于壓縮感知的OFDM 系統(tǒng)稀疏信道估計新方法研究 ［J］.南京郵電大學(xué)學(xué)報 （自然科學(xué)版），2010，30 （2）：60－65.］

［13］Do TT，Lu Gan，Nguyen N，et al.Sparsity adaptive matching pursuit algorithm for practical compressed sensing ［C］／／Signals，Systems and Computers，2008：581－587.

［14］Eldar YC，Mishali M.Robust recovery of signals from a structured union of subspaces ［J］.IEEE Trans on Information Theory，2009，55 （11）：5302－5316.

［15］Eldar YC，Kuppinger P，Lcskei HB.Compressed sensing of block－sparse signals：Uncertainty relations and efficient recovery［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2010，58 （6）：3042－3054.