Tong檢測算法性能分析及參數(shù)設(shè)置

朱云龍，丑武勝，楊東凱

(1.北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京100191;2.北京航空航天大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，北京100191)

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是國家重要基礎(chǔ)設(shè)施.接收機(jī)是系統(tǒng)與用戶的惟一接口，衛(wèi)星導(dǎo)航信號的捕獲是接收機(jī)信號處理部分的核心技術(shù)，用于搜索衛(wèi)星信號并將其牽引至跟蹤范圍內(nèi)［1-2］.捕獲是對擴(kuò)頻碼相位和載波頻率的二維搜索過程，捕獲系統(tǒng)將可能的碼相位和載波頻率搜索范圍分成若干分格，一個碼相位分格與一個載波頻率分格構(gòu)成一個搜索單元.搜索控制邏輯采用某種策略遍歷各搜索單元，檢測信號是否存在，并給出碼相位和載波頻率的粗略估計［2-7］.搜索策略可以是串行的也可以是并行的.

在檢測某個搜索單元時，一般采用門限判決法進(jìn)行檢測［8-9］，檢測量可使用輸入信號與本地復(fù)現(xiàn)信號相關(guān)結(jié)果的功率值，若檢測量高于門限，則認(rèn)為信號存在，該搜索單元對應(yīng)的值就是碼相位與載波頻率的估計值.

這種單次檢測的虛警概率和檢測概率往往不能滿足要求［9-10］，可以通過增加預(yù)檢測積分時間或是增加非相干累加次數(shù)的方式來改善檢測性能，但會使計算量和檢測時間都大幅增加.另一種提高檢測性能的方法是采用多次滯留的檢測算法，如M/N檢測算法、(1+M/N)檢測算法以及Tong 檢測算法等［2，8，10］.M/N 算法適用于信號較強(qiáng)的情況，且檢測時間較長，(1+M/N)算法是單次檢測與M/N檢測的結(jié)合體，也只適用于強(qiáng)信號情況［8］.Tong算法是一種可變滯留次數(shù)檢測算法，其結(jié)構(gòu)簡單靈活，可以通過調(diào)整參數(shù)適應(yīng)各種環(huán)境下的信號檢測.國內(nèi)外學(xué)者對Tong算法已進(jìn)行了比較多的研究［5-6，9-15］，這些研究討論了 Tong算法的虛警概率、檢測概率和噪聲單元平均滯留次數(shù)等性質(zhì)，但對檢測信號單元的平均滯留次數(shù)卻少有研究.實際上，在并行搜索過程中，信號單元滯留次數(shù)對總捕獲時間將有比較重要的影響，同時也會影響到最大滯留次數(shù)等算法參數(shù)的選擇，對它的研究將有助于合理設(shè)置算法參數(shù)，提高檢測性能.本文將對信號單元滯留次數(shù)的均值和方差進(jìn)行詳細(xì)推導(dǎo)，給出最大滯留次數(shù)限定方法，分析算法參數(shù)對檢測性能的影響，并給出參數(shù)設(shè)置方法.本文以 GPS(Global Positioning System)C/A(Coarse/Acquisition)碼信號為例進(jìn)行討論，所得結(jié)論也可適用于北斗二號系統(tǒng)公開服務(wù)信號.

1 Tong檢測算法結(jié)構(gòu)

Tong算法結(jié)構(gòu)如圖1所示［2］.該算法設(shè)定一個向上/向下計數(shù)器k，最大值為A，初始值為B.若檢測量超過判決門限Vt，則k加1，否則減1，當(dāng)k=A時捕獲成功，k=0時該搜索單元被否決，進(jìn)入下一搜索單元進(jìn)行檢測.為防止k在A與0之間徘徊，可規(guī)定一個最大滯留次數(shù)Nmax，如在某一單元的滯留次數(shù)超過Nmax，則放棄此單元.

圖1 Tong檢測算法結(jié)構(gòu)Fig.1 Structure of Tong detection algorithm

圖1中的檢測量l為功率檢測量，表達(dá)式為

式中，Ij，Qj為相關(guān)器I路與Q路輸出的預(yù)檢測積分結(jié)果;M為非相干累加次數(shù).

用H1表示信號存在，H0表示信號不存在.對功率檢測量做歸一化處理:z=l/σ2n.其中，σ2n是I路或Q路預(yù)檢測積分結(jié)果中噪聲的功率.可以證明［2］，z滿足如式(2)和式(3)所示的卡方分布:

式中，λ =2M·(s/n)=2M·(c/n)·TI，s/n為預(yù)檢測信噪比，c/n為預(yù)檢測載噪比，TI為預(yù)檢測積分時間;Γ(M)=(M－1)!為伽瑪函數(shù).

設(shè)歸一化判決門限為NVt，則單次檢測概率Pd和虛警概率Pf分別為

總檢測概率PD與總虛警概率PF與單次檢測概率和單次虛警概率有如下關(guān)系［5，12］:

2 滯留次數(shù)的統(tǒng)計特性

2.1 平均滯留次數(shù)

2.1.1 噪聲搜索單元平均滯留次數(shù)

檢測噪聲單元的平均滯留次數(shù)Nn已有明確結(jié)論，如式(8)所示［12］.其中，r=(1 － Pf)/Pf.

2.1.2 信號搜索單元平均滯留次數(shù)

以下來推導(dǎo)檢測信號單元時滯留次數(shù)的平均值.假定檢測正在信號單元中進(jìn)行，第n次判決時，計數(shù)器值k=i，或記為k(n)=i，下一次判決時計數(shù)器的值只能加1或減1，加1的概率為減1的概率為

假定計數(shù)器從到達(dá)i后到結(jié)束對此單元的檢測的滯留次數(shù)為 X(i)，其均值為 Ns(i)=暫時忽略最大滯留次數(shù)的制約(事實上，通過合理設(shè)置Nmax可以使滯留次數(shù)超過Nmax的概率極小，而且考慮Nmax制約時，難以得到閉式解).這時，結(jié)束檢測主要分為兩種情況:一是計數(shù)器到達(dá)A，信號捕獲成功;二是計數(shù)器到達(dá)0，發(fā)生漏檢.

在第1種情況下，X(i)的最小可能取值為A－i，即每次判決后計數(shù)器的值均加1，一直到達(dá)A.則Ns(i)可表示為

則由全概率公式可得

由于X(i－1)的最小值為A－i+1，因此有

故而，E1可表示為

用相同方法處理 E2得:E2≈Pd［Ns(i+1)+1］.

由以上推導(dǎo)可得

在第2種情況下，即發(fā)生漏檢時，X(i)的最小值為i，即每次判決計數(shù)器的值均減1，一直到達(dá)0.用與上面類似的推導(dǎo)辦法，可得出這時Ns(i)的遞推形式與式(10)一致.

當(dāng)計數(shù)器到達(dá)A時，宣布信號存在，因此沒有滯留，故而Ns(A)=0;當(dāng)計數(shù)器到達(dá)0時，此單元被放棄，發(fā)生漏檢，也沒有滯留，因此Ns(0)=0.如此便得到遞推關(guān)系的兩個邊界條件.

綜上所述，可得平均滯留次數(shù)的遞推模型為

令 a=(1 －Pd)/Pd，b=1/Pd，解差分方程得

令i等于計數(shù)器初始值B，并將a與b表達(dá)式代入式(12)，可得檢測信號單元的平均滯留次數(shù)為

2.2 信號搜索單元滯留次數(shù)方差

令Ds(i)為計數(shù)器值為i時滯留次數(shù)X(i)的方差，由方差的定義容易得到

此差分方程較復(fù)雜，這里不做通解推導(dǎo).在實際應(yīng)用中可通過數(shù)值方法求解.

令 Δ(i)=Rs(i)－Rs(i+1)，對式(15)變形可得

式中

可以解得

通過數(shù)值計算可得 Δ(0)的值，進(jìn)而得到Rs(1)=Rs(0)－Δ(0)= －Δ(0)，再通過式(15)，求得各個Rs(i).令 i=B，由式(14)可得檢測信號單元的滯留次數(shù)方差為

2.3 最大滯留次數(shù)的選擇方法

在下面的分析中將會看到，信號單元的平均滯留次數(shù)往往遠(yuǎn)大于噪聲單元的平均滯留次數(shù)，因此最大滯留次數(shù)的選擇以信號單元的情況為準(zhǔn).可依據(jù)3西格瑪原則，取最大滯留次數(shù)為

3 Tong檢測算法性能分析

檢測一般采用涅曼-皮爾遜準(zhǔn)則，即恒虛警準(zhǔn)則.限定總虛警概率PF后，由式(7)求得單次虛警概率Pf，由式(5)求得門限后，可由式(4)求得單次檢測概率Pd，然后由式(6)求得總檢測概率PD，由式(8)、式(13)分別求得噪聲單元平均滯留次數(shù)Nn和信號單元平均滯留次數(shù)Ns.分析使用GPS C/A碼信號，預(yù)檢測積分時間TI=1 ms，非相干累加次數(shù)M=1.限定總虛警概率PF=10－6.

3.1 檢測概率分析

圖2是Tong算法的總檢測概率曲線.可以看出，增加A和B均能使總檢測概率提高，增加B的效果比增加A的效果更明顯.

圖2 Tong算法總檢測概率Fig.2 Total detection probabilities of Tong algorithm

3.2 平均滯留次數(shù)分析

3.2.1 噪聲搜索單元中的平均滯留次數(shù)

表1為不同A與B下，噪聲單元平均滯留次數(shù).可以看出，增加A與B的值均會使噪聲單元的平均滯留次數(shù)增加，增加B的效果更為明顯.

表1 不同A與B下噪聲搜索單元平均滯留次數(shù)Table1 Average dwell times of noise search unit for different A and B

3.2.2 信號搜索單元中的平均滯留次數(shù)

表2與表3為不同A與B下，信號單元的平均滯留次數(shù).其中，表2中的數(shù)據(jù)在預(yù)檢測信噪比s/n=6 dB情況下得到，表3中的數(shù)據(jù)在預(yù)檢測信噪比s/n=9 dB情況下得到.

表2 不同A與B下信號搜索單元平均滯留次數(shù)(s/n=6 dB)Table2 Average dwell times of signal search unit for different A and B(s/n=6 dB)

表3 不同A與B下信號搜索單元平均滯留次數(shù)(s/n=9 dB)Table3 Average dwell times of signal search unit for different A and B(s/n=9 dB)

從表2和表3可以看出，信號單元的平均滯留次數(shù)遠(yuǎn)大于噪聲單元的平均滯留次數(shù)，增大A會使信號單元的平均滯留次數(shù)增加.

在A一定時，若s/n較低，則B較小時，平均滯留次數(shù)也較小，B較大時，平均滯留次數(shù)也較大.這是由于當(dāng)s/n較低時，尤其當(dāng)A也較小時，檢測概率也較低，例如s/n=6 dB，A=4，B=1時，Pd=48.36%，PD=22.60%;A=4，B=2 時，Pd=48.32%，PD=36.02%，這種情況下很容易發(fā)生漏檢，計數(shù)器值減小并到達(dá)0的概率較大，此時不同B值下的單次檢測概率較為接近，則B越小，計數(shù)器越容易到達(dá)0，平均滯留次數(shù)也越小.隨著A的增大，檢測概率也在增大，計數(shù)器值增加并到達(dá)A的可能性變大，但單次檢測概率仍不是很高，中間過程有可能出現(xiàn)反復(fù)，例如s/n=6 dB，A=8，B=1 時，Pd=83.99%，PD=80.94%;A=8，B=2 時，Pd=83.78%，PD=96.25%，B 較小時單次檢測概率稍大，因此平均滯留次數(shù)稍小.

在A一定時，若s/n較高，則B較小時，平均滯留次數(shù)較大，B較大時，平均滯留次數(shù)較小.這是由于，若s/n較高，則檢測概率也較高，例如s/n=9 dB 時，A=4，B=1 時，Pd=86.31%，PD=84.19%;A=4，B=2 時，Pd=86.28%，PD=97.48%;A=12，B=1 時，Pd=99.30%，PD=99.29%;A=12，B=2 時，Pd=99.27%，PD=99.99%.這時，計數(shù)器值增加并到達(dá)A的概率較大，且不同B值下的單次檢測概率較為接近，則初始位置越接近A，平均滯留次數(shù)越小.隨著A的增加，不同B值下的平均滯留次數(shù)之差趨于定值，即計數(shù)器初始位置之差，例如，B=1和B=2兩種情況下的平均滯留次數(shù)之差隨著A的增加趨于1.

表4是不同A與B值及預(yù)檢測信噪比s/n情況下信號單元的平均滯留次數(shù).

表4 不同A，B和s/n下信號搜索單元平均滯留次數(shù)Table4 Average dwell times of signal search unit for different A，B and s/n

由表4可以看出，除了A=4，B=1情況外，其他各種A，B組合情況下的信號單元平均滯留次數(shù)隨著s/n的提高而減小.這是由于隨著s/n的提高，檢測概率將增加，計數(shù)器到達(dá)A的可能性增大，中間的反復(fù)過程減少，平均滯留次數(shù)隨之下降.另外，由圖2可以看出，隨著s/n的提高，在一定的A，B組合下，總檢測概率增加的趨勢越來越緩慢，單次檢測概率增加的趨勢也將變緩，這造成平均滯留次數(shù)下降趨勢的減緩，逐漸接近成功捕獲所需的最低滯留次數(shù).

對于A=4，B=1的情況，上面已經(jīng)提到，當(dāng)s/n較低時，漏檢概率較大，例如s/n=6 dB時，Pd=48.36%，PD=22.60%，又由于 B 值較小，因此計數(shù)器很容易到達(dá)0，造成平均滯留次數(shù)較小;當(dāng)s/n有所提高時，檢測概率也會增加，但仍然不很高，例如 s/n=7 dB時，Pd=61.53%，PD=44.24%，這會造成中間過程的反復(fù)，致使平均滯留次數(shù)增加;若s/n繼續(xù)增加，則檢測概率迅速增加，例如 s/n=10 dB 時，Pd=94.20%，PD=93.84%，這時，中間反復(fù)過程減少，平均滯留次數(shù)降低.

4 算法參數(shù)設(shè)置

Tong算法的主要可調(diào)參數(shù)是A與B.通過以上分析可知，當(dāng)信號較強(qiáng)(即s/n較大)時，A和B的值不需要取很大就能滿足檢測概率的需求.對于串行搜索，檢測多數(shù)情況下在噪聲單元中進(jìn)行，適當(dāng)增大A、減小B可以在保證檢測概率的前提下，減小噪聲單元中的平均滯留次數(shù)，例如可選A=8，B=1;對于并行搜索，信號單元滯留次數(shù)影響較大，可以適當(dāng)減小A、增大B，這樣可以在保證檢測概率的前提下，減小信號單元中的平均滯留次數(shù)，縮短捕獲時間，例如可選A=6，B=2.

在信號較為微弱(即s/n較小)的情況下，對串行搜索，可以通過增加A的方法來提高檢測概率，例如，可選A=12，B=1，這樣既能保證檢測性能，又能使噪聲單元的平均滯留次數(shù)不至于過大;對并行搜索，可以通過增加A或B的方法，尤其是增加B的方法來提高檢測概率，可選A=10，B=2或者A=8，B=2，這樣既能保證高檢測概率，又可以使信號單元的平均滯留次數(shù)不至于過大.

總之，參數(shù)的選擇應(yīng)依據(jù)信號強(qiáng)弱和搜索方式，并且要折衷考慮對檢測概率與平均滯留次數(shù)的影響.

5 結(jié)論

1)在涅曼-皮爾遜準(zhǔn)則下，增加計數(shù)器上限A和初值B能使Tong檢測算法的總檢測概率提高，增加B的效果尤為明顯.

2)增加A與B的值會使檢測噪聲單元的平均滯留次數(shù)增加，增加B的效果更為明顯.

3)信號單元的平均滯留次數(shù)遠(yuǎn)大于噪聲單元的平均滯留次數(shù)，增大A會使信號單元的平均滯留次數(shù)增加.若預(yù)檢測信噪比s/n較低，則B較小時，平均滯留次數(shù)也較小，B較大時，平均滯留次數(shù)也較大;若s/n較高，則B較小時，平均滯留次數(shù)較大，B較大時，平均滯留次數(shù)較小.

4)A與B一定時，一般情況下信號單元平均滯留次數(shù)隨著s/n的提高而減小.若A與B均較小，則信號單元平均滯留次數(shù)隨著s/n的提高先增大而后減小.

5)A與B的選擇需依據(jù)信號強(qiáng)弱和搜索方式，并且要折衷考慮對檢測概率與平均滯留次數(shù)的影響.

6)最大滯留次數(shù)可依據(jù)信號單元滯留次數(shù)的均值和方差，采用3西格瑪原則確定.

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