永磁同步電機的分數(shù)階無位置傳感器控制*

陳思溢 皮佑國

(1.華南理工大學 自主系統(tǒng)與網(wǎng)絡控制教育部重點實驗室，廣東 廣州510640 2.華南理工大學 自動化科學與工程學院，廣東 廣州510640)

高性能永磁同步電機控制系統(tǒng)對速度和位置控制精度要求日益增高，對傳感器的要求也隨之提高，從而勢必加大系統(tǒng)安裝的成本.因此，永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)在風機、水泵等適用于位置開環(huán)或?qū)Ψ€(wěn)態(tài)精度要求不高的領(lǐng)域內(nèi)獲得了愈發(fā)廣泛的應用.如何在不對電機轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)子位置進行直接測量的基礎上，提高系統(tǒng)的控制與觀測精度，已成為永磁同步電機無位置傳感器控制領(lǐng)域內(nèi)亟待解決的問題.

目前，除了采用高頻信號注入和卡爾曼濾波［1-3］等需要增加系統(tǒng)外設或系統(tǒng)計算復雜程度的方法來提高系統(tǒng)控制與觀測精度外，滑模觀測技術(shù)以其對系統(tǒng)參數(shù)時變和外部擾動的強魯棒性，為無位置傳感器系統(tǒng)的高性能控制提供了一條有效的途徑.其中，滑模觀測技術(shù)主要可分為以下幾類:采用高階滑模觀測器算法［4］;加入自適應算法，實現(xiàn)動態(tài)調(diào)節(jié)滑模觀測器［5］;利用智能控制算法調(diào)節(jié)滑模觀測器參數(shù)［6-8］.雖然采用上述方法能在一定程度上提高無位置傳感器控制系統(tǒng)的控制與觀測精度，但它們均未對低速或零速狀態(tài)下的系統(tǒng)控制與觀測效果進行分析，而這正是無位置傳感器控制系統(tǒng)的研究難點所在.因此，上述方法均具有一定的局限性.

文中采用他控啟動和自控運行的分段控制策略，即在轉(zhuǎn)子定位以后，給電機定子一個旋轉(zhuǎn)磁場使電機啟動，啟動后滑模觀測器不斷對電機的電流和轉(zhuǎn)速進行觀測，待電機啟動到其電流電壓滿足預測計算時再切換到自控方式運行.同時，為了提高無位置傳感器的控制與觀測精度，減小系統(tǒng)控制方式由他控向自控切換過程中所產(chǎn)生的抖振，算法中永磁同步電機分數(shù)階數(shù)學模型與分數(shù)階滑模觀測器的引入，為其提供了一種新的解決思路.

首先給出了永磁同步電機的分數(shù)階數(shù)學模型;然后在此基礎上提出基于分數(shù)階滑模觀測器的轉(zhuǎn)子位置與轉(zhuǎn)速的估計方法以及相應的分數(shù)階Lyapunov穩(wěn)定性證明方法，同時也討論了分數(shù)階滑模觀測器參數(shù)的整定方法;最后給出了仿真分析及原型實驗.實驗結(jié)果證明，文中提出的控制策略具有較高的綜合控制性能.

1 永磁同步電機分數(shù)階數(shù)學模型

永磁同步電機在兩相靜止α，β 坐標系下的定子電壓方程為［9］

式中，uα、uβ為α，β 坐標系下的定子電壓，iα、iβ為定子電流，Rs為定子電阻，L 為定子電感，p 為微分算子，Eα、Eβ為反電動勢.

相應地，電磁轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式中，J 為轉(zhuǎn)動慣量，Bm為摩擦系數(shù)，TL為負載轉(zhuǎn)矩，TM為電磁轉(zhuǎn)矩，ω 為轉(zhuǎn)速.

通過采用id=0 的磁場定向控制策略，其中id為兩相旋轉(zhuǎn)坐標系下的直軸電流，電磁轉(zhuǎn)矩平衡方程可簡化為

式中，φm為氣隙磁通量，Cm為電機在額定磁通下的轉(zhuǎn)矩系數(shù)，iq為兩相旋轉(zhuǎn)坐標系下的交軸電流.

考慮到實際電容和電感所具有的分數(shù)階特性，結(jié)合文獻［10］提出的永磁同步電機分數(shù)階建模方法，給出永磁同步電機的分數(shù)階方程表達式如下:

式中，Γ(·) 為Gamma 函數(shù)，其表達式為Γ(z) =

2 分數(shù)階滑模觀測器(FO-SMO)設計

圖1給出了建立在分數(shù)階永磁同步電機數(shù)學模型基礎上的分數(shù)階滑模觀測器系統(tǒng)框圖.系統(tǒng)由兩部分組成.其中，位于虛線框外面的是真實的永磁同步電機系統(tǒng)模型;而位于虛線框里面的則包含永磁同步電機動態(tài)模型及分數(shù)階滑模觀測器兩個模塊.

圖1 基于分數(shù)階永磁同步電機數(shù)學模型的分數(shù)階滑模觀測器系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of fractional order sliding mode observer system based on fractional order mathematical model of PMSM

2.1 觀測器設計

依據(jù)永磁同步電機在兩相靜止α，β 坐標系下的分數(shù)階定子電壓方程，構(gòu)造滑模觀測器為

將永磁同步電機在兩相靜止定義α，β 坐標系下的分數(shù)階定子電壓方程(4)與相應的動態(tài)方程(6)相減，并定義觀測誤差，可得到定子電流誤差系統(tǒng)方程為

針對滑模觀測器系統(tǒng)，設計切換函數(shù):

式中，λ為滑模面增益，r 為分數(shù)階微積分的階次.

2.2 可達性證明

為證明系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)在有限時間內(nèi)到達滑模面，構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)V:

考慮到式(7)中的微分項階次為分數(shù)階，若直接對Lyapunov 函數(shù)一階求導，則加大了對系統(tǒng)穩(wěn)定性進行論證的復雜度［11-12］.因此，對Lyapunov 函數(shù)進行分數(shù)階求導，則有:

其中，

因此，令

并代入式(10)中，可得:

根據(jù)Lyapunov 穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)能由任意初始狀態(tài)在有限時間內(nèi)收斂到切換流行面.

2.3 滑模觀測器參數(shù)整定

滑模觀測器中的系統(tǒng)運行軌跡分為趨近模態(tài)與滑動模態(tài)兩個過程［13］.分析式(11)可知，當s = 0時，即說明系統(tǒng)當前的運行軌跡到達滑模面，并開始進行滑模運動，此時可改寫式(11)為

分析圖1中虛線框內(nèi)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，并結(jié)合考慮滑模運動狀態(tài)下的控制率方程(12)及永磁同步電機動態(tài)模型方程(6)，可畫出相應的系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示.

圖2 系統(tǒng)等效結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Equivalent structure diagram of system

從圖2中可以看出，將永磁同步電機動態(tài)模型

(6)轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)形式，可得:

在滑模運動狀態(tài)下，控制率(12)也可轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)，即

根據(jù)式(13)及式(14)，可得出系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)的形式為

下面是3 條設計準則［14］:

(1)相角裕度準則

(2)穿越頻率準則

(3)增益變化魯棒性準則

其中，ωc為幅頻特性曲線的截止頻率，φm為相角裕度.

聯(lián)立由3 條設計準則構(gòu)造得出的方程，可得:

其中:

根據(jù)式(16)及式(17)，可繪出 1 和 2 關(guān)于r 變化的兩條曲線，如圖3所示.

圖3 隨r 變化的曲線Fig.3 Curves of changing with r

求解圖3中兩條曲線的交點，可得到分數(shù)階滑模觀測器方程(8)中的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別為 = -132.9及r = -1.62 .所設計出的基于分數(shù)階滑模觀測器與分數(shù)階模型的永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)的波特圖如圖4所示.

圖4 整數(shù)階、分數(shù)階滑模觀測器作用下的系統(tǒng)波特圖Fig.4 System Bode diagrams with IO-SMO and FO-SMO

從圖4中可以看出，系統(tǒng)截止頻率和相角裕度均滿足設計要求;且在截止頻率處，相頻特性曲線的斜率為零，滿足增益變化魯棒性準則的要求.

3 啟動過程分析

文中提出的永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)為矢量控制系統(tǒng).當電機轉(zhuǎn)速位于零速或附近的低速范圍內(nèi)時，無法避免控制死區(qū)及觀測死區(qū)的問題，此時矢量控制系統(tǒng)內(nèi)的轉(zhuǎn)速環(huán)為開環(huán)狀態(tài).因此，為保證電機能夠平滑啟動或停機，須保證系統(tǒng)產(chǎn)生的定子圓形旋轉(zhuǎn)磁場的幅值與相角能穩(wěn)定地增大或減小.圖5給出了啟動過程中電壓空間矢量的變化規(guī)律，圖中α 軸與β 軸分別代表電壓空間矢量在靜止兩相αβ 坐標系下的分量;相互嵌套的虛線圓為電壓空間矢量在幅值恒定時旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的狀態(tài)軌跡;U1-U6為按逆時針旋轉(zhuǎn)順序增大的6 個電壓空間矢量，隨著矢量幅值的增大，電機轉(zhuǎn)速也將相應地增大，從而實現(xiàn)電機的平滑啟動.

圖5 定子電壓空間矢量變化規(guī)律Fig.5 Changing patterns of stator voltage space vector

4 仿真結(jié)果與討論

以Matlab 軟件為仿真平臺.其中電機參數(shù):Rs=1.32 Ω，L = 0.0261H，J = 25.1 ×10-3kg·m2，Bm=0.8 ×10-3N·m·s，參考文獻［15］，設定分數(shù)階模型的階次分別為ζ = 0.9219，? = 0.9534.

將分數(shù)階算子sζ近似為有限維的離散傳遞函數(shù)，設置采樣周期為0.000125 s，則有:

其中:

從而，即可得到分數(shù)階滑模觀測器Rs- Lsr+ζ的近似表達形式為，其中:

在Matlab/Simulink 環(huán)境下，按照實際的永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)進行建模與仿真，設置給定輸入為斜坡信號與正弦信號的分段疊加以區(qū)分不同的控制策略［16］，響應曲線如圖6-9 所示.

圖6 分數(shù)階滑模觀測器作用下的正弦響應曲線Fig.6 Sinusoidal response curves under the influence of FOSMO

圖7 整數(shù)階滑模觀測器作用下的正弦響應曲線Fig.7 Sinusoidal response curves under the influence of IO-SMO

圖8 分數(shù)階滑模觀測器作用下的轉(zhuǎn)子位置對比曲線Fig.8 Comparison of rotor position curves under the influence of FO-SMO

圖9 整數(shù)階滑模觀測器作用下的轉(zhuǎn)子位置對比曲線Fig.9 Comparison of rotor position curves under the influence of IO-SMO

根據(jù)圖6-9 給出的正弦響應特性曲線與轉(zhuǎn)子位置對比曲線，采用時間乘以誤差絕對值積分ITAE性能指標對其進行衡量.其數(shù)學表達式為

其中，t 為時間，e(t) 為誤差.依據(jù)ITAE 性能指標，可得到整數(shù)階滑模觀測器與分數(shù)階滑模觀測器分別作用于永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)上的系統(tǒng)控制效果，如表1所示.

表1 兩種控制方式下的ITAE 值對比Table1 Comparison of ITAE under two kinds of control strategy

從表1可以看出，分數(shù)階滑模觀測器作用下的永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)比整數(shù)階滑模觀測器能夠獲得更好的綜合控制性能.

5 實驗

將文中提出的控制策略在永磁同步電機伺服系統(tǒng)進行實驗驗證，實驗平臺如圖10所示.主控板的核心是DSP 處理器，其具體型號為TMS320F2812.PC 機主要通過采集伺服電機反饋的數(shù)據(jù)進行分析比較，編碼器則用于將實際轉(zhuǎn)子位置角度與預測轉(zhuǎn)子預測角度進行對比.實驗結(jié)果如圖11-14 所示.

圖11、12 給出了分數(shù)階與整數(shù)階滑模觀測器分別作用下永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)的正弦響應曲線及相應的誤差曲線，其中，縱坐標以標幺值的方式進行顯示.對比兩張圖可以看出，相比整數(shù)階滑模觀測器，分數(shù)階滑模觀測器作用下的系統(tǒng)正弦響應在電機他控啟動及控制方式切換后具有較小的誤差波動，能更好地實現(xiàn)兩種控制方式間的平滑切換.

圖10 實驗平臺Fig.10 Experiment platform

圖11 分數(shù)階與整數(shù)階滑模觀測器作用下的系統(tǒng)正弦響應曲線Fig.11 System sinusoidal responses curves under the influence of FO-SMO and IO-SMO

圖12 分數(shù)階與整數(shù)階滑模觀測器作用下的系統(tǒng)正弦響應誤差曲線Fig.12 Error curves of system sinusoidal responses under the influence of FO-SMO and IO-SMO

圖13、14 給出了分數(shù)階與整數(shù)階滑模觀測器分別作用下永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)的估算轉(zhuǎn)子位置及實測轉(zhuǎn)子位置對比及誤差曲線，其中，縱坐標以標幺值的方式進行顯示.對比兩張圖可以看出，分數(shù)階滑模觀測器作用下的估算轉(zhuǎn)子位置與實測轉(zhuǎn)子對比曲線相比整數(shù)階滑模觀測器誤差較小.

圖13 分數(shù)階滑模觀測器作用下的轉(zhuǎn)子位置對比曲線Fig.13 Comparison of rotor position curves under the influence of FO-SMO

圖14 整數(shù)階滑模觀測器作用下的轉(zhuǎn)子位置對比曲線Fig.14 Comparison of rotor position curves under the influence of IO-SMO

6 結(jié)語

針對永磁同步電機無位置傳感器控制系統(tǒng)中存在的無法零速啟動的問題，設計了他控啟動以及由他控方式向自控方式切換的分段控制策略.為消減控制方式切換過程中所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)速抖振，引入了分數(shù)階模型及分數(shù)階滑模觀測器理論以提高系統(tǒng)的控制與觀測精度，并給出了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析.仿真和實驗證明，文中提出的控制策略不但實現(xiàn)了電機的平滑啟動，而且明顯削弱了控制方式切換過程中所帶來的轉(zhuǎn)速抖振.

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