考慮摩擦系數(shù)的瀝青路面動態(tài)軸載換算*

韓丁 申飛 李凌林

(合肥工業(yè)大學(xué) 交通運(yùn)輸工程學(xué)院，安徽 合肥230009)

國內(nèi)現(xiàn)有的道路設(shè)計(jì)方法通常將車輛荷載簡化為雙圓靜態(tài)均布荷載，以雙輪單軸BZZ-100(100 kN)為標(biāo)準(zhǔn)軸載，以設(shè)計(jì)彎沉值作為路面整體剛度的控制指標(biāo)，對瀝青混凝土面層、基層和底基層進(jìn)行層底彎拉應(yīng)力驗(yàn)算［1］.實(shí)踐證明現(xiàn)有規(guī)范設(shè)計(jì)方法具有較大的局限性，因而很多學(xué)者主張路面設(shè)計(jì)時應(yīng)考慮移動荷載的影響.陳少幸等［2］提出了基于瀝青層疲勞特性設(shè)計(jì)指標(biāo)，推導(dǎo)出基于等效疲勞原則的軸載換算公式.胡朋等［3］使用動荷載系數(shù)功率譜密度、動荷載大小及分布概率，推導(dǎo)了考慮動荷載的當(dāng)量軸載換算公式.各國學(xué)者也對動荷載作用下路面結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)進(jìn)行了大量的理論研究.Lv 等［4］采用數(shù)學(xué)方法求解出Kevlin 地基上無限大板在移動荷載作用下動態(tài)響應(yīng)的數(shù)值解.羅蘇平等［5-6］依據(jù)Biot 理論和Fourier 變換等方法求解了路面各結(jié)構(gòu)層在移動交通荷載作用下的動力響應(yīng).然而在計(jì)算路面動力響應(yīng)理論解析解時，大多涉及到復(fù)雜的被積函數(shù)和多重廣義積分運(yùn)算，以致路面動力響應(yīng)的求解受到了極大的限制.隨著數(shù)值有限元仿真的發(fā)展，越來越多的動力學(xué)問題可以通過數(shù)值模擬來求解.張麗娟等［7］對重復(fù)荷載作用下的瀝青混合料進(jìn)行粘彈性有限元分析，預(yù)測出重復(fù)荷載作用下AC-13 基質(zhì)和改性瀝青混合料的變形.李凌林等［8］通過編寫UTRACLOAD 和DSLOAD 子程序用有限元分析計(jì)算了水平移動荷載作用下的瀝青路面響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)水平剪切力引起的豎向永久變形和由正壓力引起的豎向永久變形相比同樣嚴(yán)重.Patil 等［9］使用包含無限單元的三維有限元模型分析無限介質(zhì)屬性對有限元計(jì)算的影響，并獲得采用無限邊界時動荷載作用下路面結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng).目前數(shù)值模擬缺少有效性驗(yàn)證和多因素耦合作用下路面的動力響應(yīng)分析.

針對以上問題，基于二維Lamb 問題驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算的有效性，并對三維數(shù)值計(jì)算中的阻尼參數(shù)和模型尺寸進(jìn)行了比選.在考慮路面摩擦系數(shù)、荷載移動速度和軸載水平等因素的基礎(chǔ)上，分析了剛性基層瀝青路面的三維動力學(xué)數(shù)值計(jì)算模型，給出了以瀝青層底彎拉應(yīng)力為指標(biāo)并考慮摩擦系數(shù)的動態(tài)軸載換算公式.

1 數(shù)值計(jì)算模型有效性分析

1.1 基于Lamb 問題的理論驗(yàn)證

Lamb 研究了垂直點(diǎn)源和線源脈沖分別位于彈性半空間體表面和內(nèi)部時動力波的傳播問題，Pekeris 等［10-11］對垂直點(diǎn)源Lamb 問題進(jìn)一步分析獲得了解析解.文中建立二維數(shù)值計(jì)算模型模擬垂直點(diǎn)源脈沖的傳播，并與解析解進(jìn)行比較驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算的有效性.計(jì)算模型尺寸為10 m×10 m，單元類型為CPE4，材料泊松比為0.25，彈性模量為1.4 GPa，密度為2300 kg/m3，幾何模型如圖1(a)所示.脈沖荷載垂直向下施加于點(diǎn)A，荷載形式見圖1(b).取B為觀察點(diǎn)，圖1(c)為B 點(diǎn)豎向位移計(jì)算結(jié)果和解析解的比較圖，兩類結(jié)果的曲線形狀與幅值大小都比較接近，計(jì)算結(jié)果略大于解析解，該差異是由數(shù)值模型的計(jì)算效率和有限元計(jì)算時間步長設(shè)置導(dǎo)致.

圖1 數(shù)值計(jì)算有效性驗(yàn)證Fig.1 Verification of numerical calculation validity

1.2 阻尼參數(shù)的比選

為評價β 阻尼的影響，選取4 m×4 m×4 m 的立方體試件，動態(tài)彈性模量E = 2.0 GPa，密度ρ =2400 kg/m3，最小單元長度L=0.05 m，底面全約束，其他各面法向約束，荷載加載在半徑為0.15 m 的1/4圓形承載板上，模型如圖2所示.對承載板施加垂直向下的半正弦荷載，荷載幅值為0.1 MPa，作用時間為0.03 s.

圖2 阻尼因子分析模型Fig.2 Damping factor analysis model

無阻尼時的初始穩(wěn)定時間增量計(jì)算式為

此時tsat=5.5×10-5s，β 阻尼因子優(yōu)先使用小于或等于無阻尼計(jì)算的初始穩(wěn)定時間增量.根據(jù)初始穩(wěn)定時間增量選取的β 阻尼因子見表1.在計(jì)算模型中選取3 個表面點(diǎn)分別距加載點(diǎn)1.0、1.6 和2.2 m，作為測點(diǎn)1、2 和3，比較輸出的位移時程曲線.未考慮阻尼情況下的位移曲線如圖3(a)所示，振動曲線中包含較多振蕩，根據(jù)輸出曲線確定振動的幅值存在誤差，通過消噪讀取測點(diǎn)1、2 和3 的位移幅值分別為9.4×10-7、5.7×10-7和3.6×10-7m.

表1 β 阻尼因子數(shù)值Table1 β damping factor value

對比圖3(a)和圖3(b)發(fā)現(xiàn)，β 阻尼因子可以有效消除振蕩，阻尼因子為5 ×10-6時各測點(diǎn)的位移幅值分別為9.46 ×10-7、5.9 ×10-7和3.77 ×10-7m，與未考慮阻尼的振動幅值對比，平均誤差為2.95%.算例2 至6 位移曲線的對比如圖3(b)、(c)和(d)所示，可見隨著β 阻尼因子的增大，曲線逐漸趨于平滑，但振動幅值也有減小的趨勢.計(jì)算發(fā)現(xiàn)β 阻尼因子取2 ×10-5和5 ×10-5時振動消噪的效果較好，且振動幅值與無阻尼情況相比變化不大，平均誤差分別為0.84%和1.01%，因此β 阻尼因子取2 ×10-5.

圖3 不同阻尼情況下各測點(diǎn)振幅時程曲線Fig.3 Displacement-time history curves of measuring points in different damping conditions

1.3 數(shù)值計(jì)算模型尺寸

建立剛性基層路面結(jié)構(gòu)有限元模型，模型尺寸為7 m×4.375 m×3.4 m，路面各結(jié)構(gòu)層厚度及材料參數(shù)見表2.

表2 瀝青路面結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)表［12-13］Table2 Structure and material parameters of asphalt pavement［12-13］

續(xù)表2

模型四周邊界約束法向位移，底部邊界全約束.在兩個直徑為0.213 m 的圓形加載面上施加荷載，通過加載面的移動實(shí)現(xiàn)荷載的移動.對荷載通過區(qū)域的路面結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行加密，如圖4所示.

圖4 移動荷載作用下瀝青路面模型Fig.4 Model of asphalt pavement under moving load

1.4 模型尺寸驗(yàn)證

為確定有限元模型尺寸的合理性，建立無限元模型進(jìn)行對比計(jì)算，車輛荷載采用標(biāo)準(zhǔn)軸載BZZ-100，速度為80 km/h，沿z 軸正方向運(yùn)動，路面摩擦系數(shù)為0.5［14］.選取的應(yīng)力輸出位置為加載面行駛軌跡中間段的圓心正下方，分析路面結(jié)構(gòu)的層底動態(tài)彎拉應(yīng)力和瀝青面層的動態(tài)剪應(yīng)力.

如圖5、6 所示，有限元和無限元模型的彎拉應(yīng)力曲線基本一致，有限元模型剪應(yīng)力計(jì)算值大于無限元模型計(jì)算值，兩類模型誤差較小.剪應(yīng)力存在差異的原因是有限元模型底部全約束，而無限元模型能實(shí)現(xiàn)無限遠(yuǎn)邊界條件.考慮到計(jì)算效率和推廣性，文中采用有限元模型.

圖5 層底彎拉應(yīng)力σz時程曲線Fig.5 Time curves of bottom flexural stres σz

圖6 剪應(yīng)力σyz時程曲線Fig.6 Time curves of shear stress σyz

2 結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)影響因素分析

移動荷載作用下路面結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)非常復(fù)雜，除與路面材料特性和路面結(jié)構(gòu)組合有關(guān)外，還受車速、路面摩擦系數(shù)和車輛軸載等其他因素的影響.

車輛荷載采用標(biāo)準(zhǔn)軸載BZZ-100，速度為80 km/h，沿z 軸正方向運(yùn)動，路面摩擦系數(shù)為0.5［14］，層底彎拉應(yīng)力觀察點(diǎn)位置為動載行駛軌跡中間段加載面圓心的正下方.計(jì)算發(fā)現(xiàn)各結(jié)構(gòu)層中平行于行駛方向(沿z 軸)的彎拉應(yīng)力σz均大于垂直于行駛方向(沿x 軸)的σx，所以選取σz進(jìn)行分析.路面各結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力時程曲線如圖7所示，可以看出層底彎拉應(yīng)力σz在路面結(jié)構(gòu)中衰減很快，如上面層層底為0.332 MPa，下面層層底為0.167 MPa，上基層層底為0.044 MPa.因此，汽車勻速行駛狀態(tài)下荷載的彎拉作用主要集中于瀝青面層，對剛性基層及以下區(qū)域的影響明顯變小.

圖7 層底彎拉應(yīng)力時程曲線Fig.7 Bottom flexural stress-time curves

2.1 路面摩擦系數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)［14］中選取接觸面摩擦系數(shù)為0.3、0.5、0.7 和0.9，其他工況保持不變，路面各結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力時程曲線如圖8所示.路面摩擦系數(shù)由0.3 變?yōu)?.9 時，上面層層底彎拉應(yīng)力由0.290 MPa 增加到0.450 MPa，表明改變摩擦系數(shù)有明顯影響.

圖8 不同摩擦系數(shù)下層底彎拉應(yīng)力時程曲線Fig.8 Time history curves of bottom flexural stress at different friction coefficients

2.2 荷載移動速度

荷載移動速度分別取60、80、100 和120 km/h，其他工況保持不變，路面各結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力時程曲線如圖9所示.可以發(fā)現(xiàn)荷載移動速度發(fā)生變化后，路面各結(jié)構(gòu)層所受彎拉應(yīng)力仍保持穩(wěn)定，說明在路面平整度較好且車輛保持勻速行駛的情況下，荷載移動速度的影響很小，即通過車速控制措施難以減輕對路面結(jié)構(gòu)的損壞.

2.3 車輛軸載

軸載分別取6、10、16 和20 t，其他工況保持不變，路面各結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力時程曲線如圖10所示.當(dāng)軸載由6t 增加到20t 時，上面層層底彎拉應(yīng)力值由0.200MPa 增加到0.667MPa，增加了233.5%，下面層層底彎拉應(yīng)力值由0.100MPa 增加到0.334MPa，增加了234.0%，上基層層底彎拉應(yīng)力值由0.026 MPa 增加到0.087 MPa，增加了234.6%.

圖9 不同荷載速度作用下層底彎拉應(yīng)力時程曲線Fig.9 Time history curves of bottom flexural stress at different speeds

通過層底彎拉應(yīng)力的分析，可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)力值增幅與荷載增幅非常接近，路面各結(jié)構(gòu)層所受應(yīng)力隨軸重呈線性變化.

3 當(dāng)量軸載換算

3.1 軸載換算理論公式

美國公路工程師協(xié)會(AASHTO)根據(jù)路面使用性能變化基本方程式推導(dǎo)的軸載換算公式為目前大多數(shù)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，其柔性路面當(dāng)量軸載換算公式為［15］

式中，W18為標(biāo)準(zhǔn)軸載(80 kN)作用次數(shù)，Wx為被換算軸載作用次數(shù)，L18為標(biāo)準(zhǔn)軸載，Lx為被換算軸載.βx=為最終服務(wù)性指數(shù)，Ls為標(biāo)準(zhǔn)軸載，L2為被換算軸載，下標(biāo)數(shù)字1 表示單軸，2 表示雙軸，3 表示三軸，SN 為路面結(jié)構(gòu)數(shù).

圖10 不同軸載作用下的層底彎拉應(yīng)力時程曲線Fig.10 Time history curves of bottom flexural stress at different axle loads

我國現(xiàn)行規(guī)范［1］根據(jù)彈性層狀體系理論，對于單軸雙輪組在不同軸載作用下的層底彎拉應(yīng)力比的簡化公式描述為

式中，Pi為第i 個軸載大小，σi為Pi產(chǎn)生的層底彎拉應(yīng)力，a、b 為系數(shù).

設(shè)計(jì)層底彎拉應(yīng)力σd為

式中，N 為軸載作用次數(shù)，A、c 為系數(shù)，根據(jù)軸載換算等效原則計(jì)算獲得軸載換算簡化公式:

式中，Ni為第i 個軸載的作用次數(shù).目前瀝青層底彎拉應(yīng)力軸載換算公式中換算指數(shù)n 為4.35，它僅適用于單后軸介于50 ～130 kN 之間的情況.隨著軸載的增加，現(xiàn)行的靜態(tài)換算公式逐漸無法滿足安全需求.

3.2 考慮摩擦系數(shù)的動態(tài)軸載換算

由圖9可以發(fā)現(xiàn)，荷載移動速度對路面結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力的影響較小，因此在進(jìn)行軸載換算因素分析時不考慮速度的影響，結(jié)合實(shí)際，取荷載移動速度80km/h.不同摩擦系數(shù)和軸載作用下瀝青層層底彎拉應(yīng)力峰值見圖11，可以看出，軸載和摩擦系數(shù)的改變對瀝青層底彎拉應(yīng)力的影響非常明顯.

圖11 不同摩擦系數(shù)及軸重作用下瀝青層底彎拉應(yīng)力峰值(單位:Pa)Fig.11 Bottom flexural stress peaks of asphalt layer under different friction coefficients and axle loads(Unit:Pa)

根據(jù)不同軸重和路面摩擦系數(shù)下的瀝青層底彎拉應(yīng)力計(jì)算結(jié)果，按式(7)計(jì)算以瀝青層底彎拉應(yīng)力為換算指標(biāo)的軸載換算系數(shù)a 和b.計(jì)算時取p =100 kN，σ 為對應(yīng)的瀝青層底彎拉應(yīng)力，

圖12為參數(shù)a、b 數(shù)值示意圖，可以發(fā)現(xiàn)隨摩擦系數(shù)的變化，參數(shù)a、b 變化范圍較小，平均值分別為1.00 和1.01.其中b 值大于《公路瀝青路面設(shè)計(jì)規(guī)范》(JTG D50—2006)的軸載換算系數(shù)0.87.

圖12 參數(shù)a、b 數(shù)值Fig.12 Values of parameters a and b

文獻(xiàn)［1］中認(rèn)為瀝青層底允許彎拉應(yīng)力按式(4)表達(dá)，其中c=0.2 最符合瀝青路面的疲勞特性.依據(jù)式(5)和式(6)，考慮路面摩擦系數(shù)的動態(tài)軸載換算公式為

式中，n 為5.05，大于當(dāng)前規(guī)范值4.35.因此，使用考慮摩擦系數(shù)的動態(tài)軸載換算公式計(jì)算的累積作用軸次明顯大于當(dāng)前規(guī)范靜載公式的換算結(jié)果.

4 結(jié)論

依據(jù)垂直點(diǎn)源的二維Lamb 問題解析解驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算的有效性，并分析選擇合理的阻尼參數(shù)和模型尺寸進(jìn)行三維數(shù)值計(jì)算，得出以下結(jié)論:

(1)摩擦系數(shù)由0.3 變?yōu)?.9 時，上面層層底彎拉應(yīng)力增加了55.1%;路面平整度保持較好，荷載勻速移動時，改變移動速度，路面各結(jié)構(gòu)層所受應(yīng)力保持穩(wěn)定.軸重由6 t 增為20 t 時，路面各結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力增加了234%左右.路面各結(jié)構(gòu)層所受應(yīng)力隨軸重呈線性變化，摩擦系數(shù)對道路各結(jié)構(gòu)層層底彎拉應(yīng)力明顯，車輛勻速行駛時車速對路面動力特性影響較小.

(2)考慮動荷載作用時的當(dāng)量軸載換算指數(shù)n為5.05，大于當(dāng)前規(guī)范值4.35.因此使用動態(tài)軸載換算公式計(jì)算的累積作用軸次明顯大于當(dāng)前規(guī)范靜載公式的換算結(jié)果，使用考慮摩擦系數(shù)的動態(tài)軸載換算公式進(jìn)行路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)更加安全.

［1］JTG D50-2006，公路瀝青路面設(shè)計(jì)規(guī)范［S］.

［2］陳少幸，虞將苗，任偉新，等.基于疲勞等效的柔性基層瀝青路面軸載換算研究［J］.武漢理工大學(xué)學(xué)報(bào):交通科學(xué)與工程版，2010，34(4):762-768.Chen Shao-xing，Yu Jiang-miao，Ren Wei-xin，et al.Study on axle load conversion of flexible basement asphalt based on fatifue equivalen［J］.Journal of Wuhan Uniwersity of Technology:Transportation Science ＆ Enginee-ring，2010，34(4):762-768.

［3］胡朋，潘曉東.考慮動荷載影響的當(dāng)量軸載換算理論分析［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2011，43(6):91-95.Hu Peng，Pan Xiao-dong.Equivalent standard axle load conversion in theory considering dynamic load［J］.Journal of Harbin Institute of Technology，2011，43(6):91-95.

［4］Lv Peng-min，Tian Run-li，Liu Xiao-yun.Dynamic response solution in transient state of viscoelastic road under moving load and its application［J］.Journal of Engineering Mechanics，2010，136(2):168-173.

［5］羅蘇平，但漢成，李亮，等.移動交通荷載下飽和瀝青路面的水力耦合分析［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2012，40(2):104-111.Luo Su-ping，Dan Han-cheng，Li Liang，et al.Coupled hydro-mechanical analysis of saturated asphalt pavement under moving traffic loads ［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2012，40(2):104-111.

［6］Fang Xue-qian，Yang Shao-pu.Dynamic response of road pavement resting on a layered poroelastic half-space to a moving traffic load［J］.International Journal for Numerical and Analytical Methods in Geomechanics，2014，38(2):189-201.

［7］張麗娟，陳頁開.重復(fù)荷載下瀝青混合料變形的粘彈性有限元分析［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2009，39(11):12-16.Zhang Li-juan，Chen Ye-kai.Viscoelastic finite element analysis of deformation of asphalt mixtures under repeated load［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2009，39(11):12-16.

［8］李凌林，黃曉明.水平移動荷載作用下瀝青路面的永久變形［J］.華南理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2011，39(3):125-129.LiLing-lin，Huang Xiao-ming.Permanent deformation of asphalt pavement under horizontal moving load［J］.Journal of South China University of Technology:Natural Science Edition，2011，39(3):125-129.

［9］Patil V A，SawanV A t，Deb Kousik.3D finite-element dynamic analysis of rigid pavement using infinite elements［J］.International Journal of Geomechanics，2013，10(3):533-544.

［10］Pekeris C L.The seismic surface pulse［J］.Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America，1955，41(7):469-480.

［11］劉凱欣，劉廣裕.垂直點(diǎn)源問題的一個精確解［J］.科學(xué)通報(bào)，2004，49(5):419-423.Liu Kai-xin，Liu Guang-yu.An exact solution for a normal point source problem［J］.Chinese Scinece Bulletin(In Chinese)，2004，49(5):419-423.

［12］侯蕓，孫四平，郭忠印.移動荷載下剛性路面響應(yīng)的參數(shù)影響分析［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2003，30(1):31-35.Hou Yun，Sun Si-ping，Guo Zhong-yin.Dynamic response sensitivity analysis of plate on elastic foundation subjected to moving point loads ［J］.Journal of Tongji University:Natural Science Edition，2003，30(1):31-35.

［13］黃兵，吳玉，艾長發(fā)，等.結(jié)構(gòu)參數(shù)對瀝青路面動態(tài)響應(yīng)的影響［J］.公路交通科技，2013，30(9):8-13.Huang Bing，Wu Yu，Ai Chang-fa，et al.Influence of structural parameters on dynamic response of asphalt pavement［J］.Journal of Highway and Transportation Research and Development，2013，30(9):8-13.

［14］胡朋，潘曉東.不同狀態(tài)下路面摩擦系數(shù)現(xiàn)場試驗(yàn)研究［J］.公路，2011，2(2):20-24.Hu Peng，Pan Xiao-dong.Field experiment and study on pavement friction coefficient under different conditions［J］.Highway，2011，2(2):20-24.

［15］王端宜，張肖寧.路面結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論［M］.廣州:華南理工大學(xué)交通學(xué)院，2005:63-65.