水動(dòng)力系數(shù)敏感性分析在潛艇水平面運(yùn)動(dòng)模型簡化中的應(yīng)用研究

李浪濤，倪 剛，潘良高，胡 濤，林俊興

(1.海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院，湖北 武漢430033;2.中國人民解放軍92531 部隊(duì)，海南 三亞572000;3.海軍駐南京地區(qū)航天機(jī)電系統(tǒng)軍事代表室，江蘇 南京210006)

0 引 言

在潛艇操縱性研究中，計(jì)算機(jī)仿真作為操縱性預(yù)報(bào)最有前途的方法被廣泛的使用［1］。目前，對(duì)潛艇操縱性進(jìn)行評(píng)估的方法是基于傳統(tǒng)的、以水動(dòng)力系數(shù)表達(dá)水動(dòng)力(矩)的水動(dòng)力模型，通過時(shí)域的數(shù)值解算進(jìn)而評(píng)估不同的機(jī)動(dòng)［2］。模型中無因次水動(dòng)力系數(shù)通常被認(rèn)為是常數(shù)，該方法普遍用于預(yù)報(bào)潛艇水面、水下的操縱性及評(píng)估其運(yùn)動(dòng)控制性。而此方法的核心是仿真數(shù)學(xué)模型和水動(dòng)力系數(shù)［3］。

通過大量的研究試驗(yàn)證明，用近似估算公式估算的水動(dòng)力系數(shù)［4］，來進(jìn)行數(shù)值仿真預(yù)報(bào)潛艇操縱性的精度已經(jīng)達(dá)到了工程要求［5］。但這種測算方法也有一些急需解決的問題:怎樣進(jìn)一步提高精度以及如何減少研究的工作量等。通過深入研究發(fā)現(xiàn)，不同的水動(dòng)力系數(shù)對(duì)潛艇的操縱性影響范圍和程度都有所不同，因此各水動(dòng)力系數(shù)在模型中的重要程度也是不同的，如果可以找到各水動(dòng)力系數(shù)對(duì)操縱性影響的規(guī)律，盡量提高對(duì)操縱運(yùn)動(dòng)影響顯著的水動(dòng)力系數(shù)的估算精度。同時(shí)將對(duì)操縱運(yùn)動(dòng)影響較小的水動(dòng)力系數(shù)做較為粗糙的估算，或者將這些水動(dòng)力從運(yùn)動(dòng)模型中舍去。這樣不僅能夠提高預(yù)報(bào)精度，而且可以大大減少工作量［6］。

因此，水動(dòng)力系數(shù)敏感性研究提出了一個(gè)可以簡化水動(dòng)力模型和界定各水動(dòng)力系數(shù)對(duì)潛艇操縱性影響程度的方法。本文采用水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)對(duì)某模型艇水平面運(yùn)動(dòng)模型的水動(dòng)力系數(shù)敏感性進(jìn)行了計(jì)算與分析，結(jié)果得到了不同水動(dòng)力系數(shù)的相對(duì)重要程度，并且根據(jù)不同誤差范圍，簡化了潛艇水平面動(dòng)力模型。為潛艇的設(shè)計(jì)和操縱性研究提供參考，并為國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51179196)的研究提供理論指導(dǎo)。

1 潛艇水平面運(yùn)動(dòng)模型

本文的坐標(biāo)系、名詞術(shù)語和符號(hào)，都采用國際水池會(huì)議(ITTC)推薦的和造船與輪機(jī)工程學(xué)會(huì)(SNAME)術(shù)語公報(bào)體系［2］。運(yùn)動(dòng)方程為潛艇標(biāo)準(zhǔn)水平面運(yùn)動(dòng)方程:

軸向運(yùn)動(dòng)方程:

側(cè)向運(yùn)動(dòng)方程:

轉(zhuǎn)艏運(yùn)動(dòng)方程:

運(yùn)動(dòng)關(guān)系式:

從潛艇水平面運(yùn)動(dòng)模型看出，模型的確定需要2 個(gè)因素，一是反映模型結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)方程，二是描述潛艇的特征參數(shù)(水動(dòng)力系數(shù)是特征參數(shù)之一)。當(dāng)模型結(jié)構(gòu)確定以后，潛艇的運(yùn)動(dòng)參數(shù)就構(gòu)成了模型中參數(shù)的函數(shù)［6］。也可以說，潛艇水平面運(yùn)動(dòng)模型確定了一個(gè)從模型參數(shù)到運(yùn)動(dòng)參數(shù)的映射，這映射關(guān)系可以描述為:當(dāng)給定模型參數(shù)的向量空間X 后，就決定了運(yùn)動(dòng)參數(shù)曲面R=S(X)。對(duì)向量空間X 中任意一個(gè)參數(shù)向量H，運(yùn)動(dòng)參數(shù)曲面S 上總有反映運(yùn)動(dòng)參數(shù)R 的一點(diǎn)P 與之對(duì)應(yīng)，且P 點(diǎn)將隨著H 的改變而改變。研究中發(fā)現(xiàn)，模型中任意參數(shù)的變化，都將引起運(yùn)動(dòng)參數(shù)R的改變。本文目的是研究潛艇在水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中，模型參數(shù)空間中水動(dòng)力系數(shù)的變化對(duì)戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的影響程度。

2 水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)

由于不同的水動(dòng)力系數(shù)對(duì)于潛艇操縱性的影響程度不同，即潛艇操縱性對(duì)不同水動(dòng)力系數(shù)的敏感程度不同，因此引入水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)S［7］，定義如下:

式中:R 為運(yùn)動(dòng)參數(shù)，例如戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑、超越深度等;H 為水動(dòng)力系數(shù)。有上標(biāo)* 為基準(zhǔn)的水動(dòng)力系數(shù)和對(duì)應(yīng)仿真計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，無上標(biāo)為變化的水動(dòng)力系數(shù)和對(duì)應(yīng)仿真計(jì)算得到的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。

從上式中可以看出，敏感性指數(shù)S 代表了潛艇在某一操縱條件下運(yùn)動(dòng)參數(shù)對(duì)水動(dòng)力系數(shù)變化的敏感程度，可以理解為1%的水動(dòng)力系數(shù)變化導(dǎo)致潛艇運(yùn)動(dòng)變化的百分點(diǎn)數(shù)。例如，在潛艇在航速8 kn、操方向舵5°進(jìn)行水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，作為輸入響應(yīng)的某一水動(dòng)力系數(shù)Hi變化a%，那么對(duì)于選取作為輸出響應(yīng)的戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑，也會(huì)相應(yīng)的變化b%，輸出響應(yīng)的變化比上輸入相應(yīng)的變化，即可以求出此操縱條件下作為運(yùn)動(dòng)參數(shù)的戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)。當(dāng)S = 0 為輸入變化對(duì)輸出響應(yīng)沒有任何影響;S ＞0 為輸出響應(yīng)隨輸入的增大而增大;S ＜0 為輸出響應(yīng)隨輸入的增大而減小。同時(shí)，S 的絕對(duì)值越大說明輸入變化對(duì)輸出響應(yīng)的影響程度越大，即該水動(dòng)力系數(shù)對(duì)操縱運(yùn)動(dòng)的影響越顯著。

3 水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)計(jì)算與分析

3.1 水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)的計(jì)算

本文利用Matlab7.8/ Simulink 軟件，根據(jù)某模型潛艇的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和水動(dòng)力系數(shù)，建立其水平面運(yùn)動(dòng)仿真模型。計(jì)算機(jī)模擬仿真其水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，選取潛艇標(biāo)準(zhǔn)水平面運(yùn)動(dòng)模型中的27 個(gè)無因次水動(dòng)力系數(shù)為輸入量，輸出響應(yīng)為戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑。因?yàn)榛剞D(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)試驗(yàn)是標(biāo)準(zhǔn)操縱試驗(yàn)，因此選擇戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑這個(gè)操縱性指數(shù)既可簡化計(jì)算，又具有代表性，還可以較為全面反映潛艇的回轉(zhuǎn)操縱特性［7］。本文在仿真試驗(yàn)過程中，只考慮單個(gè)輸出響應(yīng)與單個(gè)輸入變量的敏感性。

在本文計(jì)算機(jī)仿真試驗(yàn)中，設(shè)定航速8 kn，分別操方向舵5°，10°，20°，30°，35°，每次通過選取單個(gè)水動(dòng)力系數(shù)作為輸入量，將其從-100%變化到+100%，每次變化20%，然后通過大量仿真計(jì)算得出相應(yīng)的輸出響應(yīng)R。再根據(jù)敏感性指數(shù)公式計(jì)算出各操縱條件下、各輸入量對(duì)應(yīng)百分比變化的敏感性指數(shù)S 的值。本文將水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)分類進(jìn)行分析，做出具有代表性的水動(dòng)力系數(shù)在各操縱狀態(tài)下的敏感性指數(shù)曲線，各圖中的橫軸表示各水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)定義中縱軸表示圖中各曲線的斜率為相應(yīng)的敏感性指數(shù)。

各水動(dòng)力系數(shù)分別在五種操舵運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的敏感性計(jì)算結(jié)果，可以分3 類進(jìn)行分析:1)如圖1 所示水動(dòng)力系數(shù)X′rr，此類水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)在各舵角的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下都為正，這種情況下各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的戰(zhàn)術(shù)直徑隨水動(dòng)力系數(shù)的增大而增大。這樣的系數(shù)包括2)如圖2 所示水動(dòng)力系數(shù)此類水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)在各舵角的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下都為負(fù)值，這種情況下各運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的戰(zhàn)術(shù)直徑隨水動(dòng)力系數(shù)的增大而減小，這樣的系數(shù)包括δr;3)如圖3 所示水動(dòng)力系數(shù)X′vv，此類水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)在各舵角的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下有正值也有負(fù)值。這樣的系數(shù)有X′u·，Y′r·，X′vv，Y′v·，N′v·，N′r·，bT，cT。

圖1 在回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的敏感性Fig.1 Sensibility of when submarine’s rotary movement

圖2 在回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的敏感性Fig.2 Sensibility of when submarine′s rotary movement

圖3 在回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中的敏感性Fig.3 Sensibility of when submarine′s rotary movement

以上分析可知:在不同操舵運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的各水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)存在很大差異。而在相同操舵運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，各水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)也同樣存在較大差異。本文以操舵20°為例，對(duì)相同操舵運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的各水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)進(jìn)行了分析，按水動(dòng)力系數(shù)的性質(zhì)分3 類進(jìn)行分析:1)附加質(zhì)量系數(shù)敏感性指數(shù)間的比較。從圖4可知，在附加質(zhì)量系數(shù)中，除外絕大多數(shù)附加質(zhì)量系數(shù)在此運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下敏感性指數(shù)都很小;2)線性與非線性水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)之間的比較。對(duì)比分析圖5 和圖6 可知，無論是線性或是非線性系數(shù)，其中影響操縱性大的都是z 方向上的水動(dòng)力力矩系數(shù);3)不同方向上的水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)之間的比較。對(duì)比分析圖7 ～圖9可知，不管是哪個(gè)方向上的水動(dòng)力 (矩)系數(shù)，對(duì)操縱性運(yùn)動(dòng)影響較大的都是與舵角有關(guān)的水動(dòng)力系數(shù)。

圖4 操舵20°時(shí)，附加質(zhì)量敏感性曲線Fig.4 Sensibility curve of added mass when δr=20°

圖5 操舵20°時(shí)，線性水動(dòng)力系數(shù)敏感性曲線Fig.5 Sensibility curve of linear hydrodynamics coefficient when δr=20°

注:1—Xδrδr 2—Xrr 3—Xvr 4—Xvv

圖7 操舵20°時(shí)，x 方向上水動(dòng)力系數(shù)敏感性曲線Fig.7 Sensibility curve of hydrodynamics coefficient of x place when δr=20°

圖8 操舵20 °時(shí)，y 方向上水動(dòng)力系數(shù)敏感性曲線Fig.8 Sensibility curve of hydrodynamics coefficient of y place when δr=20°

圖9 操舵20 °運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下z 方向上水動(dòng)力系數(shù)敏感性曲線Fig.9 Sensibility curve of hydrodynamics coefficient of z place when δr=20°

3.2 水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)的確定

對(duì)于各水動(dòng)力系數(shù)在不同操縱條件、不同變化輸入量下的敏感性指數(shù)，選取其中絕對(duì)值最大者為本水動(dòng)力系數(shù)在水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)下的敏感性指數(shù)，得到表1，其表征的是水動(dòng)力系數(shù)對(duì)潛艇水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的最大影響程度。

表1 各水動(dòng)力系數(shù)的最大敏感性指數(shù)Tab.1 The most sensitivity index of hydrodynamics coefficient

根據(jù)由表1 分析如下:不同水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)是存在差異，即表明不同水動(dòng)力系數(shù)對(duì)潛艇運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的影響程度不同;在該操縱條件下線性水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)都大于非線性水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù);轉(zhuǎn)首力矩水動(dòng)力系數(shù)的敏感性指數(shù)相對(duì)軸向力和側(cè)向力水動(dòng)力系數(shù)敏感性要大，這和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)特性相吻合。

通常情況下，我們感興趣的只是其中敏感性指數(shù)較大的水動(dòng)力系數(shù)，因?yàn)樗麄儗?duì)相應(yīng)的潛艇運(yùn)動(dòng)影響較大，為了更精確的預(yù)報(bào)潛艇運(yùn)動(dòng)，在估算或則試驗(yàn)計(jì)算這些水動(dòng)力系數(shù)時(shí)，盡量提高它們的估算精度。而對(duì)于一些敏感性較小的水動(dòng)力系數(shù)，由于它們對(duì)相應(yīng)潛艇運(yùn)動(dòng)影響較小，所以我們可以根據(jù)自身的需要，為了減少工作量，對(duì)這些敏感性較小的水動(dòng)力系數(shù)粗略估計(jì)或者舍去這些水動(dòng)力項(xiàng)，從而簡化模型。

3.3 模型簡化與對(duì)比

本文分別選取了0.01，0.025，0.028，0.03，0.035，0.05 作為敏感性指數(shù)指標(biāo)，將敏感性指數(shù)小于這些指標(biāo)的水動(dòng)力系數(shù)賦值為0，舍去敏感性較小水動(dòng)力項(xiàng)，簡化模型。其中，，aT，bT，cT這4 個(gè)系數(shù)為潛艇艇體結(jié)構(gòu)自身所決定，故不能忽略;Y′r·和這2 個(gè)系數(shù)在模型計(jì)算過程中位于方程式分母位置，若忽略則運(yùn)動(dòng)方程無解，所以也不能賦值為0。所以，不同指標(biāo)對(duì)應(yīng)的可忽略水動(dòng)力系數(shù)如表2。

表2 不同指標(biāo)對(duì)應(yīng)的可忽略的水動(dòng)力系數(shù)Tab.2 The negligible hydrodynamics coefficient of various index

再次利用建立的運(yùn)動(dòng)仿真模型，對(duì)選擇不同敏感性指數(shù)指標(biāo)所簡化的運(yùn)動(dòng)方程，在8 kn 航速下，分別操舵5°，10°，20°，30°，35°運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，仿真計(jì)算運(yùn)動(dòng)參數(shù)，繪制航跡線，并計(jì)算各模型在不同操縱條件下戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑的誤差值，如表3。這里列出在操方向舵5°時(shí)，取敏感性指數(shù)指標(biāo)0.03 和0.05 下，簡化的模型與原始模型仿真潛艇水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的航跡曲線，如圖10 所示。

表3 不同敏感性指數(shù)指標(biāo)下的戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑相對(duì)原始模型戰(zhàn)術(shù)回轉(zhuǎn)直徑誤差Tab.3 Error of tactics rotary diameter of various index when new model compare with original model

圖10 方向舵5°，取敏感性指數(shù)指標(biāo)0.03 和0.05 簡化的模型與原始模型仿真潛艇水平面回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)航跡曲線Fig.10 The curve of simplified model and original model simulation submarine rotary movement in horizontal ，when δr=20°and sensitivity index of0. 03，0. 05

從圖10 可知，簡化方程后的仿真結(jié)果與原方程的仿真結(jié)果十分接近，很好的驗(yàn)證了水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)這種方法的有效性。并且從表3 可知，在同一操縱條件下，簡化模型的誤差值隨著敏感性指數(shù)指標(biāo)選取的增大而增大。所以，根據(jù)不同精度的需要，完全可以將方程進(jìn)行不同程度的簡化，以降低建模難度，減少運(yùn)算量。

4 總結(jié)與展望

本文研究結(jié)果表明，根據(jù)計(jì)算的水動(dòng)力系數(shù)敏感性指數(shù)，在潛艇設(shè)計(jì)和操縱性研究中，為了提高計(jì)算精度，可以對(duì)敏感性指數(shù)較大的水動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行精確計(jì)算;為了減少工作量，在誤差允許的范圍內(nèi)，可以對(duì)敏感性較小的水動(dòng)力系數(shù)進(jìn)行粗略估算或則舍去，從而簡化模型。本文作為國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目《基于高維全局分叉的水下航行器空間運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性數(shù)值分析與自航模試驗(yàn)研究》 (51179196)研究的基礎(chǔ)，為潛艇的操縱性和運(yùn)動(dòng)非線性研究提供了理論指導(dǎo)。

但是，本文主要以潛艇水平面運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)單輸出對(duì)應(yīng)單輸入來計(jì)算水動(dòng)力系數(shù)的敏感性，沒有考慮各水動(dòng)力之間存在的耦合因素。根據(jù)項(xiàng)目的研究工作，接下來將對(duì)潛艇六自由度空間運(yùn)動(dòng)模型進(jìn)行研究，并考慮各水動(dòng)力系數(shù)之間存在的耦合因數(shù)，計(jì)算單輸出對(duì)應(yīng)多輸入或則多輸出對(duì)應(yīng)多輸入之間水動(dòng)力系數(shù)的敏感性。

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