基于損失函數(shù)法的船舶操縱水動力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析

方向紅，徐 鋒

(1.中國艦船研究院，北京100192;2.武漢第二船舶設(shè)計研究所，湖北 武漢430064)

0 引 言

船舶的水動力模型通常包含大量的水動力導(dǎo)數(shù)，這些導(dǎo)數(shù)對船舶的操縱運動建模及操縱性預(yù)報的影響權(quán)重相差很大，在保證預(yù)報精度的前提下，通過參數(shù)的靈敏度分析去除一些影響權(quán)重較小的水動力導(dǎo)數(shù)，可以降低模型的復(fù)雜度，提高運算效率;同時，模型中一些水動力導(dǎo)數(shù)，尤其是高階非線性導(dǎo)數(shù)的物理意義并不明確，通過模型試驗也很難得到這些導(dǎo)數(shù)，但從機理分析的角度并不能很好地對其進行簡化，而靈敏度分析則可以解決這一問題。

另外，系統(tǒng)辨識加自航模試驗或?qū)嵆叨仍囼灥姆椒ū粡V泛應(yīng)用于水面船舶操縱運動建模，而辨識建模的精度同水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度密切相關(guān)。Rhee和Kim［1］對水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度與其辨識精度的關(guān)系進行分析，指出靈敏度較大的水動力導(dǎo)數(shù)往往能夠得到比較接近真值的估計值，而對模型貢獻較小的參數(shù)一般很難得到。這一結(jié)果一方面可以用來解釋辨識建模中一些水動力導(dǎo)數(shù)無法得到滿意結(jié)果的原因，另一方面表明可以通過試驗設(shè)計對各水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度值進行優(yōu)化，以達到最佳辨識效果。

船舶操縱水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度分析是計算水動力導(dǎo)數(shù)變化所引起的船舶運動狀態(tài)量的改變。換言之，靈敏度分析是計算船舶運動狀態(tài)量相對于水動力導(dǎo)數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。然而直接計算該偏導(dǎo)數(shù)難度較大，需要經(jīng)過復(fù)雜的理論推導(dǎo)并借助于高級程序語言進行實現(xiàn)［2］。因此，通常使用的水動力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析方法為間接方法，即不直接計算偏導(dǎo)數(shù)，而是使用船舶的操縱性指標(biāo)或運動參數(shù)進行評價［3-5］。

本文擬采用靈敏度損失函數(shù)法，是間接方法的一種。與其他靈敏度分析方法相比，該方法計算簡單且物理意義明確。通過計算靈敏度損失函數(shù)以確定水動力導(dǎo)數(shù)對整個操縱運動數(shù)學(xué)模型的影響權(quán)重，可直接得到各個水動力導(dǎo)數(shù)對船舶運動模型的權(quán)重因子，從而便于達成簡化數(shù)學(xué)模型的目的。文中以Mariner 船為研究對象，通過15°/15°Z 形仿真試驗，對Abkowitz 模型中包含的40 個粘性類水動力導(dǎo)數(shù)進行靈敏度分析，并對模型進行簡化;然后，采用簡化模型和原始模型進行25°/25°操縱運動仿真，通過2 種仿真結(jié)果的對比，對所提出的靈敏度分析方法進行驗證。

1 船舶操縱運動數(shù)學(xué)模型

本文所使用的船舶運動模型為整體型船舶操縱運動數(shù)學(xué)模型，即Abkowitz 模型。原始Abokowitz 模型共包含5 個慣性類水動力導(dǎo)數(shù)和60 個粘性類水動力導(dǎo)數(shù)，根據(jù)Chislett 的試驗結(jié)果，粘性類水動力導(dǎo)數(shù)被簡化為40 個［6］。根據(jù)文獻［7］中的無因次化模型可表示如下:

式中:上標(biāo)‘′’代表該參數(shù)為無因次化參數(shù);m 為船舶質(zhì)量;Iz為關(guān)于z 軸的慣性矩;xG為船舶重心的縱向坐標(biāo);Δ，Δ和Δ分別為縱向加速度、橫向加速度和轉(zhuǎn)首角加速度;為慣性類水動力導(dǎo)數(shù);Δf1，Δf2和Δf3分別為縱向水動力、橫向水動力和轉(zhuǎn)首水動力矩。其詳細表達式如下:

各水動力導(dǎo)數(shù)的因次轉(zhuǎn)化關(guān)系可參考文獻［8］。其他參數(shù)的因次轉(zhuǎn)化如下:

式中:L 為船體長度;ρ 為海水密度;U 為合成速度。通常以船舶勻速直航時的運動狀態(tài)作為基準(zhǔn)，其速度設(shè)為u0，則各運動變量可計算如下:

其合成速度為:

2 損失函數(shù)法

基于損失函數(shù)法的靈敏度分析是根據(jù)船舶操縱運動仿真結(jié)果進行損失函數(shù)的計算，損失函數(shù)的計算結(jié)果即為靈敏度值。Perez 根據(jù)船舶四自由度數(shù)學(xué)模型定義了船舶橫蕩-搖首靈敏度損失函數(shù)和橫搖損失函數(shù)［9］。橫蕩-搖首靈敏度損失函數(shù)如下:

本文采用的縱蕩-橫蕩-搖首三自由度靈敏度損失函數(shù)定義如下:

3 靈敏度分析結(jié)果

選取Mariner 船為研究對象，無因次化的水動力導(dǎo)數(shù)來源于文獻［8］。在仿真中設(shè)采樣間隔為0.5 s，樣本數(shù)取為1 200，執(zhí)行15°/15° Z 形仿真試驗以計算各水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)。使用損失函數(shù)法進行靈敏度分析的詳細流程為:

步驟1 使用文獻［7］中的水動力導(dǎo)數(shù)進行15°/15°Z 形仿真試驗，根據(jù)試驗結(jié)果計算

步驟2 改變水動力導(dǎo)數(shù)X′u，令X′u= (1 +10%)X′u，保持其他水動力導(dǎo)數(shù)不變;

步驟3 進行15°/15°Z 形仿真試驗，根據(jù)計算結(jié)果計算

步驟5 根據(jù)步驟2 ～步驟4，遍歷所有水動力導(dǎo)數(shù);

步驟6 將水動力導(dǎo)數(shù)的改變量依次變?yōu)?10%、+50%、-50%，重復(fù)步驟2 ～步驟5。

以水動力導(dǎo)數(shù)X′u為例，改變一定百分比后的操縱運動仿真對比如圖1 所示。

圖1 X′u 改變后15°/15° Z 形試驗中的縱向速度Fig.1 After The Change Of X′u，15°/15° Z′s Longitudinal Velocity In The Test

經(jīng)過計算，可得到各個水動力導(dǎo)數(shù)的損失函數(shù)如表1 ～表3 所示。

表1 縱向水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)值后計算得到的靈敏度損失函數(shù)Tab.1 The Longitudinal Hydrodynamic Derivative Sensitivity Loss Function Value

表2 橫向水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)Tab.2 The Horizontal Hydrodynamic Derivative Sensitivity Loss Function Value

表3 搖首水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)Tab.3 The Yaw Hydrodynamic Derivative Sensitivity Loss Function Value

從表1 ～表3 可發(fā)現(xiàn):

1)對大部分水動力導(dǎo)數(shù)而言，改變+10%與-10%所計算得到的靈敏度損失函數(shù)值基本相同;改變+50%與-50%的情況與之相近，但差別相對較大;

2)水動力導(dǎo)數(shù)改變+50%、 -50%所得到的靈敏度損失函數(shù)值，基本相當(dāng)于改變+10%、 -10%所得到的靈敏度損失函數(shù)值的5 倍;

3)各水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度值差別很大，部分水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度損失函數(shù)值近似為0，表明該水動力導(dǎo)數(shù)的改變對整個數(shù)學(xué)模型幾乎沒有影響;

為便于對各水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度進行分析，根據(jù)表1 ～表3 中的損失函數(shù)值和分析結(jié)果，采用式(10)對各水動力導(dǎo)數(shù)的平均損失函數(shù)值進行計算:

得到各水動力導(dǎo)數(shù)的平均損失函數(shù)值如表4 所示。

表4 水動力導(dǎo)數(shù)的平均靈敏度損失函數(shù)Tab.4 The Hydrodynamic Derivative Sensitivity On Average Loss Function Value

根據(jù)表4 定義水動力導(dǎo)數(shù)的取舍函數(shù):

根據(jù)式(11)，可以把水動力導(dǎo)數(shù)簡化至24 個，水動力導(dǎo)數(shù)可簡化為0。

保持剩余的24 個水動力導(dǎo)數(shù)不變，即可得到簡化的Abkowitz 模型。基于簡化模型和包含所有水動力導(dǎo)數(shù)的原始模型，分別進行25°/25°Z 形仿真試驗，其對比結(jié)果如圖2 ～圖3 所示。從圖中可看出，模型簡化后，各運動參數(shù)的改變很小，仍然能夠精確地進行船舶操縱運動預(yù)報，這表明損失函數(shù)法進行船舶操縱水動力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析可行。

圖2 25°/25°Z 形仿真中縱向速度和橫向速度時歷曲線Fig.2 In 25°/25°Z Simulation The Curve Of Horizontal And Vertical Speed

圖3 25°/25°Z 形仿真中搖首角速度、舵角和首搖角時歷曲線Fig.3 In 25°/25°Z Simulation The Curve Of Yaw Angular Velocity、Rudder Angle And Yaw Angle

4 結(jié) 語

本文提出使用靈敏度損失函數(shù)法對船舶操縱水動力導(dǎo)數(shù)進行靈敏度分析，并對Abkowitz 模型進行簡化。文中以Mariner 船為研究對象，基于15°/15°Z 形仿真計算得到了各水動力導(dǎo)數(shù)改變+10%， -10%，+ 50%， - 50% 后的損失函數(shù)值，通過定義平均損失函數(shù)值計算公式和取舍函數(shù)，將Abkowitz 模型中包含的40 個粘性類水動力導(dǎo)數(shù)簡化至24 個。對比簡化模型和原始模型的25°/25°Z 形仿真試驗，表明損失函數(shù)法應(yīng)用于船舶操縱水動力導(dǎo)數(shù)靈敏度分析的有效性。

［1］RHEE K P，KIM K. A new sea trial method for estimating hydrodynamic derivatives［J］. Ship ＆ Ocean Technology，1999，3(3):25 -44.

［2］徐鋒，鄒早建，尹建川，等，船舶操縱水動力導(dǎo)數(shù)的靈敏度分析［J］. 哈爾濱工程大學(xué)學(xué)報，2013，34(6):669 -673，715.

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［8］李殿璞. 船舶運動與建模［M］. 北京:國防工業(yè)出版社，2008.

［9］PEREZ T，BLANKE M. Mathematical ship modeling for control applications［R］.Technical Report，The University of Newcastle，Australia，2002.