測(cè)地曲率計(jì)算公式的推導(dǎo)方法

測(cè)地曲率計(jì)算公式的推導(dǎo)方法

邢家省1，白璐1，羅秀華2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,

北京 100191;2.平頂山教育學(xué)院，河南 平頂山 467000)

摘要：考慮曲面上曲線測(cè)地曲率計(jì)算公式的推導(dǎo)問(wèn)題，運(yùn)用向量的外積運(yùn)算，給出了直接推導(dǎo)的計(jì)算公式；在曲面正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，給出測(cè)地曲率計(jì)算公式的2種來(lái)源過(guò)程，并由此得出Liouville公式的推導(dǎo)方法.

關(guān)鍵詞：測(cè)地曲率;正交曲線；坐標(biāo)網(wǎng)；Liouville公式

文章編號(hào)：1007-2985(2015)05-0007-06

收稿日期：2015-05-13

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11201020)；北京航空航天大學(xué)校級(jí)重大教改項(xiàng)目(201401)

作者簡(jiǎn)介：邢家省(1964—),男,河南泌陽(yáng)人,北京航空航天大學(xué)副教授，博士,主要從事偏微分方程和微分幾何研究.

中圖分類(lèi)號(hào)：O186.1文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

DOI:10.3969/j.cnki.jdxb.2015.05.002

關(guān)于曲面上曲線測(cè)地曲率的計(jì)算公式，文獻(xiàn)[1]中采用的是利用曲面論基本方程給出的推導(dǎo)過(guò)程，需要準(zhǔn)備的知識(shí)較多，證明過(guò)程相當(dāng)繁雜；文獻(xiàn)[2-6]中在曲面正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，給出測(cè)地曲率計(jì)算的Liouville公式[1-7]的直接證明.筆者運(yùn)用向量的外積運(yùn)算法則，就可以直接給出測(cè)地曲率的計(jì)算公式.在正交曲線坐標(biāo)網(wǎng)下，給出了推導(dǎo)測(cè)地曲率的簡(jiǎn)化公式的2種過(guò)程，并指出Liouville 公式的2種來(lái)源，利用直接方法給出測(cè)地線方程的最終形式.

1　曲面上曲線測(cè)地曲率的定義

設(shè)曲面Σ的參數(shù)方程為Σ:r=r(u,v),(u,v)∈Δ.若r(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且ru×rv≠0，稱則曲面Σ為C2類(lèi)的正則曲面.現(xiàn)在任固定曲面Σ上一點(diǎn)P(u,v)，并設(shè)TP為曲面Σ在P點(diǎn)的切平面.

曲線Γ：r=r(u(s),v(s))是Σ上過(guò)P點(diǎn)的一曲線，其中s是曲線的自然參數(shù).設(shè)n為曲面Σ在P點(diǎn)的單位法向量，以α表示曲線Γ上P點(diǎn)處的單位切向量，以β表示曲線Γ上P點(diǎn)處的主法向量，γ是副法向量.

定義1 [1-9]曲面Σ上，曲線Γ在P點(diǎn)的單位切向量的導(dǎo)向量α′(s)在切平面TP上的投影向量為τP=α′(s)-(α′(s)·n)n，稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量.

稱Dα=dα-(dα·n)n為切向量場(chǎng)α(s)沿曲線Γ的絕對(duì)微分.由α′(s)=r″(s)，故有τP=r″(s)-(r″(s)·n)n .顯然 α′(s)-(α′(s)·n)n與n,α都垂直.命 ε=n×α，則α,ε,n是彼此正交的單位向量，并且構(gòu)成一右手系，α′(s)-(α′(s)·n)n平行于ε.α′(s)在切平面TP上的投影向量也就是α′(s)在ε上的投影向量.

定義2 [1-9]曲面Σ上，曲線Γ的切向量的導(dǎo)向量α′(s)在ε上的投影向量為τP=(α′(s)·ε)ε，稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率向量.

顯然有τP=α′(s)-(α′(s)·n)n，τP=(α′(s)·ε)ε，τP=(r″(s)·ε)ε .

定義3 [1-9]將r″(s)·ε稱為曲線Γ在P點(diǎn)的測(cè)地曲率，記作kg，kg=r″(s)·ε .

顯然kg=(r′(s),r″(s),n(s)) ，kgε=r″(s)-(r″(s)·n)n.

2　曲面上曲線測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式的直接推導(dǎo)方法

設(shè)Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數(shù)方程為u1=u1(s),u2=u2(s),或r=r(u1(s),u2(s))=r(s)，這里s是該曲線的自然參數(shù).

(rk×rij)·(r1×r2)=(rk·r1)(rij·r2)-(rk·r2)(rij·r1)=gk1(rij·r2)-gk2(rij·r1).

代入測(cè)地曲率的計(jì)算公式，得

(1)

(1)式是測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式，方便于直接使用.

這里僅用向量外積運(yùn)算法就給出了測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式，與利用曲面論的基本方程式[1-4]推導(dǎo)出測(cè)地曲率的計(jì)算公式是一致的.

3　正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測(cè)地曲率的計(jì)算公式

當(dāng)曲面r=r(u1,u2)上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，有 r1·r2=0，gij=ri·rj,g12=g21=0，g=g11g22.注意到

代入測(cè)地曲率的一般計(jì)算公式(1)中，整理后得

對(duì)于曲面r=r(u,v)上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，有E=g11,G=g22,F=g12=0，u=u1,v=u2.從而有如下結(jié)論成立：

定理1 [1,7-8]設(shè)曲面Σ:r=r(u,v)上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)，Γ是曲面Σ上的一條曲線，其參數(shù)方程為u=u(s),v=v(s),或r=r(u(s),v(s))=r(s)，這里s是該曲線的自然參數(shù)，則曲線Γ的測(cè)地曲率為

(2)

4　正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測(cè)地曲率的推導(dǎo)過(guò)程

定理2 [1,7-8]設(shè)曲面Σ:r=r(u,v)上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)，Γ是曲面Σ上的一條曲線，其方程為r=r(u(s),v(s))，這里s是該曲線的自然參數(shù)，則曲線Γ測(cè)地曲率為

(3)

對(duì)r=r(s)=r(u(s),v(s))直接求導(dǎo)，得

(4)

(5)

將(4)，(5)式代入測(cè)地曲率的計(jì)算公式，得到

(6)

利用ru·ru=E，ru·rv=0，rv·rv=G，可得

(7)

將(7)式各項(xiàng)代入(6)式中，得

這正是(3)式的結(jié)果[8].

5　正交坐標(biāo)曲線網(wǎng)下測(cè)地曲率的Liouville公式

設(shè)曲面r=r(u,v)上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng). 令曲面上曲線r=r(s)=r(u(s),v(s))的切方向與ru的夾角為θ，則有

(8)

又

(9)

比較(8)，(9)式，得

(10)

所以有

(11)

(12)

將(10)至(12)式代入(2)式，或者(3)式中，整理后得

(13)

(13)式稱為劉維爾(Liouville )公式[1,7]，可用于計(jì)算測(cè)地曲率和求解曲面上的測(cè)地線方程[1-6]，推導(dǎo)高斯-波涅公式[2-6]也用到(13)式.在文獻(xiàn)[2-6]中，給出了另一種推導(dǎo)方法.

例1 [1,10]如果在曲面上引進(jìn)半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)ds2=du2+G(u,v)dv2，求證：

證明由題設(shè)，E= 1，F(xiàn)= 0，G=G(u;v)，代入Liouville公式，得

所以，

6　測(cè)地線的方程的最終顯式表示形式

對(duì)曲面Σ:r=r(u,v)，設(shè)Γ:r=r(s)=r(u(s),v(s))是曲面Σ上的測(cè)地線，s是曲線的自然參數(shù).

曲線Γ:r=r(s)=r(u(s),v(s))是測(cè)地線的充分必要條件為[8-9]r″(s)·ru=0,r″(s)·rv=0 .

由于

(14)

將(14)式分別與ru,rv作內(nèi)積，得

于是有

(15)

通常將(15)式改寫(xiě)為如下的等價(jià)形式：

(16)

(16)式就是一般參數(shù)曲面上的測(cè)地線的方程，這里給出了直接的推導(dǎo)過(guò)程.利用(16)式可證明測(cè)地線的存在唯一性定理，求解曲面上的測(cè)地線方程及理論推導(dǎo).

特別地，當(dāng)曲面r=r(u,v)上的坐標(biāo)曲線構(gòu)成正交網(wǎng)時(shí)，有ru·rv=F=0，此時(shí)曲面上的曲線為測(cè)地線的充分必要條件為[8]

(17)

(17)式可用于求解正交網(wǎng)下曲面上測(cè)地線的方程[8].

參考文獻(xiàn)：

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Derivation of Calculation Formula of Geodesic Curvature

XING Jiasheng1，BAI Lu1，LUO Xiuhua2

(1.Department of Mathematics,LMIB of the Ministry of Education,Beihang University,Beijing 100191，China;

2.Pingdingshan Institute of Education,Pingdingshan 467000,Henan China )

Abstract:The derivation of the calculation formula of geodesic curvature on curved surface is discussed in this paper.The directly derived calculation formula is obtained by means of vector outer product.Two derivation processes of the calculation formula of geodesic curvature and the derivation of the Liouville formula are demonstrated in the coordinate grid of the orthogonal curve.

Key words:geodesic curvature;orthogonal curve;coordinate grid；Liouville formula

(責(zé)任編輯向陽(yáng)潔)