考慮原狀土初始應(yīng)力狀態(tài)的修正SMP屈服準(zhǔn)則

李順群，賈紅晶，夏錦紅，尚 軍，張少鋒

(1.天津城建大學(xué)土木工程學(xué)院，天津 300384;2.新鄉(xiāng)學(xué)院土木工程與建筑系，河南新鄉(xiāng) 453003)

土的結(jié)構(gòu)性和各向異性是普遍存在的重要土力學(xué)現(xiàn)象之一［1］，兩者之間的關(guān)系可以是并列的，也可以認(rèn)為后者是前者的一個(gè)方面。從成因上講，結(jié)構(gòu)性和各向異性都來源于土的形成過程。由于處于一維固結(jié)狀態(tài)，即豎向應(yīng)力不等于水平應(yīng)力，原狀土的初始應(yīng)力可以分解為初始球應(yīng)力和初始偏應(yīng)力兩部分。從力學(xué)角度看，土顆粒體的壓實(shí)程度取決于球應(yīng)力張量，而顆粒體的不均勻性、定向性依賴于偏應(yīng)力張量［2］。即從微觀層次看，應(yīng)力偏張量的存在必然引起顆粒體的排列存在差異［3］，土體因此顯現(xiàn)為不同形式的原生各向異性或初始狀態(tài)各向異性。

由初始應(yīng)力狀態(tài)引起的顆粒體、孔隙體排列方式的初始各向異性，必然導(dǎo)致在后續(xù)物理力學(xué)過程中，原狀土的行為顯現(xiàn)為不同形式的結(jié)構(gòu)性和各向異性。常規(guī)的力學(xué)模型和傳統(tǒng)的本構(gòu)模型，是基于重塑土的室內(nèi)常規(guī)三軸實(shí)驗(yàn)建立起來的。由于不存在初始應(yīng)力偏量，力學(xué)模型中的三個(gè)主應(yīng)力分量一般認(rèn)為是等價(jià)的、可以互換的。因此，建立起來的彈塑性模型常常以等傾線基線，并可以通過研究垂直于等傾線的π平面上的跡線和經(jīng)過等傾線的子午面上的跡線，研究土的強(qiáng)度和屈服［4～7］。

可見，建立在重塑土基礎(chǔ)之上的常規(guī)力學(xué)模型和傳統(tǒng)本構(gòu)模型，無法反映原狀土的初始三向不等壓狀態(tài)，也無法描述由此引起的初始各向異性。合理表述這種與初始應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)的結(jié)構(gòu)性和各向異性并將其嵌入原狀土屈服準(zhǔn)則和本構(gòu)關(guān)系，是正確評(píng)價(jià)巖土體工程性質(zhì)的先決條件［8～10］。

本文首先研究了重塑土和原狀土在三軸實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)力路徑差異及產(chǎn)生差異的原因。隨后，重點(diǎn)研究了適用于原狀土的空間滑動(dòng)面屈服準(zhǔn)則?？紤]原狀土初始應(yīng)力狀態(tài)的各向不等性，研究了等傾線與原狀土K0固結(jié)線的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上建立了適用于原狀土的修正SMP屈服準(zhǔn)則。真三軸實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該修正模型更能客觀描述原狀土的強(qiáng)度特征和屈服特點(diǎn)，能反映原狀土的結(jié)構(gòu)性和各向異性，且相關(guān)參數(shù)具有明確的物理意義。

1 初始應(yīng)力狀態(tài)及其作用

在常規(guī)強(qiáng)度準(zhǔn)則和本構(gòu)模型中，應(yīng)力是采用總量表示的。即在應(yīng)力總值中，不但包含新增加的應(yīng)力部分——增量應(yīng)力，還包含有形成和維持土樣特定初始狀態(tài)所必須的應(yīng)力部分——初始應(yīng)力。

土的初始應(yīng)力主要是由其自重引起的。在初始應(yīng)力作用下，土體形成了特定的顆粒排列方式、特定的孔隙結(jié)構(gòu)、以及顆粒之間的聯(lián)接和膠結(jié)作用。土的密實(shí)度、孔隙比、滲透系數(shù)、壓縮特性、強(qiáng)度參數(shù)等力學(xué)水力學(xué)指標(biāo)都依賴于土的顆粒和孔隙結(jié)構(gòu)，并最終取決于土的初始應(yīng)力狀態(tài)。對(duì)于正常的K0固結(jié)土層，其初始應(yīng)力狀態(tài)為:

式中:σi——三個(gè)主應(yīng)力分量，i=1，2，3;

γ——容重加權(quán)平均值;

z——上覆土層厚度;

K0——靜止土壓力系數(shù)。

在欠固結(jié)、超固結(jié)或其他復(fù)雜邊界條件下，土的初始應(yīng)力狀態(tài)將與式(1)有所差別。

場(chǎng)地的初始應(yīng)力狀態(tài)可以是簡(jiǎn)單的K0應(yīng)力狀態(tài)，即式(1);也可以是某種復(fù)雜狀態(tài)。但不管處于哪種初始狀態(tài)，土的微觀結(jié)構(gòu)都會(huì)在這個(gè)初始應(yīng)力狀態(tài)下處于某一特定狀態(tài)，并相應(yīng)的表現(xiàn)出與這一初始應(yīng)力狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的特有力學(xué)性質(zhì)、水力學(xué)性質(zhì)、以及其他物理性質(zhì)。

因此，不管土顆粒體是理想的球體還是復(fù)雜的其他形狀，只要存在初始應(yīng)力，就一定存在與之相對(duì)應(yīng)的所謂結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)性。如果初始應(yīng)力狀態(tài)是球應(yīng)力狀態(tài)，則由于土顆粒體的排列沒有方向性，相應(yīng)土的各種性質(zhì)都表現(xiàn)為各向同性。如果初始應(yīng)力包含偏應(yīng)力，則一定會(huì)引起顆粒體的不均勻性或在不同方向上的排列方式存在差別，從而引起不同形式的各向異性。

可見，不管是重塑土還是原狀土，都是在特定應(yīng)力狀態(tài)條件下形成的具有獨(dú)特結(jié)構(gòu)和特定屬性的土，因此均存在結(jié)構(gòu)性。嚴(yán)格的等壓固結(jié)方式得到的重塑土樣，由于它受到的初始應(yīng)力是球應(yīng)力，因此各種力學(xué)性質(zhì)都是各向同性的。原狀土樣，以及通過K0固結(jié)方法、壓樣法、擊實(shí)法、砂雨法等制樣方法獲得的土樣，由于在其形成過程的某一環(huán)節(jié)，施加在豎向方向上的作用與施加在水平方向上的作用存在某些差異，因此獲得的試樣其力學(xué)性質(zhì)都是各向異性的。

2 三軸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力路徑和屈服

重塑土失去了原始場(chǎng)地條件從而失去了初始應(yīng)力狀態(tài)決定的力學(xué)參數(shù)，而原狀土記憶了原始場(chǎng)地條件和初始應(yīng)力狀態(tài)決定的力學(xué)參數(shù)。

自然狀態(tài)的原狀土，其固結(jié)過程一般認(rèn)為屬于K0固結(jié)。在圖1所示的平均應(yīng)力p和廣義剪應(yīng)力q坐標(biāo)系里，假定點(diǎn)B為K0固結(jié)場(chǎng)地中某點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。則在K0固結(jié)過程中，應(yīng)力狀態(tài)從O點(diǎn)開始沿直線OB前進(jìn)至B點(diǎn)，相應(yīng)的應(yīng)力路徑為直線OB。

圖1 等壓固結(jié)和K0固結(jié)三軸實(shí)驗(yàn)的應(yīng)力路徑Fig.1 Stress paths of the triaxial tests for samples constructed respectively from spherical stress state and K0stress state

因此，在K0加載過程中，p和q分別為土樣從原始位置取出后，其應(yīng)力狀態(tài)將從B點(diǎn)開始沿直線BO退化到原點(diǎn)。在常規(guī)重塑土的三軸實(shí)驗(yàn)中，固結(jié)階段一般是球應(yīng)力條件下的等壓固結(jié)，其應(yīng)力狀態(tài)表現(xiàn)為從原點(diǎn)O開始沿直線OA前進(jìn)至某一點(diǎn)。因此，K0固結(jié)與等壓固結(jié)的應(yīng)力路徑是完全不同的，加載路徑的不同必然引起兩種方式形成的土樣在微觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)性質(zhì)方面都存在差別。等壓固結(jié)形成的土樣其微觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)性質(zhì)是各向異性的，而K0固結(jié)形成的試樣其微觀結(jié)構(gòu)和力學(xué)性質(zhì)是各向同性的。

所以，對(duì)于重塑土的三軸試樣，起始應(yīng)力狀態(tài)是O點(diǎn);而對(duì)于原狀試樣的三軸實(shí)驗(yàn)，起始應(yīng)力狀態(tài)是B點(diǎn)而不是O點(diǎn)。

靜止土壓力系數(shù)K0與內(nèi)摩擦角φ的經(jīng)驗(yàn)關(guān)系:

因此，在p、q平面內(nèi)，K0加載的斜率為

重塑土的常規(guī)三軸實(shí)驗(yàn)，固結(jié)過程是等壓的。對(duì)于固結(jié)排水三軸實(shí)驗(yàn)，不同加載條件剪切階段的應(yīng)力路徑均從A點(diǎn)開始，沿不同路徑發(fā)展直至破壞包線(圖1)。

其中CTC對(duì)應(yīng)軸向增壓三軸壓縮試驗(yàn);PTC對(duì)應(yīng)p為常數(shù)的三軸壓縮試驗(yàn);RTC對(duì)應(yīng)側(cè)向減壓的三軸壓縮試驗(yàn);CTE對(duì)應(yīng)側(cè)向增壓的三軸擠長試驗(yàn);PTE對(duì)應(yīng)p為常數(shù)的三軸伸長試驗(yàn);RTE對(duì)應(yīng)軸向減壓三軸伸長試驗(yàn)。直線l1是壓破壞線，直線m1是拉破壞線。

前面已有論述，對(duì)于原狀試樣，其微觀結(jié)構(gòu)和物理力學(xué)性質(zhì)依賴于原始應(yīng)力狀態(tài)(圖1中點(diǎn)B表示的應(yīng)力狀態(tài))。如果采用從O點(diǎn)開始的等壓固結(jié)至A點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)，再進(jìn)行三軸實(shí)驗(yàn)，雖然表觀應(yīng)力路徑與重塑土的三軸實(shí)驗(yàn)一樣，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果必然與重塑土的實(shí)驗(yàn)結(jié)果存在明顯差異。

為了反映原狀土的初始應(yīng)力狀態(tài)對(duì)土結(jié)構(gòu)和物理力學(xué)性質(zhì)的影響，合理的三軸實(shí)驗(yàn)應(yīng)該是進(jìn)行K0固結(jié)從O開始至B再繼續(xù)達(dá)到某一確定應(yīng)力狀態(tài)C，隨后再進(jìn)行各種不同的三軸實(shí)驗(yàn)，具體應(yīng)力路徑如圖1中的黑色直線l2、m2所示。顯然，此時(shí)的壓破壞線l2和拉破壞線m2必然與重塑土三軸實(shí)驗(yàn)的壓破壞線l1和拉破壞線m1有所差別。其中，原狀土壓破壞線的斜率較重塑土壓破壞線的斜率偏大;而原狀土拉破壞線的斜率較重塑土拉壓破壞線的斜率偏小。因此，按照試樣的初始應(yīng)力狀態(tài)，三軸實(shí)驗(yàn)包括重塑試樣的三軸實(shí)驗(yàn)和原狀試樣的三軸實(shí)驗(yàn)兩大類。

3 K0固結(jié)線(初始應(yīng)力線)和X平面

在主應(yīng)力空間中，等傾線定義為與三個(gè)應(yīng)力主軸夾角相同的直線(圖2中的直線OD)，其方程為

圖2 主應(yīng)力空間中的等傾線與原狀土的K0固結(jié)線Fig.2 Isoclinic line for remolded soil and K0consolidation line for undisturbed soil in the principal space

與等傾線OD垂直的平面為π平面，其方程為:

式中:c——常數(shù)。

在巖土塑性力學(xué)中，不同的c值對(duì)應(yīng)于不同的π平面，而通過原點(diǎn)的π平面為傳統(tǒng)塑性力學(xué)中定義的π平面。

根據(jù)式(1)可知，均勻土層中的初始應(yīng)力沿深度是線性變化的，在主應(yīng)力空間中表示為直線OE，此即K0固結(jié)線或初始應(yīng)力線?？梢?，K0固結(jié)線的方向向量為(1，K0，K0)。對(duì)于極軟土(液態(tài))，等傾線和初始應(yīng)力線是重合的。對(duì)于一般土體，可以計(jì)算得到等傾線與K0固結(jié)線之間的夾角ω為:

隨K0變化，K0固結(jié)線有不同的斜率，但其范圍被限制在一定區(qū)域內(nèi)，即位于平面σ2=σ3的上八分之一區(qū)域(圖2中的σ1OD半無限三角范圍)，本文將其定義為K0應(yīng)力面。同時(shí)，將通過原點(diǎn)且垂直于K0應(yīng)力面的直線定義為K0應(yīng)力面軸，其方程為

與π平面的定義類似，本文將與K0固結(jié)線OE垂直的平面定義為χ平面。與所有垂直于等傾線的平面都定義為π平面類似，所有垂直于初始應(yīng)力線的平面都命名為χ平面。不同的原狀土，其K0值一般是不同的。因此，不同原狀土對(duì)應(yīng)的K0固結(jié)線和χ平面一般是不同的。另外，由式(8)可知，將π平面繞式(9)表示的直線旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度ω，即可得到χ平面。

4 原狀土的空間滑動(dòng)面

SMP屈服準(zhǔn)則認(rèn)為，當(dāng)剪應(yīng)力與正應(yīng)力的比值達(dá)到某一數(shù)值時(shí)材料破壞，即:

式中:τSMP——空間滑動(dòng)面上的剪應(yīng)力;

σSMP——空間滑動(dòng)面上的正應(yīng)力;

λ——材料常數(shù)。

空間滑動(dòng)面的主應(yīng)力形式為:

SMP屈服準(zhǔn)則的空間滑動(dòng)面如圖3和圖4所示，其中φmoij表示二維內(nèi)摩擦角，且有:

因此，空間滑動(dòng)面的二維摩擦角形式為:

式(11)也可以寫為:

其中，I1、I2、I3分別為應(yīng)力張量第一不變量、第二不變量和第三不變量。

式(14)的展開形式為:

圖3 SMP屈服準(zhǔn)則的空間滑動(dòng)面Fig.3 The space mobilized plane of the SMP yield criterion

圖4 三個(gè)滑動(dòng)面及空間滑動(dòng)面上的剪應(yīng)力和主應(yīng)力Fig.4 Shear stress and principal stress on the three glide planes and the space glide planes

常規(guī)的應(yīng)力狀態(tài)表示方法和屈服準(zhǔn)則建立在關(guān)于重塑土的相關(guān)實(shí)驗(yàn)和理論推導(dǎo)基礎(chǔ)之上，當(dāng)用來描述原狀土的物理力學(xué)性質(zhì)時(shí)，存在某種程度的缺陷和不足是難以避免的。

如果認(rèn)為適用于重塑土的應(yīng)力狀態(tài)表示方法和屈服準(zhǔn)則是基于等傾線和π平面的，那么對(duì)于原狀土，基于K0固結(jié)線和對(duì)應(yīng)χ平面的屈服準(zhǔn)則比基于等傾線和π平面的屈服準(zhǔn)則更為合理。若重塑土的屈服曲面F表示為:

根據(jù)圖2，將重塑土的屈服曲面以式(9)表示的直線為軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度ω，即可得到對(duì)應(yīng)于原狀土的屈服曲面。所以，適用于原狀土的屈服曲面F*為:

因此，適用于原狀土的修正SMP屈服準(zhǔn)則為:

當(dāng)λ=12、K0=0.4時(shí)，式(15)和式(18)在主應(yīng)力空間中的曲面如圖5所示。其中曲面1(藍(lán)色曲面)對(duì)應(yīng)于式(15)，適用于重塑土;曲面2對(duì)應(yīng)于式(18)，適用于原狀土。

圖5 SMP屈服曲面與修正SMP屈服曲面Fig.5 SMP yield surface and modified SMP yield surface

5 模型的驗(yàn)證

在研究重塑土的力學(xué)行為時(shí)，常通過研究π平面上的屈服跡線和經(jīng)過等傾線的子午面上的屈服跡線，揭示材料的彈塑性行為。π平面上的真三軸實(shí)驗(yàn)稱為等p實(shí)驗(yàn)，其加載條件滿足式(7)，即3p=c。

原狀土的屈服曲面由重塑土的屈服曲面旋轉(zhuǎn)而來，因此，研究原狀土的力學(xué)行為，可以通過研究χ平面上的屈服跡線和通過K0固結(jié)線子午面上的屈服跡線進(jìn)行。由于原狀土的初始應(yīng)力狀態(tài)為式(1)，類似于重塑土的等p真三軸實(shí)驗(yàn)，原狀土χ平面上的真三軸實(shí)驗(yàn)的加載條件為:

σ1+K0σ2+K0σ3=c' (19)

式中:c'——常數(shù)。

由于χ平面垂直于K0固結(jié)線，所以χ平面上的真三軸實(shí)驗(yàn)與π平面上的真三軸實(shí)驗(yàn)相比，更能揭示原狀土的結(jié)構(gòu)性和各向異性。

以式(7)和式(19)為約束條件的兩種真三軸實(shí)驗(yàn)，其應(yīng)力狀態(tài)是可以相互轉(zhuǎn)化的。方法是將π平面上的應(yīng)力點(diǎn)投影到χ平面上。若π平面上的屈服應(yīng)力為(σα，σβ，σγ)，則其在 χ平面上的投影為:

其中:

鑒于目前文獻(xiàn)載有的真三軸實(shí)驗(yàn)都是在π平面上完成的，下文關(guān)于原狀土的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證仍然在π平面上完成。

Kirkga等曾經(jīng)進(jìn)行了4組不同屈服應(yīng)變各13個(gè)等p(3p=c=294kPa)的真三軸實(shí)驗(yàn)［11］，圖6是文獻(xiàn)提供的π平面上的屈服點(diǎn)及與屈服點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Mohr-Coulomb屈服準(zhǔn)則跡線。

圖6 不同應(yīng)變對(duì)應(yīng)的屈服應(yīng)力及Mohr-Coulomb擬合Fig.6 Yield stress and Mohr-coulomb criterion fitting

圖7是SMP屈服準(zhǔn)則和本文提出的修正SMP屈服準(zhǔn)則對(duì)圖6實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合。其中藍(lán)色曲面是SMP屈服曲面;綠色曲面是本文給出的修正SMP屈服曲面。對(duì)應(yīng)的 λ 分別為15、13、10.8、10;對(duì)應(yīng)的 λ'分別為14、12、10.5、9.9。可見，與藍(lán)色曲面相比，綠色曲面更接近于實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，且綠色曲面較藍(lán)色曲面小一些(λ'＜λ)。所以，與常規(guī) SMP屈服準(zhǔn)則相比，修正SMP屈服準(zhǔn)則更適合描述原狀土的屈服行為。

圖7 SMP屈服準(zhǔn)則與修正SMP屈服準(zhǔn)則對(duì)砂雨法試樣真三軸實(shí)驗(yàn)的擬合對(duì)比Fig.7 Fitting of the true triaxial test on the pluviating samples auording to SMP yield criterion and modified SMP yield criterion

6 結(jié)論

(1)重塑土和原狀土在形成過程中經(jīng)受的應(yīng)力條件(初始應(yīng)力狀態(tài))差別，是結(jié)構(gòu)性和各向異性產(chǎn)生的力學(xué)機(jī)制。

(2)由于在形成過程中存在偏應(yīng)力，原狀土的屈服曲面應(yīng)以K0固結(jié)線為基線?；谒蓪?中井的空間滑動(dòng)面屈服準(zhǔn)則，給出了適用于原狀土的考慮了初始偏應(yīng)力狀態(tài)的修正SMP屈服準(zhǔn)則。

(3)修正SMP屈服面由SMP屈服面繞直線σ1/0=σ2=-σ3旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)角度等于等傾線與K0固結(jié)線之間的夾角。關(guān)于砂雨法的真三軸實(shí)驗(yàn)表明，與常規(guī)SMP屈服準(zhǔn)則相比，修正SMP屈服準(zhǔn)則更適合用來描述原狀土的彈塑性力學(xué)行為。

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