可憐的木棍

盧聲怡

上一期，孔子和弟子們轉個圈圈就找到了多邊形的外角和規(guī)律。這一期，他們竟然玩起了木棍，這次又要解決什么數學難題呢？來，我們聽故事吧！

我揉著惺松的睡眼，走出宿舍，猛然看到一個身影蹲在前廊旁邊，嚇了我一跳。這人和孔老師一樣，穿著寬袍大袖的衣服，但卻捋起褲管露著兩條大毛腿，沒有一點兒孔老師的斯文樣。看他正用樹葉兜著一大把細砂，在那兒反復削磨著手里的圓木棍。

“難道是小偷？”我不由得胡思亂想起來。我從墻后面找來塊石頭，把它握在手里當兵器，悄悄地繞到前面，跳了出去，正想拿石頭往這“壞蛋”的腦門上招呼，仔細一看，連忙抓緊差點兒出手的石頭。原來，蹲在那兒對木棍又削又磨的，是孔老師！

“孔老師，您在做什么呀？”我好奇地問。

“你來猜一猜，這根黃花梨木的棍子有多長？”孔老師立起身來，揮著手里的木棍，笑嘻嘻地問我。我發(fā)現木棍已經被孔老師加工得油光水滑，煞是可愛。

“目測是1米，也就是100厘米?！蔽颐摽诙?。

“不錯，你對長度的估測能力很強?！笨桌蠋熚⑿Φ攸c點頭。

聽到孔老師的表揚，我信心倍增?？戳丝纯桌蠋熓掷锏哪竟?，我虛心請教：“您拿這根木棍干什么呢？啊，我知道了，您是要把它削到很細很小，把它用在算盤上？或者是再小一些，變成古老的算籌？還是要把它磨成一根牙簽？”

“你是想起昨天宰予說的那則新聞了吧？”孔老師哭笑不得。

宰予可是我們班的消息通，經常在教室里召開“新聞發(fā)布會”，也不知道他那些稀奇古怪的事都是從哪兒聽來的。昨天，他講了一件很有趣的事：一個人想制作一個“最珍貴的寶貝”，于是把自己家門口的一棵千年銀杏樹伐倒，然后一直削，花了大半年時間，終于把銀杏樹削成了一根牙簽，當然這人成了鋪張浪費的笑柄。

“我是打算制作一些黃花梨木的圓柱，以供大家研究立體圖形的規(guī)律時使用?！弊鳛樾訅瘜W校的創(chuàng)始人，孔老師身兼校長、老師、保安、敲鐘人、維修師傅等各項重任。為了省錢，凡是能自己制作的教學用具，他都盡量自己制作。

“那您打算怎么做呢？我看直接平均分吧，切成20段、50段、100段都可以啊，我來幫您……”說著，我想接過孔老師手里的鋸子。

“不、不、不，我從一冊古卷上查到一種特別的切法，你看?！笨桌蠋熤噶酥概赃叺囊痪碇窈?，上面寫著：取一百厘米圓木棍一根，左而右每六厘米點之，右而左每五厘米點之，繼以點處鋸開則得。

“這什么意思？”我有點兒不明白。

“讀古文的秘訣就是——連猜帶蒙。”孔老師笑著說，“意思就是取100厘米長的圓木棍一根，從左往右，每隔6厘米點一下；再從右往左，每5厘米點一下；最后從有點的地方鋸開?！?/p>

“我明白了，那我們趕緊動手，一起來‘虐待這根可憐的木棍吧！”我躍躍欲試，可是又被孔老師攔住了。

“你忘記我告誡你們的話了嗎？‘學而不思則罔，思而不學則殆，只知道跟著做，卻不想想為什么這么做，這樣是不可取的；反過來，只思考不動手也不行。所以，在你動手操作之前，一定要認真分析一下這些要求，問問自己是否都明白了。”

仔細一思考，我還真是有了大收獲。我欣喜地叫起來：“其實，從右而左每5厘米點一點和從左而右每5厘米點一點，它們的效果是一樣的?！?/p>

“為什么？”孔老師笑瞇瞇地望著我。

“因為100厘米正好是5厘米的20倍，也就是100能被5整除。前面說的從左而右每6厘米點一點，因為100除以6有余數，就不能改成從右而左了?！蔽矣邪盐盏乩^續(xù)說，“經這樣一改，兩次都是從左而右。”

我接過孔老師手里的筆和尺子，由左到右仔細地邊量邊做標志。我在黃花梨木棍上每6厘米點一點，很快就均勻地標出了一排整齊的紅點。最后一個點離木棍的最右邊有4厘米的距離，顯得最后一段木棍特別短。其實這不奇怪，因為100除以6，最后的余數就是4厘米嘛。

“再來5厘米一點。”我繼續(xù)用筆和尺子，重復剛才的步驟，很明顯5厘米一點比6厘米一點更容易找。一會兒，在黃花梨木棍上由左而右、均勻地又留下了一些紅點。這次每兩個紅點之間的間隔是5厘米，紅點距離更緊湊了。有意思的是，我在點的時候發(fā)現有一些紅點和前面標記的紅點恰好在同一個位置，它們重合在一起了。

“哪些紅點是兩次的紅點合起來的呢，你還記得嗎？”孔老師突然問我問題，我愣住了。我心想：怎么不早一點兒問我？如果知道您會問我這個問題，我就用不同顏色的筆標記了?，F在我哪還記得呀！

不過，思考片刻，我有了主意，對孔老師說：“那些重合的點所在的位置不就是5的倍數，同時又是6的倍數嗎？也就是5和6的最小公倍數30的倍數?！?/p>

聽了我的分析，孔老師很滿意，他補充了一句：“最小公倍數就是所有的公倍數中最小的那個?！?/p>

經孔老師的點撥，我不再傻乎乎地從頭去找，而是直接找30的倍數的那些點，并做上藍色記號。這次，在木棍上，每隔30厘米就被清晰地標記著一個藍色的點，不多不少，一共有3個。

“現在，我們可以把它鋸開了。但鋸開之前，你知道木棍一共被分成了幾段嗎？”孔老師總有問不完的問題。

這個問題我確實要好好想想。5厘米一點一共有100÷5-1=19（個）點，因為100÷6=16……4，所以6厘米一點一共有16個點，重復的點有3個，那么一共就有19+16-3=32（個）點。木棍上有32個點，鋸開之后，不就應該有32+1=33（段）嗎？

我把思考后的結果跟孔老師一說，孔老師卻冷不丁地又問了我一個問題：“那你知道鋸開后的這些長長短短的圓柱木段里面有多少段正好是1厘米的長度嗎？”

“這簡單呀，鋸開后數一數就知道了?！蔽覔]了揮鋸子，準備動手。

“唉，學而不思則……”孔老師提醒我。

我不好意思地摸摸腦袋：“其實不用鋸，直接看上面的點，同樣也能數清楚。”

我正要開始數呢，孔老師又搖頭晃腦地說：“學而不思則……”

“我已經‘思了呀，數上面的點就好了?！?我很不服氣，可孔老師卻絲毫沒有顧忌我的情緒，繼續(xù)發(fā)問：“那如果是更長的木棍呢？200厘米，300厘米，400厘米，又該怎樣？”

我接過孔老師手里的一米木棍，仔細觀察起來。從左邊開始，一厘米一厘米地往右看著，瞬間我有了新發(fā)現：因為每30厘米的情況是一樣的，所以我根本不需要數整根100厘米的木棍上有多少段1厘米，只要數前面這30厘米就行了。

解決了難題，我終于可以得意地笑出聲來。沒想到，從這簡簡單單的一根木棍上，我們居然能研究出這么多秘密來。最好玩的是，我們并沒有把這根可憐的木棍鋸開，僅僅靠想象、分析和推理就把問題給解決了。

數學點睛：木棍上的點數與段數之間的關系，是 “植樹問題”模型。兩種不同的點和它們之間重復的點，是“重復問題”。兩種數量組成的集合中含有的元素，等于這兩個集合元素個數的和，減去它們之間重復的元素的個數。最后，在解決“1厘米長的木段有幾段”時，我們通過找規(guī)律的辦法，發(fā)現了周期現象。你現在知道答案了嗎？100÷30=3……10，這余下的10厘米中還含有一段1厘米的，所以1厘米長度的木段有3×2+1=7（段）。