新陳代謝GM（1，1）模型在大壩邊坡沉降監(jiān)測中的應(yīng)用

曾賢敏，黃 騰，李桂華，周 帆

（河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210098）

灰色預(yù)測［1］是指對系統(tǒng)行為特征值的發(fā)展變化進(jìn)行的預(yù)測，對既含有已知信息又含有不確定信息的系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測，在一定范圍內(nèi)變化的、與時間序列有關(guān)的灰過程進(jìn)行預(yù)測。使用最廣泛的灰色預(yù)測模型就是關(guān)于數(shù)列預(yù)測的一個變量、一階微分的GM（1，1）模型，GM（1，1）模型對時間序列短、統(tǒng)計數(shù)據(jù)少、信息不完全系統(tǒng)的建模與分析，具有獨(dú)特的優(yōu)越性［2-4］。

目前，工程界進(jìn)行沉降預(yù)測主要采用GM（1，1）模型，傳統(tǒng)的GM（1，1）模型存在不足，對于任何一個灰色系統(tǒng)而言，隨著時間的發(fā)展，會出現(xiàn)一些擾動因素不斷地對系統(tǒng)產(chǎn)生影響，所以傳統(tǒng)的GM（1，1）模型對于原始序列之后的1、2期數(shù)據(jù)有較高的預(yù)測精度，可越往后預(yù)測意義就越低。為了彌補(bǔ)上述缺陷，引入了新陳代謝GM（1，1）模型，一方面它繼承了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的優(yōu)點，另一方面它能更新數(shù)據(jù)序列的初始值及時系統(tǒng)的擾動因素考慮進(jìn)去，去掉失去預(yù)測意義的老數(shù)據(jù)對原始時間序列進(jìn)行新陳代謝，提高模型的預(yù)測精度。

本文以南方某大壩邊坡監(jiān)測點的沉降位移為例，用新陳代謝GM（1，1）模型對沉降位移進(jìn)行擬合預(yù)測，事實證明其擬合預(yù)測精度高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，值得推廣使用。

1 建立模型

1.1 傳統(tǒng) GM（1，1）模型

傳統(tǒng)GM（1，1）模型是基于隨機(jī)的原始時間序列，經(jīng)按時間累加后形成的新的時間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近。傳統(tǒng)GM（1，1）預(yù)測模型的建立［5］：

設(shè)非負(fù)離散等間隔數(shù)列為

對x（0）作一次累加

得到生成數(shù)列為

于是x（0）（k）的 GM（1，1）白化微分方程為

式中：a，u為待定參數(shù)，a為發(fā)展系數(shù)，反映x的發(fā)展趨勢；u為灰色作用量，反映數(shù)據(jù)間的變化關(guān)系。并記a，u構(gòu)成的矩陣為灰參數(shù)

對累加生成數(shù)據(jù)做均值生成B與常數(shù)項向量Y，即

還原原始數(shù)據(jù)得

1.2 新陳代謝GM（1，1）模型

灰色新陳代謝GM（1，1）模型是將原始時間序列更新改進(jìn)傳統(tǒng)GM（1，1）模型。其建模原理為將傳統(tǒng) GM（1，1）模型中的原始序列x（0）＝ ｛x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）｝的最老信息x（0）（1）去除，同時置入最新數(shù)據(jù) x（0）（n＋1），用全新的數(shù)據(jù)序列x（0）＝｛x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n＋1）｝重 新 建 立GM（1，1）模型，進(jìn)行一維新陳代謝GM（1，1）預(yù)測，如此反復(fù)，隨著時間序列的發(fā)展，依次遞補(bǔ)建立n維新陳代謝模型，直到完成預(yù)測目標(biāo)達(dá)到預(yù)測精度，即為灰色新陳代謝GM（1，1）模型。

2 模型精度檢驗

模型的檢驗是模型建立后必不可少的工作，常用的灰色預(yù)測模型檢驗方法一般有殘差檢驗，關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗差檢驗。本文采用殘差合格模型［6-10］評判模型精度，該檢驗法是由相對誤差和平均相對誤差共同描述。設(shè)原始序列為

用經(jīng)過預(yù)測得到的模擬序列：

則殘差序列為

可得相對殘差序列：

表1 精度檢驗等級參照表

3 實例分析

本文以南方某大壩邊坡監(jiān)測點的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為例驗證新陳代謝GM（1，1）模型在大壩邊坡沉降監(jiān)測中應(yīng)用的可行性。其所測數(shù)據(jù)見表2。

自2013-05-01開始每隔15d進(jìn)行一次觀測，本文取前11期監(jiān)測數(shù)據(jù)資料進(jìn)行實驗。使用前8期觀測數(shù)據(jù)作為原始時間序列建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型，對前8期的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并預(yù)測第9～11期數(shù)據(jù)。然后建立一維新陳代謝GM（1，1）模型，去除第1期數(shù)據(jù)加入第9期數(shù)據(jù)，用更新過的數(shù)據(jù)序列再次建立GM（1，1）模型，對第2～8期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合并預(yù)測第9～11期數(shù)據(jù)，依次遞補(bǔ)建立n維新陳代謝模型直到滿足預(yù)測精度要求。本次實驗計算均通過MATLAB R2008a編程完成。

表2 監(jiān)測點沉降監(jiān)測資料

3.1 建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型

使用大壩邊坡監(jiān)測點前8期沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)作為原始時間序列：

對x（0）作一次累加得

進(jìn)而得到原始數(shù)據(jù)：

3.2 建立新陳代謝GM（1，1）模型

去除第1期監(jiān)測數(shù)據(jù)，使用第2～9期監(jiān)測數(shù)據(jù)作為原始時間序列：

使用新x（0）建立一維新陳代謝 GM（1，1）模型可得到原始數(shù)據(jù)：

同理使用第3～10期監(jiān)測數(shù)據(jù)建立二維新陳代謝GM（1，1）模型得到原始數(shù)據(jù)：

3.3 模型精度分析

分別使用上述建立的三種模型對前8期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，結(jié)果如表3所示。

表3 擬合效果檢驗表

利用殘差合格模型對模擬效果進(jìn)行精度評定，可以看到傳統(tǒng)GM（1，1）模型中相對誤差Δ8＝1.98%，平均相對誤差屬于二級精度，利用同類方法對其他兩種模型的模擬效果進(jìn)行精度評定，評定結(jié)果如表4所示。

表4 擬合效果精度評定表

通過表3可知，擬合值與實際值的最大殘差出現(xiàn)在傳統(tǒng)GM（1，1）模型中，二維新陳代謝 GM（1，1）模型擬合值殘差最小。通過表4可知，新陳代謝GM（1，1）模型擬合精度要高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，且隨著新陳代謝維度的增加擬合精度也會越高，一維新陳代謝GM（1，1）模型已經(jīng)達(dá)到一級精度要求，二維新陳代謝GM（1，1）模型的擬合精度高于一維新陳代謝GM（1，1）模型，達(dá)到預(yù)期擬合效果。

通過以上實驗可得新陳代謝GM（1，1）模型擬合精度高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，分別利用以上模型對第9～11期觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如表5所示。

表5 預(yù)測效果檢驗表

利用殘差合格模型對模擬效果進(jìn)行精度評定，評定結(jié)果如表6所示。

表6 預(yù)測效果精度評定表

觀察表5，新陳代謝GM（1，1）模型預(yù)測值與實際值殘差小于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，預(yù)測效果也逐步提高。通過表6可知，新陳代謝GM（1，1）模型預(yù)測精度高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，且隨著新陳代謝維數(shù)的增加預(yù)測精度也會越高，二維新陳代謝GM（1，1）模型預(yù)測精度達(dá)到一級，達(dá)到預(yù)期效果。

4 結(jié) 論

GM（1，1）模型已經(jīng)成為工程界對沉降監(jiān)測位移進(jìn)行預(yù)測的重要方法，在利用傳統(tǒng)GM（1，1）模型進(jìn)行預(yù)測時必須看到它的不足之處，重視建筑物在發(fā)展過程中隨時進(jìn)入的擾動因素，由此引入新陳代謝GM（1，1）模型。本文結(jié)合南方某大壩邊坡監(jiān)測點的沉降位移為例建立傳統(tǒng)GM（1，1）模型與新陳代謝GM（1，1）模型分別進(jìn)行擬合預(yù)測。通過對比分析可得：

1）沉降預(yù)期結(jié)果的精度取決于預(yù)測模型的選擇，本文通過去除老數(shù)據(jù)加入最新數(shù)據(jù)建立的新陳代謝GM（1，1）模型在預(yù)測時融入了未來的噪聲，避免傳統(tǒng)GM（1，1）模型預(yù)測值由隨著時間的發(fā)展與實際值偏差越來越大，而失去預(yù)測的意義。

2）新陳代謝GM（1，1）模型對大壩邊坡沉降位移模擬預(yù)測精度明顯高于傳統(tǒng)GM（1，1）模型，且隨著時間序列的更新精度越高，二維新陳代謝GM（1，1）模型的模擬預(yù)測精度可達(dá)到一級，說明新陳代謝模型進(jìn)行模擬預(yù)測時合理可靠，值得類似工程借鑒使用。

［1］鄧聚龍.灰色系統(tǒng)理論簡介［J］.內(nèi)蒙古電力，1993（3）：51-52.

［2］唐佑輝，黃騰，趙兵帥.GOM和時間序列組合模型在地表沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2014，23（2）：70-72.

［3］趙福洪，羅志清，楊建文.七種數(shù)學(xué)模型在沉降預(yù)測中的優(yōu)缺點比較分析［J］.測繪工程，2014，23（3）：59-62.

［4］邱偉，黃騰，朱春寧.混合模型在沉降監(jiān)測中的組合預(yù)測方法［J］.測繪工程，2014，23（4）：51-54.

［5］肖文，范志平，蔡仁瀾，等.灰色系統(tǒng) GM（1，1）模型在建筑物變形監(jiān)測中的應(yīng)用［J］.地理空間信息，2010（2）：148-150.

［6］臧德彥.灰色系統(tǒng)理論在海堤沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程，1999（2）：50-54.

［7］劉樹，王燕，胡鳳閣.對灰色預(yù)測模型殘差問題的探討［J］.統(tǒng)計與決策，2008（1）：9-11.

［8］陶家祥，張博，胡江.改進(jìn)的GM（1，1）模型在大壩監(jiān)測數(shù)據(jù)預(yù)測中的應(yīng)用［J］.水電能源科學(xué)，2011（5）：70-72.

［9］何偉，李明，闞起源.抗差加權(quán)非等時距 GM（1，1）模型在大型建筑物沉降預(yù)測中的應(yīng)用［J］.測繪工程，2014，23（4）：62-64.

［10］張怡，魏勇，熊常偉.灰色模型GM（1，1）的一種新優(yōu)化方法［J］.系統(tǒng)工程理論與實踐，2007（4）：141-146.