費米氣體中兩平行板間的卡西米爾力

陳禮煒

(三明學院機電工程學院，福建三明365000)

費米氣體中兩平行板間的卡西米爾力

陳禮煒

(三明學院機電工程學院，福建三明365000)

研究了浸置于理想費米海中的兩塊平行板，在零溫和非零溫時的卡西米爾效應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn)，費米氣體的卡西米爾效應(yīng)與電磁場或者玻色氣體有很明顯的差異。電磁場和玻色氣體的卡西米爾力會隨著兩板間距的增加而單調(diào)遞減，然而，費米氣體的卡西米爾力卻會隨著兩板間距的變化而振蕩。費米氣體的卡西米爾力時而表現(xiàn)出吸引力，時而表現(xiàn)出排斥力，它對板間距的變化非常的敏感。此外，還發(fā)現(xiàn)費米氣體卡西米爾力的振幅隨著溫度的增加而減小，這一特性與處于凝聚溫度下的玻色氣體完全相反，當溫度區(qū)間處于T＜Tc時，玻色氣體的卡西米爾力隨著溫度的增加而線性增加，其中Tc為玻色-愛因斯坦凝聚溫度。

卡西米爾效應(yīng);費米氣體;平行板;振蕩

真空中的兩塊金屬平行板，當它們之間的距離足夠小時，彼此間將產(chǎn)生相互吸引的作用力，這種現(xiàn)象稱為卡西米爾效應(yīng)（Casimir effect）。卡西米爾效應(yīng)是由于真空的量子漲落所引起。在卡西米爾于1948年[1]預言了這種效應(yīng)之后的十年，Spaarnay首次在實驗上測量了卡西米爾力[2]。之后，陸續(xù)有了一系列的關(guān)于精確測量卡西米爾力的現(xiàn)代實驗，其中以Lamoreaux在1997年進行的實驗為代表[3]。在理論研究方面，人們把大量的注意力集中在計算不同幾何構(gòu)形和邊界條件下的卡西米爾能與卡西米爾力[5-23]。關(guān)于卡西米爾效應(yīng)的研究成果已被廣泛地應(yīng)用于各相關(guān)領(lǐng)域的研究中，其中包括量子場論、玻色-愛因斯坦凝聚、原子和分子物理學、引力和宇宙學等。

一般來說，任何的波場中，只要有邊界的存在，且邊界之間的空間線度小于波場的最大波長，都可以引起類卡西米爾效應(yīng)。例如，位于聲波場中兩個平行硬板間，由于內(nèi)外聲壓的不對稱，兩板之間將產(chǎn)生類似于卡西米爾力的相互作用。文獻[24]對聲波的卡西米爾效應(yīng)從理論和實驗上都進行了探討。類似的，可以推測出，由于粒子的波動性，類卡西米爾效應(yīng)同樣可能發(fā)生在量子氣體中。文獻[25]計算了置于理想玻色氣體中的兩塊平行板間在不同邊界條件下的卡西米爾力。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對于玻色氣體，卡西米爾力具有標準的漸近形式。當溫度低于BEC臨界溫度TC時，卡西米爾項是普遍存在的，而當溫度高于TC時，卡西米爾力呈指數(shù)衰減的形式。

關(guān)于費米氣體的卡西米爾效應(yīng)，已經(jīng)有大量的研究。例如，有學者計算了浸置于費米海中兩雜質(zhì)或氣泡之間的卡西米爾力[26-28]。許多實際的系統(tǒng)，如中子星[29]、夸克－膠子等離子體[30]等，其內(nèi)部都存在這類卡西米爾力。研究費米氣體的卡西米爾效應(yīng)有助于進一步了解這些系統(tǒng)內(nèi)部的微觀過程。

在以往的這類研究中，大部分是利用與障礙物邊界幾何構(gòu)形相關(guān)的態(tài)密度（計入由于障礙物的存在而產(chǎn)生的修正）來計算卡西米爾能和卡西米爾力。本文將采用嚴格的數(shù)值計算來研究浸置于費米海中兩平行板間的卡西米爾力。

1　T=0 K時的卡西米爾力

考慮浸置于理想費米海中的兩平行板。假設(shè)兩板垂直于z軸，它們之間的距離為L，且L遠小于兩板本身的線度，即（A為兩板的面積）。對兩板間費米氣體系統(tǒng)（以下簡稱受限系統(tǒng)），其單粒子能量可表為，

其中m為單粒子質(zhì)量，?=h/2π，h為普朗克常量，k為波矢。由于粒子在xy平面內(nèi)可自由運動，kx和ky可視為連續(xù)量；在z方向，粒子只能在寬度為L的空間內(nèi)運動，kz是分立的。對3種不同的邊界條件，kz可表為

其中，對狄里克雷邊界條件（DBC），n=1,2,3…；對諾依曼邊界條件（NBC），n=0，1,2,…；對于周期性邊界條件（PBC），n=0，±2,±4，…。

首先考慮T=0的情況。對于理想費米氣體，T=0 K時的熱力學勢可表為

將式（1）和（2）代入式（3），并把對kx和ky求和轉(zhuǎn)化成對kx和ky的積分，把對kx求和轉(zhuǎn)化成對n求和，可得

式中kB是玻爾茲曼常數(shù)，εF是受限系統(tǒng)的費米能（當板內(nèi)外處于平衡態(tài)時，εF與外界的費米能相J1等），和J2分別是kFL/π和kFL/（2π）的整數(shù)部分求和符號中，對狄里克雷邊界條件，n從1開始，對諾依曼邊界條件，n從0開始。為了簡單起見，這里不考慮內(nèi)部能級的簡并度。

根據(jù)式（4）可以得單位面積上的卡西米爾力

從式（5）可以看出卡西米爾力與兩板間距之間的關(guān)系。例如，在狄里克雷邊界條件下，無量綱化的卡西米爾壓強可以寫成如下形式：

式中PS0=εFkF3/（15π2）是當T=0 K時外界的壓強[21]。從式（6）可以看出，當kFL/π＜1時，J1=0，PC/PS0=-1，這意味著單位面積上的卡西米爾力與外界的壓強相等。這一結(jié)果的物理意義是顯然的：當kFL/π＜1時，受限系統(tǒng)的最低能級ε0=π2?2/（2mL2）要比費米能ε0=π2?2/（2mL2）高，因此在兩板之間不存在粒子，其壓強為零。當kFL/π≥1時，在每一個kFL/π=J1（J1=1,2,3…）處，PC/PS0存在最小值

而在每一個J1≤kFL/π＜J1+1（J1=1,2,3…）的范圍內(nèi)，當kFL/π=時，PC/PS0有最大值

因此PC/PS0隨kFL/π的作準周期性振蕩，其周期Δ(kFL/π)=1，如圖1所示。這一性質(zhì)是電磁場和玻色氣體的卡西米爾效應(yīng)中所沒有的。對于電磁場和玻色氣體，其卡西米爾力的大小隨著兩板間距的增加而單調(diào)遞減。從式（6）還可以看出，在每一個整數(shù)間隔內(nèi)J1≤kFL/π＜J1+1，PC/PS0可能變化的區(qū)間為PC，min/PS0＜0到PC，max/PS0＞0。這表明費米氣體的卡西米爾力可以是排斥力，也可以是吸引力，并且隨著板間距的增加而交替變化。這是費米氣體與玻色氣體卡西米爾力的又一重要區(qū)別，因為后者僅僅表現(xiàn)為吸引力[25]。

諾依曼和周期性邊界條件下的卡西米爾力，可進行類似的討論，這里不再贅述。從圖1中可以看出，對于狄里克雷和諾依曼邊界條件，PC/PS0隨著kFL/π的變化是相同的，而對于周期性邊界條件，PC/PS0隨kFL/π變化的周期是前兩者的兩倍。

圖1 T=0 K時，不同邊界條件下的卡西米爾力隨著兩板間距的變化曲線

有關(guān)費米氣體的卡西米爾效應(yīng)，另一個值得關(guān)注的現(xiàn)象是，當板內(nèi)外處于平衡時，板內(nèi)外存在粒子數(shù)密度差。根據(jù)式（4）給出的熱力學勢表達式，可以得出板內(nèi)外粒子數(shù)密度差

根據(jù)式（9），可以作出不同邊界條件下Δρ/ρS0隨著kFL/π變化的曲線，如圖2,其中ρS0=kF3/(6π2)為T=0 K時板外的粒子數(shù)密度[31]。從圖中可以看出，曲線呈現(xiàn)鋸齒狀振蕩，隨著板間距的增加而變得光滑。從圖中還看出，Δρ/ρS0～kFL/π邊界條件對Δρ/ρS0的值有顯著的影響：對狄里克雷邊界條件，Δρ/ρS0的值為負，對諾依曼邊界條件，Δρ/ρS0的值為正，對周期性邊界條件，Δρ/ρS0的值隨kFL/π的增大呈現(xiàn)正負交替的變化。當L→0時，對狄里克雷邊界條件，Δρ/ρS0=-1，對諾依曼邊界條件和周期性邊界條件，Δρ/ρS0→∞。

圖2 T=0 K時，不同邊界條件下的板內(nèi)外粒子數(shù)密度差隨著板間距的變化曲線

2　T≠0 K時的卡西米爾力

現(xiàn)在考慮T≠0 K的情況。以狄里克雷邊界條件為例，受限系統(tǒng)的熱力學勢可表為

Γ（v）是伽瑪函數(shù)。根據(jù)式（10），可求單位面積上的卡西米爾力與兩板內(nèi)外的粒子數(shù)密度差，結(jié)果分別為

其中逸度z由

決定，TF=εF/kB為費米溫度。根據(jù)式（12）-（14），通過數(shù)值計算可得到PC(L,T)和Δρ(L,T)與變量L和T的關(guān)系。

圖3給出了不同的溫度下PC/PS0隨kFL/π變化的曲線。從圖中可以看出，PC/PS0的振幅隨著溫度的增加而減小。這一性質(zhì)與玻色氣體的完成不同：對凝聚溫度下玻色氣體，卡西米爾力隨著溫度的增加而線性增加[25]。與T=0 K時的曲線相比，PC/PS0～kFL/π曲線隨著溫度的升高而變得較為光滑。

圖4反應(yīng)了不同的板間距kFL/π的情況下，PC/PS0隨著T/TF的變化曲線。從圖中可以看出，卡西米爾力對于兩板間距的變化非常的敏感。當kFL/π發(fā)生微小的變化時，如kFL/π變化0.1，相應(yīng)的卡西米爾力發(fā)生相對顯著的變化。

圖3不同溫度下的卡西米爾力隨著兩板間距的變化曲線

圖4不同板間距下的卡西米爾力隨著溫度的變化曲線

圖5表示根據(jù)式（13）和（14）繪出的不同的溫度T/TF下的Δρ/ρS0隨kFL/π變化的曲線?？梢钥闯?，隨著溫度的增加，Δρ/ρS0的振蕩逐漸消失。此外，對于給定的kFL/π，在不同溫度下T/TF，Δρ/ ρS0的值幾乎相同，這反應(yīng)出板內(nèi)外的密度差在低溫區(qū)域?qū)囟鹊淖兓幻舾小?/p>

對于另外兩種邊界條件，即諾依曼邊界條件和周期性邊界條件，在T≠0 K時的卡西米爾效應(yīng)與狄里克雷邊界條件下相似，這里不再具體討論。

圖5不同溫度下板內(nèi)外粒子數(shù)密度差隨著兩板間距的變化曲線

3　結(jié)論與討論

本文研究了理想費米海中兩無限大平行板的卡西米爾效應(yīng)，得到了以下結(jié)論：（1）理想費米氣體的卡西米爾力隨著兩板之間間距的變化而振蕩，這一特性與電磁場和玻色氣體的卡西米爾力截然不同。（2）隨著兩板之間間距的變化，費米氣體的卡西米爾力可以表現(xiàn)為吸引力，也可以表現(xiàn)為排斥力，這是費米氣體與玻色氣體卡西米爾效應(yīng)的另一重要區(qū)別。（3）費米氣體卡西米爾力的振幅會隨著溫度的增加而減小，這與玻色氣體的情況完全不同：對于玻色氣體，當T＜TC時，卡西米爾力隨著溫度的增加而線性增大。（4）兩板內(nèi)外的粒子數(shù)密度差對兩板間距以及邊界條件非常的敏感，而在低溫區(qū)對溫度的變化較不敏感。

［1］CASIM IR H BG．On the attraction between two perfectly conducting plates［J］．Proc Ned AkadWet B，1948，51：793．

［2］SPARNAAY MJ．Measurementsof attractive forcesbetween flat plates［J］．Physica，1958，24：751．

［3］LAMOREAUX SK．Demonstration of the Casim ir force in the 0．6 to 6μMrange［J］．Phys Rev Lett，1997，78：5．

［4］MOHIDEENU，ROYA．.Precisionmeasurement of the Casim ir force from 0．1to 0．9μm［J］．Phys RevLett，1998，81：4549．

［5］BRESSIG G，CARUGNO RONOFR IO，RUOSO G．Measurement of the Casim ir force between parallel metallic surfaces［J］．Phys Rev Lett，2002，88：04180.

［6］ANTON IN IP，BRESSIG，CARUGNO G，et al．Casim ir effect：a novel experimental approach at large separation［J］．New JPhys，2006（8）：239．

［7］PETROVV，PETROVM，BRYKSINV，etal．Casim ir force betweentwoslabs ina Ferm isea［J］．Exp TheorPhys，2007，104：96．

［8］CASADIO R，GRUPPUSO A，HARMSB，et al．Boundaries and the Casim ir effect in noncommutative space－time［J］．Phys Rev D，2007，76：025016．

［9］ZHAIX，LIX．Casim ir pistonsw ith hybrid boundary conditions［J］．Phys Rev D，2007，76：04770.

［10］ALVESD T，GRANHEN E R．Energy density and particle creation inside an oscillating cavity with Mixed boundary conditions［J］．Phys Rev A，2008，77：015808．

［11］LIM SC，TEO L P．Repulsive Casim ir force at zero and finite temperature［J］．New JPhys，2009，11：013055．

［12］KHOO F S，TEO L P．Finite temperature Casim ir effect ofmassive ferm ionic fields in the presence of compact dimensions［J］．Physics Letters B，2011，703：199．

［13］QUEIROZ H，SILVA J，KHANNA FC．Thermofield dynam ics and Casim ir effect for ferm ions［J］．Annals of Physics，2005，317：220．

［14］RAJEEVSG．Adispersion relation for thedensity ofstatesw ith application to theCasim ir effect［J］．Annalsof Physics，2011，326：1536．

［15］UREGUI R J，VILLARREAL C，HACYAN S．Finite temperature corrections to the Casim ir effect in rectangular cavitiesw ith perfectly conducting walls［J］．Annals of Physics，2006，321：2156．

［16］DECCA R S，PEZ L D，F(xiàn)ISCHBACH E，et al．Precise comparison of theory and new experiment for the Casim ir force leads to stronger constraintson thermalquantum effectsand long－range interactions［J］．Annalsof Physics，2005，318：37．

［17］CELERI L C，PASCOAL F，PONTE MA DE，et al．Number of particle creation and decoherence in the nonideal dynamical Casimir effect at finite temperature［J］．Annalsof Physics，2009，324：2057．

［18］GUSSO A，DELBEN G J．Influence of the Casim ir force on the pull－in parameters of silicon based electrostatic torsional actuators［J］．Sensorsand Actuators A：Physical，2007，135：792．

［19］RITSCHEL U，GERW INSKIM．Casim ir forcesat tricriticalpoints：theory and possible experiments［J］．Physica A：StatisticalMechanicsand I ts Applications，1997，243：362．

［20］CUI S，SOH Y C．Parameter estimation in dynam ic Casim ir force measurements with known period icity［J］．Physics Letters A，2011，376：109．

［21］GRAHAM N，JAFFE R L，KHEMAN IV，et al．Calculating vacuum energies in renormalizable quantum field theories：a new approach to the Casim ir problem［J］．Nuclear Physics B，2002，645：49．

［22］BATRA R C，PORFIR IM，SPINELLO D．Reduced－ordermodels form icroelectromechanical rectangular and circular plates incorporating the Casim ir force［J］．International Journal of Solids and Structures，2008，45：3558．

［23］GAZZOLA G，NEMESM C，WRESZINSKIW F．On the Casim ir energy for amassive quantum scalar field and the cosmological constant［J］．Annals of Physics，2009，324：2095．

［24］LARRAZA B，DENARDO B．An acoustic Casim ir effect［J］．Phys Lett A，1998，248：151．

［25］MARTIN P A，ZAGREBNOV V A．The Casim ir effect for the Bose－gas in slabs［J］．Europhys Lett，2006，73：15．

［26］BULGAC A，wIRZBA A．Casimir interaction among objectsimmersed in a fermionic environment［J］．PhysRev Lett，2001，87：12040.

［27］wIRZBA A，BULGAC A，MAGIERSKIP．Casim ir interaction between normalorsuperfluid grainsin the Ferm isea［J］．J PhysA：Math Gen，2006，39：6815．

［28］RECATIA，F(xiàn)UCHS JN，PEA C S．Casim ir forces between defects in one－dimensional quantum liquids［J］．Phys Rev A，2005，72：023616．

［29］BULGAC A，MAGIERSKIP．Quantum corrections to the ground state energy of inhomogeneous neutron matter［J］．Nucl Phys A，2001，683：695．

［30］NEERGAARDG，MADSEN J．Doesthequark－gluonplasmacontainstablehadronicbubbles？［J］．Phys RevD，2000，62：034005

［31］PATHRIA．Statistical Mechanics［M］．New York：Pergamon P ress，1977．

（責任編輯：朱聯(lián)九）

Oscillating Casimir Force between Two Slabs in a Fermi Sea

CHEN Li-wei

(School of Mechanical and Electronic Engineering,Sanming University,Sanming 365004,China)

The Casimir effect for two parallel slabs immersed in an ideal Fermi sea is investigated at both zero and nonzero temperatures.It is found that the Casim ir effect for a Ferm igas is distinctly different from that for an electromagnetic field or amassive Bose gas.In contrast to the familiar result that the Casimir force decreasesmonotonically with the separation L of the two slabs for an electromagnetic field and amassive Bose gas,the Casimir force for a Ferm igas oscillates as a function of L.The Casim ir force can be either attractive or repulsive,depending sensitively on themagnitude of L.In addition,it is found that the amplitude of the Casimir force for a Ferm igas decreasesw ith increasing temperature,which is contrary to the case for a Bose gas since the bosonic Casim ir force increases linearly with temperature in the region T＜Tc,where Tcis the critical temperature of Bose-Einstein condensation.

Casimir effect；Ferm igas,parallel slab；oscillation

O 46

A

1673-4343（2015）06-0001-06

10．14098／j．cn35－1288／z．2015．06．001

2015-09-05

國家自然科學基金項目(11447138)

陳禮煒，女，福建永安人，講師，博士。主要研究方向：熱力學與統(tǒng)計物理。