基于迭代凸優(yōu)化的恒模波形合成方法

李秀友 薛永華 董云龍 關(guān) 鍵

1 引言

認(rèn)知雷達(dá)是未來(lái)雷達(dá)發(fā)展的主要方向之一，認(rèn)知雷達(dá)由于引入了閉環(huán)反饋結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)獲取的場(chǎng)景信息自適應(yīng)調(diào)整發(fā)射波形，從而改善系統(tǒng)性能[1]。波形設(shè)計(jì)是認(rèn)知雷達(dá)關(guān)鍵技術(shù)之一，波形優(yōu)化設(shè)計(jì)是在一定的約束條件下最大化準(zhǔn)則函數(shù)，準(zhǔn)則函數(shù)的選取取決于雷達(dá)系統(tǒng)的任務(wù)和工作模式[26]-。

大量文獻(xiàn)研究了認(rèn)知雷達(dá)的波形優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[7]首先提出了利用目標(biāo)和回波的最大互信息設(shè)計(jì)發(fā)射波形，從信息論角度解決波形優(yōu)化問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]研究了基于距離擴(kuò)展目標(biāo)最大輸出信雜噪比的波形設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)得到最優(yōu)發(fā)射波形和接收濾波器的功率譜。文獻(xiàn)[9]分析了廣義平穩(wěn)高斯雜波中點(diǎn)目標(biāo)的檢測(cè)問(wèn)題，將回波信號(hào)統(tǒng)一變換到頻域，再根據(jù)對(duì)數(shù)似然比檢測(cè)器的最大檢測(cè)概率準(zhǔn)則，用“注水法”求得最優(yōu)發(fā)射波形能量譜。

以上最優(yōu)波形設(shè)計(jì)算法只能得出優(yōu)化波形的能量譜，要應(yīng)用于實(shí)際雷達(dá)系統(tǒng)還需要合成時(shí)域波形，為了提高發(fā)射機(jī)功率利用率，常需要合成滿足能量譜約束的恒模波形。目前基于波形能量譜合成時(shí)域信號(hào)常用的有3種方法，分別是Durbin 法、駐留相位法[10]和迭代合成法[11]。Durbin法相對(duì)簡(jiǎn)單，但不能滿足恒模要求，駐留相位法合成波形具有恒模特性，但是無(wú)法很好地?cái)M合復(fù)雜形狀能量譜，迭代算法收斂速度慢，能量譜邊沿?cái)M合誤差大。

滿足給定能量譜的恒模波形設(shè)計(jì)問(wèn)題需要同時(shí)在頻域滿足給定頻譜，在時(shí)域滿足恒模要求[11]。這類約束在兩個(gè)不同集合中的優(yōu)化問(wèn)題常采用交替投影法，這種處理方法廣泛應(yīng)用于約束條件下的波束形成和時(shí)域波形合成中[1214]-。此類問(wèn)題求解通常采用迭代方法在兩個(gè)不同集合之間交替投影，逐步逼近滿足約束條件的解，該解存在于兩個(gè)集合的交集中[15]。以上迭代方法在不同集合中以各自約束條件為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理，而不考慮相互之間的影響，這種處理方法往往會(huì)導(dǎo)致整體收斂速度變慢，收斂到性能較差的局部最優(yōu)值[16]。文獻(xiàn)[17]在設(shè)計(jì)滿足峰均功率比（Peak-to-Average Power Radio,PAPR）約束的正交頻分復(fù)用（OFDM）信號(hào)時(shí)，將信號(hào)頻域失真和時(shí)域PAPR約束聯(lián)合優(yōu)化，使得每步優(yōu)化過(guò)程能夠同時(shí)兼顧兩個(gè)約束條件，提高了收斂速度，降低了誤碼率。

受上述思路的啟發(fā)，本文在文獻(xiàn)[11]迭代波形合成算法的基礎(chǔ)上，將頻譜逼近過(guò)程構(gòu)造成約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題，其中時(shí)域恒模特性作為約束條件，波形能量譜與期望能量譜的誤差作為目標(biāo)函數(shù)。在優(yōu)化處理過(guò)程中將恒模約束放松為PAPR約束，并對(duì)頻譜進(jìn)行加權(quán)處理，進(jìn)一步降低阻帶內(nèi)功率水平，然后通過(guò)一系列變換操作將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃（Second-Order Cone Programming, SOCP）問(wèn)題求解，最后通過(guò)仿真結(jié)果驗(yàn)證算法的有效性。

2 經(jīng)典時(shí)域波形合成算法

給定期望的N點(diǎn)幅度譜密度函數(shù)s（k）, 0k= ,1,,1N-…，需要設(shè)計(jì)M點(diǎn)單位幅值恒模復(fù)信號(hào)：如果M＜N，則x（n）補(bǔ)零到N點(diǎn)，使得x（n）的N點(diǎn)DFT變換y（k）接近期望的幅度譜s（k）。

為使得設(shè)計(jì)的恒模信號(hào)幅度譜接近期望值，設(shè)y（k）的相位為φ（k），則最小二乘誤差可寫為

定義 s =

s（ 0）ejφ（0）,s （ 1）ejφ（1）,… ,s （ N - 1）e，并定義 x =[x （ 0）,x （ 1）,… ,x （ N - 1）]T，則式（2）經(jīng)過(guò)一系列變換可以得到x的最小二乘估計(jì)值，并將時(shí)域信號(hào)估計(jì)值x做幅度歸一化處理，即得到恒模的時(shí)域信號(hào)。

其中arg（）?表示取相位，文獻(xiàn)[11]將上述兩步估計(jì)構(gòu)成迭代算法，將第i次迭代的幅度譜相位估計(jì)值（）（）ik φ 直接賦給期望幅度譜，即

圖 1 基于頻譜最小二乘誤差的恒模波形合成法

上述算法在頻譜逼近處理過(guò)程中，直接將期望幅度譜s（k）作為下一次迭代的頻譜幅值，沒有考慮到做IFFT之后時(shí)域信號(hào)的峰值大小。時(shí)域不做約束的頻譜逼近處理將會(huì)導(dǎo)致時(shí)域信號(hào)出現(xiàn)較大的峰值，需要多次迭代才能得到滿足恒模和幅度譜逼近的波形，降低了收斂速度。該算法將設(shè)計(jì)波形幅度譜和期望幅度譜的整體誤差作為代價(jià)函數(shù)，沒有重點(diǎn)考慮阻帶內(nèi)頻譜誤差對(duì)性能的影響。而波形阻帶部分通常是強(qiáng)雜波或強(qiáng)干擾所在頻段，需要設(shè)計(jì)較深的凹口來(lái)提高信雜比或信干比。

3 加權(quán)迭代優(yōu)化波形合成算法

本文提出的算法是在文獻(xiàn)[11]迭代算法（下文簡(jiǎn)稱Kay算法）的基礎(chǔ)上，針對(duì)頻譜逼近過(guò)程存在的不足進(jìn)行改進(jìn)。首先，構(gòu)造波形時(shí)域PAPR約束條件下的優(yōu)化表示式，同時(shí)兼顧幅度譜逼近程度和時(shí)域起伏大?。蝗缓髮?duì)頻譜矢量加權(quán)處理，抑制阻帶內(nèi)發(fā)射功率水平；最后將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換成二階錐規(guī)劃（SOCP）問(wèn)題，利用內(nèi)點(diǎn)法求解。

3.1 建立滿足約束條件的目標(biāo)函數(shù)

此處定義時(shí)域信號(hào)PAPR：

其中 ?2表示2-范數(shù)，?∞表示無(wú)窮范數(shù)。定義1維加權(quán)矢量w=[w（0）,w（1）,…,w（N-1）]T，引入頻譜加權(quán)誤差矢量值（Weighted Error Vector Magnitude,WEVM）用于表征兩個(gè)頻譜矢量加權(quán)誤差大小，表達(dá)式為其中，運(yùn)算符號(hào)‘·’表示對(duì)應(yīng)元素乘積。

上述迭代波形合成算法中直接將期望幅度譜s（k）作為下一次迭代輸入信號(hào)頻譜的幅值，這會(huì)導(dǎo)致合成信號(hào)的幅值出現(xiàn)大的波動(dòng)，使得迭代收斂速度變慢，且每步迭代過(guò)程沒有最優(yōu)準(zhǔn)則保證。本文提出了在PAPR約束下的加權(quán)誤差矢量值（WEVM）最小化算法：

由于約束函數(shù)式（7d）為非凸的，優(yōu)化模型式（7）也是非凸的，這使得其數(shù)值求解比較困難。

3.2 基于SOCP的波形優(yōu)化設(shè)計(jì)

為將優(yōu)化問(wèn)題式（7）修正成凸的表達(dá)式，用xi-122近似替換xi22，則非凸約束式（7d）可以變換成[17]

由于在第i次迭代過(guò)程中xi-122是已知的，PAPRMax為預(yù)先設(shè)置的參數(shù)，則每次迭代過(guò)程中約束峰值Ti可以計(jì)算求得，因而非凸約束轉(zhuǎn)化成凸約束式（8）。其中，當(dāng)PAPRMax值足夠大時(shí)，約束條件式（7d）失效，優(yōu)化算法退化為文獻(xiàn)[11]最小二乘估計(jì)算法。優(yōu)化模型式（7）可以簡(jiǎn)化為

其中，矩陣A由N維IFFT旋轉(zhuǎn)因子矩陣的前M行構(gòu)成，式（9）可以進(jìn)一步表示成二階錐規(guī)劃（SOCP）[18,19]

3.3 加權(quán)優(yōu)化迭代波形合成算法

加權(quán)優(yōu)化迭代波形合成算法流程如圖2所示，主要包括PAPR約束下的最優(yōu)幅度譜加權(quán)逼近處理和信號(hào)幅度恒模處理過(guò)程。定義相鄰兩次迭代過(guò)程時(shí)域波形變化量。

圖 2 加權(quán)優(yōu)化迭代波形合成流程圖

其中x（i）（n） 表示第i次迭代時(shí)域估計(jì)值。具體迭代步驟如下，其中步驟1用于初始化，步驟2至步驟7循環(huán)迭代直至終止。

步驟 1 初始化過(guò)程，設(shè)定峰均功率比PAPRMax和加權(quán)系數(shù)矢量w；

步驟 2 如果i=1，則令 x（0）（n ） = exp（jθn（0）） ，其中 k =0,1,… ,M -1,θn（0）為隨機(jī)產(chǎn)生的相位，服從[- π, π]上 的 均 勻 分 布 ， 當(dāng)i≠1時(shí) ， 令x~（i）（n）=x~（i-1）（n），利用FFT將 x~i變換到N點(diǎn)離散頻域形式y(tǒng)i=[y（i）（0）,y（i）（1）,… ,y（i）（N-1）]；

步驟 3 執(zhí)行約束條件下的加權(quán)優(yōu)化算法式（10），得到最優(yōu)逼近濾波器hi，并令 y~i=yi. hi；

步驟 4 根據(jù) y~i值自適應(yīng)調(diào)整加權(quán)系數(shù) wi-1，控制阻帶整體功率水平或峰值頻點(diǎn)功率；

步驟 5 利用IFFT將 y~i變換到時(shí)域信號(hào)xi；

步驟 6 利用式（3）對(duì)信號(hào)xi幅值做歸一化處理，得到恒模的時(shí)域信號(hào) x~i；

步驟 7 當(dāng) Δ ＜ 0 .01 × M 時(shí)，循環(huán)終止，否則返回步驟2。

3.4 算法復(fù)雜度分析

SOCP模型可以用標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)法求解，優(yōu)化模型最差情況下的運(yùn)算量為O（N3）[18]，每次迭代過(guò)程中，包含一次FFT和IFFT運(yùn)算，運(yùn)算量為O（Nlog2（N）），阻帶內(nèi)峰值搜索及信號(hào)歸一化處理運(yùn)算量為O（N）。當(dāng)最大迭代次數(shù)為P時(shí)，所提算法整個(gè)運(yùn)算量為O（PN3+PNlog2（N）+PN）。

4 仿真結(jié)果及性能分析

下文通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證本文算法的有效性和優(yōu)越性。為便于比較分析，本文仿真設(shè)計(jì)與文獻(xiàn)[11]相同能量譜密度的最優(yōu)雷達(dá)發(fā)射波形，表示式為

其中， Pn（f）為噪聲功率譜密度， Ph（f） 為雜波功率譜密度，λ為由能量約束決定的常數(shù)。仿真中最優(yōu)能量譜密度設(shè)為100個(gè)頻點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的能量譜如圖3所示。從圖中可以看出，在部分頻點(diǎn)上信號(hào)能量譜較大，以下簡(jiǎn)稱為通帶頻段，在其余頻點(diǎn)上能量為零，為強(qiáng)干擾區(qū)或雜波區(qū)，簡(jiǎn)稱阻帶頻段。希望設(shè)計(jì)的波形在恒模約束下與最優(yōu)波形的能量譜最接近，其中過(guò)渡頻帶的擬合程度最能反應(yīng)波形的逼近性能，阻帶凹口深度決定了所設(shè)計(jì)波形對(duì)強(qiáng)雜波及干擾的抑制能力。

因此，以下仿真分析將從算法收斂速度，阻帶內(nèi)整體能量大小，峰值功率水平以及過(guò)渡頻段的頻譜擬合程度等方面綜合分析算法的性能。

4.1 固定權(quán)系數(shù)抑制阻帶能量

為了分析權(quán)系數(shù)w=[w（0）,w（1）,…,w（N-1）]T對(duì)阻帶凹口的影響，令阻帶內(nèi)對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)上的權(quán)重為10 dB，通帶內(nèi)對(duì)應(yīng)頻點(diǎn)權(quán)系數(shù)為0 dB，權(quán)系數(shù)表示為

其中固定權(quán)系數(shù)在每次迭代過(guò)程中保持不變，權(quán)系數(shù)的設(shè)定在4.3節(jié)中說(shuō)明。圖4（a）給出了本文固定權(quán)系數(shù)優(yōu)化算法與Kay算法的能量譜，當(dāng)?shù)螖?shù)P=200時(shí)，在阻帶內(nèi)大部分頻點(diǎn)上，本文優(yōu)化算法功率低于Kay算法，圖4（b）給出了50次仿真能量譜的平均值，阻帶內(nèi)各頻點(diǎn)上本文優(yōu)化算法低于Kay算法。圖5給出了兩種算法阻帶內(nèi)積分能量隨迭代次數(shù)變化曲線，本文算法比Kay算法阻帶內(nèi)能量下降快且低5.3 dB；分析10次和50次仿真結(jié)果平均值可以看出不同初始相位對(duì)收斂結(jié)果略微有影響，但是不會(huì)改變算法的整體收斂性；由于迭代過(guò)程中對(duì)時(shí)域波形的恒模處理，收斂曲線局部無(wú)法保證單調(diào)下降，大量仿真實(shí)驗(yàn)表明，局部非單調(diào)不影響整體收斂趨勢(shì)。圖6給出了不同波形長(zhǎng)度兩種算法累積能量譜密度，本文算法跟期望累積能量譜密度曲線比較接近，在邊緣區(qū)域也比Kay算法更接近理想曲線。其中累積能量譜密度定義為

根據(jù)式（11）的收斂條件，當(dāng)波形長(zhǎng)度M=20, 50和100時(shí)，收斂所需的迭代次數(shù)分別為7次，8次和10次?？梢钥闯霰疚乃惴ê蚄ay算法的累積能量譜密度均隨著波形長(zhǎng)度M的增加而逼近理想值，且在不同M值時(shí)，本文算法優(yōu)于Kay算法。

4.2 自適應(yīng)調(diào)整權(quán)系數(shù)抑制阻帶內(nèi)峰值頻點(diǎn)

固定權(quán)系數(shù)無(wú)法控制阻帶內(nèi)頻點(diǎn)的峰值能量，為了降低整個(gè)阻帶頻點(diǎn)上的能量，在每次迭代過(guò)程中，搜索阻帶內(nèi)頻譜峰值點(diǎn)，將該對(duì)應(yīng)點(diǎn)的權(quán)系數(shù)增大到20 dB，其余點(diǎn)權(quán)系數(shù)不變，如式（15）所示。通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)降低該頻點(diǎn)的能量，經(jīng)過(guò)反復(fù)迭代，阻帶內(nèi)所有頻率點(diǎn)的能量得到有效控制。圖7給出了兩種算法在相同初始相位時(shí)，經(jīng)過(guò)200次迭代所得恒模波形的能量譜，本文優(yōu)化迭代算法阻帶內(nèi)最大峰值功率降為0.4 dB，比通帶低21.6 dB，比Kay算法阻帶內(nèi)峰值功率6.8 dB低6.4 dB。圖8給出了阻帶內(nèi)能量隨著迭代次數(shù)收斂情況，該算法能有效收斂，且本文算法比Kay算法阻帶能量低5.8 dB，同時(shí)給出了10次和50次仿真結(jié)果平均值，可以看出不同初始相位對(duì)收斂過(guò)程有一定影響，但是不會(huì)改變算法的收斂趨勢(shì)。迭代循環(huán)終止準(zhǔn)則按照式（11），則不同信號(hào)長(zhǎng)度M的收斂次數(shù)跟固定權(quán)系數(shù)算法相近。

4.3 權(quán)系數(shù)設(shè)定及運(yùn)算量分析

圖 3 最優(yōu)發(fā)射波形能量譜密度

圖 4 固定權(quán)系數(shù)波形性能分析（PAPRMax=0.5 dB）

圖 5 固定權(quán)系數(shù)算法阻帶內(nèi)積分能量隨迭代下降曲線（仿真次數(shù)Q=1,10和50的平均值, M=100, PAPRMax=0.5 dB）

圖 6 波形累積能量譜密度曲線 （波形長(zhǎng)度M=20,50,100）

圖 7 自適應(yīng)權(quán)系數(shù)設(shè)計(jì)的波形能量譜（PAPRMax=0.5 dB, M=100）

下面主要討論權(quán)系數(shù)w對(duì)阻帶內(nèi)積分能量和峰值的影響，圖9給出了50次仿真平均值。從圖9（a）可以看出，當(dāng)固定權(quán)系數(shù)w在0～10 dB變化時(shí)，阻帶內(nèi)積分能量呈下降趨勢(shì)，當(dāng)超過(guò)10 dB時(shí)變化不顯著，因此仿真中固定權(quán)系數(shù)選為10 dB。圖9（b）給出了當(dāng)阻帶權(quán)系數(shù)定為10 dB條件下，峰值功率水平與峰值位置自適應(yīng)權(quán)系數(shù)的關(guān)系，當(dāng)自適應(yīng)權(quán)系數(shù)超過(guò)20 dB時(shí)，峰值功率水平震蕩起伏變化，因此仿真過(guò)程中自適應(yīng)權(quán)系數(shù)選為20 dB是合理值。

表1給出了不同算法的運(yùn)算量，由于引入SOCP模型，用標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)點(diǎn)法求解優(yōu)化模型最差情況下的運(yùn)算量為O（N3），本文算法運(yùn)算量有所增加，所以該方法更適用于對(duì)波形頻譜逼近程度要求較高的短波形設(shè)計(jì)或?qū)?shí)時(shí)性要求不高的長(zhǎng)波形設(shè)計(jì)。

5 結(jié)論

本文提出了一種基于迭代凸優(yōu)化的恒模波形合成方法，該方法將波形合成過(guò)程轉(zhuǎn)化成PAPR約束下的優(yōu)化問(wèn)題，減少了迭代收斂次數(shù)，并利用頻譜加權(quán)處理降低阻帶功率水平，提高干擾及強(qiáng)雜波抑制能力，最后通過(guò)一系列變換操作將優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成二階錐規(guī)劃（SOCP）問(wèn)題求解。所提方法在給定波形能量譜的條件下能夠有效逼近理想的頻譜形狀，設(shè)計(jì)的波形具有恒模特性，并且適用于頻譜形狀較復(fù)雜的波形，最后通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性。

表 1 波形合成方法運(yùn)算量比較

圖 8 自適應(yīng)權(quán)系數(shù)算法阻帶內(nèi)積分能量隨迭代下降曲線（仿真次數(shù)Q=1, 10和50的平均值，M=100）

圖 9 阻帶內(nèi)能量和峰值與 權(quán)系數(shù)關(guān)系

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