時空非均勻采樣下雙基地MIMO雷達(dá)收發(fā)角及多普勒頻率聯(lián)合估計(jì)方法

鄭志東 方 飛 袁紅剛 于彥明 陶 歡

1 引言

隨著MIMO通信的快速發(fā)展、以及現(xiàn)代雷達(dá)研究的不斷深入，多輸入多輸出（MIMO）雷達(dá)[13]-應(yīng)運(yùn)而生。其中，雙基地MIMO雷達(dá)[412]-是將雙基地雷達(dá)與MIMO技術(shù)相結(jié)合而形成的一種MIMO雷達(dá)體制，它不僅兼具了MIMO雷達(dá)在參數(shù)估計(jì)方面和雙基地雷達(dá)在“四抗”方面的優(yōu)勢，還有效降低了雙基地雷達(dá)在“三大”同步（空間、時間、頻率）方面的要求，因而受到了廣泛地關(guān)注。雙基地MIMO雷達(dá)只需從接收信號中估計(jì)出目標(biāo)的發(fā)射角（Direction Of Departure, DOD）和接收角（Direction Of Arrival, DOA），便可以實(shí)現(xiàn)對目標(biāo)的定位，無需復(fù)雜的三大同步技術(shù)以及額外的收發(fā)通信鏈路支持，極大地簡化了雷達(dá)的系統(tǒng)設(shè)備。

對未知目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)是雷達(dá)信號處理的一個關(guān)鍵內(nèi)容，現(xiàn)有關(guān)于雙基地MIMO雷達(dá)參數(shù)估計(jì)算法大都是針對靜止目標(biāo)或者假設(shè)目標(biāo)多普勒頻率已知，僅是對目標(biāo)的發(fā)射角和接收角進(jìn)行估計(jì)[48]-。目前，對于雙基地MIMO雷達(dá)的收發(fā)角以及多普勒頻率聯(lián)合估計(jì)的研究很少，文獻(xiàn)[9]給出了發(fā)射波束域-平行因子分析（PARAFAC）的目標(biāo)角度和多普勒聯(lián)合估計(jì)方法，通過對發(fā)射功率的充分聚焦，提高了接收端的信噪比，從而改善目標(biāo)的參數(shù)估計(jì)性能；文獻(xiàn)[10]利用相鄰時刻接收的信號，提取出含有多普勒頻率的旋轉(zhuǎn)不變因子，再對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行重構(gòu)，利用最小二乘算法估計(jì)出目標(biāo)的DOD和DOA，并實(shí)現(xiàn)了自動配對；文獻(xiàn)[11]利用收發(fā)陣列間的空間相位差以及多級延遲器之間的時間相位差，提取旋轉(zhuǎn)不變因子，實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)的收發(fā)角度及多普勒頻率聯(lián)合估計(jì)，但該算法需要額外的配對算法，增加了計(jì)算量，而且文獻(xiàn)[9-11]都只能用于收發(fā)陣列為均勻配置的情況，當(dāng)收發(fā)陣列采用非均勻配置時，上述算法的性能將急劇下降；文獻(xiàn)[12]將時域多級延遲器的輸出作為第4維，提出了基于平行因子四線性分解的DOD, DOA以及多普勒頻率聯(lián)合估計(jì)算法，并實(shí)現(xiàn)了參數(shù)之間的自動配對，該方法本質(zhì)上與平行因子三線性方法相一致。眾所周知，雙基地MIMO雷達(dá)具有陣列孔徑擴(kuò)展的優(yōu)勢，同時，采用合適的非均勻配置，也能擴(kuò)展時域和空域的自由度，因此，如果能夠?qū)烧呓Y(jié)合起來，將進(jìn)一步擴(kuò)展MIMO雷達(dá)的時域和空域自由度，從而獲得更好的目標(biāo)參數(shù)估計(jì)性能。

本文考慮發(fā)射、接收陣列以及多級延遲器皆為非均勻配置時的雙基地 MIMO雷達(dá)聯(lián)合參數(shù)估計(jì)問題。首先在接收端引入時域多級延遲器，建立雙基地MIMO雷達(dá)時空信號模型，利用矩陣Khatri-Rao積的性質(zhì)，對數(shù)據(jù)矩陣實(shí)施行置換運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了MIMO雷達(dá)空域和時域虛擬二次自由度擴(kuò)展，而后對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行時空“滑窗”處理，利用ESPRIT算法估計(jì)出目標(biāo)的DOD, DOA和多普勒頻率，并實(shí)現(xiàn)參數(shù)的自動配對。

2 時空信號模型

雙基地 MIMO雷達(dá)的收發(fā)陣元采用非均勻配置，記 λ tm/2 （ m = 1 ,2,… , M ） 為M個發(fā)射陣元的位置， λ rn/2（n = 1 ,2,… , N ）為N個接收陣元的位置，分別以發(fā)射1號和接收1號陣元作為各自的參考陣元，即 t1= 0 ,r1= 0 。假設(shè)P個點(diǎn)目標(biāo)位于收發(fā)陣列遠(yuǎn)場，第p個目標(biāo)的DOD, DOA和多普勒頻率分別為 θp, φp和 fdp。發(fā)射陣列發(fā)射不同的正交編碼脈沖信號，在第 q（ q = 1 ,2,… , Q ）個發(fā)射脈沖下，接收端的匹配濾波輸出為[11,12]

式 中 Ck=diag（ ej2πkτfd1T, ej2πkτfd2T, … ,ej2πkτfdPT） ∈CP×P,wk（q ） = w （ q + kτ）, k =0,1,…,K -1為延遲級數(shù)。將接收數(shù)據(jù)經(jīng)過K級延時，并將所有的輸出表示為列向量形式：

圖1 K級非均勻延遲器

其中Y∈CMNK×P, D =[d （1）,d （2）,… ,d （Q）]∈ CP×Q為散射系數(shù)和多普勒信息構(gòu)造的矢量，N為MNK×P維的噪聲項(xiàng)。

3 基于二次自由度擴(kuò)展的ESPRIT算法

由式（4），可求得接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣為其中Λ=diag（h），由于各目標(biāo)間互不相關(guān)，因此Λ為對角陣，且 h =[, …]T。

由式（4）可知，雙基地 MIMO 雷達(dá)通過匹配濾波處理之后，本身具有空時孔徑擴(kuò)展的功能，即M發(fā)N收K級延遲的配置，將產(chǎn)生MNK個接收數(shù)據(jù)（一次自由度擴(kuò)展）。以下通過對 RY的變換處理，使得在發(fā)射陣列、接收陣列、以及延遲器為最小冗余配置時，雙基地MIMO雷達(dá)的空時孔徑自由度進(jìn)行再次擴(kuò)展，得到大于 MNK維的虛擬接收數(shù)據(jù)，本文將其稱為時空二次自由度擴(kuò)展。

3.1 時空二次自由度擴(kuò)展

進(jìn)一步，對式（5）進(jìn)行列向量化操作可得其中符號vec（.）和“*”分別表示向量化、共軛運(yùn)算，1=[e1T,e2T, …]T∈R（MNK）2×1, ei∈RMNK×1表示第i（ i = 1 ,… , M NK）個元素為1，其他元素為0的列向量。在對式（6）進(jìn)行數(shù)據(jù)變換之前，首先給出矩陣Khatri-Rao的計(jì)算規(guī)則。

122⊙D1，其中?表示Kronecker積，表示：僅矩陣的第（i, j）元素為1，其余元素項(xiàng)為0。同時矩陣的 Khatri-Rao積滿足交換律 （D1⊙D2） ⊙ （F1⊙F2）=D1⊙ （ D2⊙ F1）⊙ F2。

利用上述性質(zhì) 1，構(gòu)造如下 （M N K ）2×（M N K）2的置換矩陣：

在式（8）的推導(dǎo)過程中，利用了矩陣Khatri-Rao的交換律性質(zhì)。進(jìn)一步，構(gòu)造維數(shù)為（M N K）2×（ M N K）2的置換矩陣：

表1 最小冗余陣列

由式（11）可知，4元最小冗余陣的差分同置結(jié)構(gòu)將獲得位置為{-6:1:6}λ/2的虛擬陣元，并且只有在位置0處有4個冗余，其余位置均不存在冗余現(xiàn)象。由此便實(shí)現(xiàn)了由4個實(shí)體非均勻陣列，擴(kuò)展成為13個虛擬孔徑自由度的目的。

綜上分析可知，為了得到最大的二次孔徑擴(kuò)展自由度，并獲得最小的孔徑冗余自由度，可以對發(fā)射陣列、接收陣列以及延遲器采用最小冗余配置方式（空域和時域均為非均勻采樣）。這樣既可以獲得最大的二次孔徑擴(kuò)展自由度，也節(jié)約了收發(fā)陣列和延遲器配置的硬件成本。

與此同時，從式（11）進(jìn)一步可知，盡管采用了最小冗余陣列配置，使得形成的擴(kuò)展陣列具有最小的冗余度，但在個別陣元位置仍存在冗余。因此，首先應(yīng)通過構(gòu)造去冗余矩陣，對式（10）中的數(shù)據(jù)r進(jìn)行去冗余處理。由于不同的最小冗余陣列配置下，經(jīng)過差分同置結(jié)構(gòu)的孔徑擴(kuò)展后，其冗余項(xiàng)的位置不同。因此，所需構(gòu)造的去冗余矩陣也不相同，但對于某一固定的冗余陣列，可以預(yù)先離線設(shè)計(jì)好去冗余矩陣的結(jié)構(gòu)。下面以式（11）中的結(jié)構(gòu)為例，設(shè)計(jì)如下去冗余矩陣Γ：

將式（11）兩邊左乘去冗余矩陣Γ，可得新的方向矢量：

由式（13）可知，新的方向矢量中不再存有冗余項(xiàng)，它等效為13個均勻?qū)嶊囋獦?gòu)成的方向矢量。上述僅以4個最小冗余陣為例來說明去冗余矩陣的構(gòu)造，不失一般性，對于任意的最小冗余配置，都可以經(jīng)過類似的方法實(shí)現(xiàn)去冗余處理。對式（10）左乘去冗余矩陣（空域和時域去冗余），則新的數(shù)據(jù)向量為

由式（14）可知，通過對協(xié)方差數(shù)據(jù)的一系列變換處理，實(shí)現(xiàn)了空域和時域孔徑的二次自由度擴(kuò)展，使得 MNK維數(shù)據(jù)擴(kuò)展成（2M + 1 ）（2N + 1 ）（2K +1）維數(shù)據(jù)。這里將M發(fā)N收K級延遲所形成的MNK個接收數(shù)據(jù)稱為一次自由度擴(kuò)展（由 MIMO雷達(dá)的自身性質(zhì)完成）。

3.2 數(shù)據(jù)矢量的時空“滑窗”處理

由于經(jīng)過變維處理之后，數(shù)據(jù)r為列矢量，為此，本文基于文獻(xiàn)[15]中多維頻率估計(jì)的方法，對數(shù)據(jù)r進(jìn)行空-時“滑窗”處理，將其轉(zhuǎn)換為類似于協(xié)方差結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)矩陣。令M~= M +1, N~ = N +1,K~ = K + 1 ， 構(gòu) 造 如 下M~N~K~ × （ 2M + 1 ）（2N +1）?（2K+1） 維的選擇矩陣：

式（17）的化簡過程可根據(jù)文獻(xiàn)[15]中的附錄 B推導(dǎo)~得到，在此不再詳述。其中K= C（K~）⊙ B（M~）⊙A（N）為時空擴(kuò)展導(dǎo)向矢量， （? ）（i）表示取矩陣的后i行運(yùn)算。

由式（17）可知，新得到的數(shù)據(jù)R具有與傳統(tǒng)協(xié)方差相同的結(jié)構(gòu)，因此，可以利用現(xiàn)有的多種算法[10-12]進(jìn)行求解。為了方便計(jì)算，以下給出基于ESPRIT的求解方法。對R進(jìn)行特征分解，可得由P個大特征值所對應(yīng)的特征矢量構(gòu)成的信號子空間Es∈，它與時空擴(kuò)展導(dǎo)向矢量K張成相同的子空間，因此，存在可逆矩陣U使得 Es=KU-1。令 Es1和 Es2為 Es的前行，則根據(jù)導(dǎo)向矢量K的結(jié)構(gòu)，有

其中 Φ （ fd） 為多普勒旋轉(zhuǎn)不變因子。由式（18）可知，Us與U均為的特征矢量，兩者之間滿足：

其中Δ為列比例因子矩陣，H為列置換矩陣。由式（19）可知，Us和U之間僅是列的排列順序和比例系數(shù)不同，并不會影響到 Us中行與行之間的比例關(guān)系。因此，可直接根據(jù)K︿= EsUs得到擴(kuò)展導(dǎo)向矢量的估計(jì)值。當(dāng)?shù)玫終︿之后，根據(jù)擴(kuò)展導(dǎo)向矢量的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可進(jìn)一步獲得目標(biāo)的發(fā)射角、接收角及多普勒頻率的估計(jì)值。

由于收發(fā)角度以及多普勒頻率均從同一列導(dǎo)向矢量中估計(jì)得到，因此所得三參量能夠?qū)崿F(xiàn)自動配對，雖然上述滑窗處理，對孔徑自由度有一定的損失，但是由以下分析可以看出，本文算法的總孔徑自由度仍然優(yōu)于傳統(tǒng)的算法。

對比式（5）和式（17）兩個協(xié)方差矩陣可知，M發(fā)N收K級延遲的非均勻配置雙基地MIMO雷達(dá)，利用本文算法可以將其等效為發(fā)收級延遲的均勻配置雙基地 MIMO雷達(dá)，由于,M＞＞ N ,＞ K ，因此，本文算法極大地?cái)U(kuò)展了空域和時域的孔徑自由度。例如：對于4發(fā)4收4級延遲的非均勻配置MIMO雷達(dá)（64維孔徑自由度），最終可擴(kuò)展為7發(fā)7收7級延遲的均勻配置MIMO雷達(dá)（7×7×7=343維孔徑自由度）。與此同時，為了保證參數(shù)唯一可識別性，信號子空間 Es1和 Es2都應(yīng)滿足列滿秩，即P ≤ K （ M + 1 ）（N + 1 ） ，因此，本文算法的最大可識別目標(biāo)數(shù)目為K（ M + 1 ）（N + 1 ），而對于發(fā)射、接收、延遲器采用均勻配置的雙基地MIMO雷達(dá)，其最大可識別目標(biāo)數(shù)為MN（ K- 1 ），因此，本文算法極大地提高了目標(biāo)的最大可識別數(shù)目。

4 實(shí)驗(yàn)仿真和數(shù)據(jù)分析

本節(jié)首先驗(yàn)證所提算法的有效性，并與文獻(xiàn)[11]中的多維 ESPRIT算法、文獻(xiàn)[12]中的四線性分解算法（QALS）的參數(shù)估計(jì)性能進(jìn)行比較。假設(shè)目標(biāo)處于復(fù)高斯白噪聲背景下，其散射系數(shù)服從復(fù)高斯分布，發(fā)射端發(fā)射相互正交的Hadamard編碼信號，且在每個重復(fù)周期內(nèi)的相位編碼個數(shù) 256，分別進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn) 1 算法的有效性驗(yàn)證 考慮 4發(fā) 4收 4級延遲的雙基地MIMO雷達(dá)配置情況，利用本文算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)時，發(fā)射陣列、接收陣列以及多級延遲器均采用最小冗余配置方式，即 { tm}m4

=1=0.5λ [ 0 , 1,4,6], { rn= 0 .5λ [0 , 1,4,6]，延遲器組的各級延時為[0 , 1,4,6] τ。利用多維ESPRIT算法時，收發(fā)陣列采用半波長均勻配置，延遲器采用等均勻延時。假設(shè)存有 3個不相關(guān)目標(biāo)，其位置為：（60°,1 5°,1 0 0 Hz）,（10°,- 4 0°,2 0 00 Hz）,（- 4 0°,- 5°,1300 Hz），脈沖數(shù) Q = 1 00，重復(fù)周期為 T = 1 0-4s。

圖 2（a）和 圖 2（b）分 別 為 本 文 算 法 與 多 維ESPRIT算法下目標(biāo)的定位結(jié)果。實(shí)驗(yàn)時 Monte-Carlo次數(shù)為200, SNR=0 dB。由圖2可知，本文算法能夠?qū)崿F(xiàn)對多目標(biāo)的發(fā)射角、接收角和多普勒頻率的聯(lián)合估計(jì)，且實(shí)現(xiàn)了參數(shù)間的自動配對。比較圖 2（a）和圖 2（b）可知，在 SNR=0 dB 時，本文算法的估計(jì)精度優(yōu)于多維ESPRIT算法。

實(shí)驗(yàn) 2 不同算法間的估計(jì)性能比較 比較本文算法、QALS算法以及多維ESPRIT算法的估計(jì)性能。目標(biāo)的個數(shù)以及位置參數(shù)同實(shí)驗(yàn) 1。當(dāng)利用本文算法進(jìn)行求解時，仿真條件與實(shí)驗(yàn)1相同（空域和時域均采用最小冗余配置 M=N=K=4），當(dāng)利用QALS算法和多維ESPRIT算法時，發(fā)射、接收陣列以及多級延遲器采用均勻配置，且參數(shù)設(shè)置為M=N=K=5。圖 3（a）, 3（b）和 3（c）分別為 3 種不同算法下目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的RMSE隨SNR的變化曲線。

圖2 兩種算法的目標(biāo)定位結(jié)果

圖3 目標(biāo)DOD, DOA及多普勒頻率的RMSE隨SNR變化曲線

由圖3可知，不論在高SNR還是低SNR條件下，本文算法的參數(shù)估計(jì)精度最優(yōu)，QALS算法性能次之，而多維ESPRIT的3個參數(shù)估計(jì)性能均差于上述兩種算法。這主要是由于：雖然在設(shè)置仿真條件時，本文算法所用到的實(shí)體陣元數(shù)和延遲級數(shù)少于QALS算法和多維ESPRIT算法，但由于空域和時域孔徑的二次虛擬擴(kuò)展，使得虛擬擴(kuò)展后的總孔徑維數(shù)為M~ × N~ × K~ =7 × 7×7 =343，而QALS算法和多維 ESPRIT算法擴(kuò)展的虛擬孔徑數(shù)為M×N×K=5 × 5 × 5 =255，因此，經(jīng)過二次虛擬孔徑擴(kuò)展，使得本文算法所能利用的孔徑自由度大于QALS算法和多維ESPRIT算法，因此，本文算法均有最高的估計(jì)精度。與此同時，由于多維ESPRIT算法存在一定的陣元孔徑損失，而QALS算法利用了全部的輸出信息，且經(jīng)過每次迭代都有精確的最小二乘閉式解，因此QALS算法的估計(jì)性能優(yōu)于多維ESPRIT算法。

5 結(jié)論

針對發(fā)射、接收陣列和多級延遲器皆為非均勻配置的MIMO雷達(dá)，本文提出了基于空域和時域二次自由度擴(kuò)展的 ESPRIT新算法。首先利用矩陣Khatri-Rao積的性質(zhì)，對接收數(shù)據(jù)進(jìn)行行置換和去冗余運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)了最小冗余配置下空域和時域孔徑自由度的二次擴(kuò)展，然后將數(shù)據(jù)進(jìn)行矩陣換維操作，利用ESPRIT算法分別估計(jì)出目標(biāo)的收發(fā)角及多普勒頻率，并實(shí)現(xiàn)了各參數(shù)的自動配對。理論和仿真實(shí)驗(yàn)表明：通過時空虛擬孔徑的二次自由度擴(kuò)展，能夠?qū)⒎蔷鶆蚺渲藐嚵械刃槭瞻l(fā)陣元數(shù)及延遲級數(shù)均大于實(shí)體數(shù)目下的均勻配置形式，極大地?cái)U(kuò)展了空域和時域的孔徑自由度。在同等實(shí)體陣元和延遲級數(shù)情況下，本文算法的估計(jì)精度優(yōu)于四線性分解算法和多維ESPRIT算法，較傳統(tǒng)雙基地MIMO雷達(dá)，本文算法能夠識別出更多的目標(biāo)。此外，通過最小冗余配置，減少了陣列中的冗余信息，極大地降低了陣列和延遲器的配置需求，更利于實(shí)際工程應(yīng)用。

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