基于FFT的微弱GPS信號(hào)頻率精細(xì)估計(jì)

張洪倫 巴曉輝 陳 杰 周 航

1 引言

GPS接收機(jī)信號(hào)處理流程包括信號(hào)的捕獲、跟蹤和解算，為了盡快捕獲到信號(hào)，頻率搜索步長(zhǎng)通常設(shè)置得比較大，捕獲得到的頻率誤差在幾十到幾百赫茲，通常需要FLL（Frequency-Locked Loop）將頻率牽引至一定范圍后，再交給PLL（Phase-Locked Loop）進(jìn)行跟蹤。在弱信號(hào)情況下，環(huán)路等效噪聲帶寬設(shè)置比較小，使得環(huán)路鎖定時(shí)間延長(zhǎng)甚至無法正確牽引，影響接收機(jī)的TTFF（Time To First Fix）。同時(shí)，近年來高靈敏度GPS接收機(jī)設(shè)計(jì)[13]-受到廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)[4,5]中提到了高靈敏度捕獲方案，其中文獻(xiàn)[4]能夠捕獲到20 dBHz的衛(wèi)星信號(hào)，這樣低的信號(hào)想要快速正確地轉(zhuǎn)入跟蹤狀態(tài)，首先要取決于頻率牽引能否成功。

已經(jīng)有一些文獻(xiàn)提出了針對(duì)頻率精細(xì)估計(jì)的解決方案，文獻(xiàn)[6,7]提到了基于相位測(cè)量的方法，文獻(xiàn)[8]提出一種基于多項(xiàng)式擬合的方式，文獻(xiàn)[9]提出用切比雪夫線性最小二乘曲線擬合法得到多普勒頻移的精細(xì)化估計(jì)值，但是這些方法只適用于較強(qiáng)信號(hào)下的頻率估計(jì)。文獻(xiàn)[10-12]用線性調(diào)頻 Z變換（CZT）對(duì)頻率進(jìn)行局部精細(xì)估計(jì)，提高了局部頻率分辨率，但如果不克服比特跳變影響，也不適用于弱信號(hào)下頻率估計(jì)。文獻(xiàn)[6]在弱信號(hào)下用相干累加的同相分量作平方運(yùn)算消除調(diào)制數(shù)據(jù)的影響，再作FFT運(yùn)算，在理論上估計(jì)出的只是頻率偏移的絕對(duì)值，并且忽略了正交分量的作用，性能無法達(dá)到最佳，而文獻(xiàn)[13]中給出的基于FFT頻率精細(xì)估計(jì)方法，充分利用相干累加能量值，對(duì)弱信號(hào)頻率能夠進(jìn)行有效的牽引，文獻(xiàn)[14]也提到這種方法，但是這兩篇文章都沒有對(duì)算法進(jìn)行深入分析，并且只考慮了20 ms相干累加的情況，牽引范圍只有[-12.5 Hz,12.5 Hz]。本文基于文獻(xiàn)[13]，給出3種基于FFT的微弱GPS信號(hào)頻率精細(xì)估計(jì)的建模方法，并且對(duì)這3種方法的性能進(jìn)行分析對(duì)比。

文章由以下幾部分構(gòu)成，第1節(jié)為引言；第 2節(jié)為FFT頻率估計(jì)原理；第3節(jié)為噪聲性能分析；第4節(jié)為計(jì)算復(fù)雜度分析；第5節(jié)為實(shí)驗(yàn)結(jié)果；第6節(jié)對(duì)全文進(jìn)行總結(jié)。

2 FFT頻率估計(jì)原理

接收到的衛(wèi)星信號(hào)可以表示為

P為接收的信號(hào)功率，D（ t）為導(dǎo)航數(shù)據(jù)，c（ t）為C/A碼，fc為信號(hào)載波頻率，n（ t）為高斯白噪聲。

以fL表示捕獲階段得到的載波頻率估計(jì)，cL（t）為本地產(chǎn)生的C/A碼，且認(rèn)為碼相位與接收信號(hào)對(duì)齊，相干累加時(shí)間為 Tb，假設(shè) Tb時(shí)間內(nèi)沒有比特反轉(zhuǎn)， Ts為采樣間隔， L = Tb/Ts，經(jīng)過載波剝離和碼剝離后，第k次相干累加結(jié)果為

其 中 Δ f = fc- fL, φ =π（fc- fL） （L - 1）Ts+φ,D（ k）表示第k次相干累加時(shí)的調(diào)制數(shù)據(jù)，NIk和 NQk是均值為零，方差為 σ2，并且相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量。

從式（2）中得到，相干累加結(jié)果中還有調(diào)制的數(shù)據(jù)信息，并且每個(gè)比特周期為 20 ms，因此無法對(duì)式（2）的結(jié)果直接進(jìn)行FFT運(yùn)算獲得頻率偏移Δf的估計(jì)值。在現(xiàn)代化的GNSS信號(hào)中，為了獲得更好的性能，一般都增加了導(dǎo)頻通道，雖然導(dǎo)頻通道沒有調(diào)制數(shù)據(jù)信息，但是調(diào)制了二次碼，二次碼在頻率牽引時(shí)還沒有對(duì)齊，產(chǎn)生與數(shù)據(jù)信息相同的影響。

為了解決這個(gè)問題，需要對(duì)式（2）的結(jié)果進(jìn)行處理，消除比特反轉(zhuǎn)帶來的影響，從而可以利用更長(zhǎng)的數(shù)據(jù)進(jìn)行FFT運(yùn)算，以適應(yīng)弱信號(hào)下頻率估計(jì)。下面通過變量構(gòu)造方法，消除比特反轉(zhuǎn)影響，使得到的變量適用于FFT頻率估計(jì)。

算法1 平方法構(gòu)造變量

構(gòu)造的新變量已經(jīng)沒有比特信息影響，頻率和相位變?yōu)樵瓉淼膬杀?，噪聲?xiàng)為

算法2 差分法構(gòu)造變量

構(gòu)造的新變量中，還存在比特信息，后面將會(huì)對(duì)這個(gè)問題進(jìn)行分析，噪聲項(xiàng)為

算法 3 在比特邊沿已知的情況下，每一個(gè)比特周期內(nèi)構(gòu)造一個(gè)變量，利用前10 ms相干累加和后10 ms相干累加，差分法構(gòu)造變量

這種構(gòu)造方法與算法2相同，但是比特信息影響被消除，代價(jià)是每20 ms的數(shù)據(jù)只利用了10 ms的能量，噪聲項(xiàng)如算法2。

以算法1構(gòu)造的變量 Xk為例，對(duì)FFT頻率估計(jì)方法進(jìn)行說明，分析過程忽略噪聲影響。首先對(duì)Xk作N點(diǎn)FFT運(yùn)算，并取模得

使（）f n幅值最大的n對(duì)應(yīng)的譜線作為估計(jì)頻率值，即

頻率分辨率為 1 /2TbN，頻率覆蓋范圍 - 1/4TbHz至 1 /4TbHz，由此得出，在FFT點(diǎn)數(shù)不變的情況下相干累加時(shí)間越長(zhǎng)，頻率分辨率越高，但是頻率覆蓋范圍變小，在20 ms相干累加時(shí)頻率覆蓋范圍僅為[-12.5 Hz, 12.5 Hz]。因此即使導(dǎo)頻通道中不考慮二次碼的影響，出于對(duì)頻率覆蓋范圍的要求，也不可以任意增加相干累加時(shí)間長(zhǎng)度，并且當(dāng)載體相對(duì)衛(wèi)星具有較大動(dòng)態(tài)時(shí)，長(zhǎng)時(shí)間相干累加會(huì)導(dǎo)致頻譜擴(kuò)展，計(jì)算出的峰值下降，使得發(fā)現(xiàn)概率減小。

不考慮比特信息的影響，算法2和算法3構(gòu)造的變量，頻率估計(jì)方法與分析方法相同。

3 噪聲性能分析

通過變量構(gòu)造，雖然消除了比特反轉(zhuǎn)的影響，但是引入了更多的噪聲項(xiàng)，不過構(gòu)造的新變量，不受調(diào)制數(shù)據(jù)的影響，可以使用更長(zhǎng)的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度，以提高檢測(cè)弱信號(hào)的能力。下面對(duì)構(gòu)造變量的噪聲性能進(jìn)行分析。由于 NIk, NIk-1,NQk和NQk-1是均值為零、方差為 σ2，并且相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，因此得到噪聲項(xiàng)均值為 0。噪聲方差的計(jì)算中用到一個(gè)結(jié)論，即若ξ1, ξ2, ξ3, ξ4是四元聯(lián)合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，且均值都為0，則有

經(jīng)過計(jì)算得到噪聲方差為

在不考慮比特反轉(zhuǎn)的情況下，并且相干累加時(shí)間相同，kX與kY的信號(hào)幅值相同，噪聲對(duì)kY影響明顯小于kX，理論上算法2具有更好的性能。

差分法構(gòu)造變量的方法，由于前后兩個(gè)相干結(jié)果的噪聲項(xiàng)不相關(guān)，因此受到噪聲影響要比平方法小，但是比特反轉(zhuǎn)對(duì)算法2的影響相對(duì)算法1更嚴(yán)重。比特反轉(zhuǎn)位置與相干累加時(shí)間段有兩種關(guān)系，一種是相干累加沒有跨越比特邊界，另一種是相干累加時(shí)間跨越比特邊界，以2 ms相干累加為例，分別如圖1（a）和圖1（b）所示，下面針對(duì)這兩種情況分別進(jìn)行討論，分析這兩種情況對(duì)算法1和算法2的影響。

圖1 相干累加時(shí)間與比特反轉(zhuǎn)關(guān)系示意圖

（1）如圖 1（a）所示，當(dāng)所有相干累加時(shí)間段內(nèi)不存在比特反轉(zhuǎn)時(shí)，比特反轉(zhuǎn)對(duì)算法1沒有影響，而算法2構(gòu)造的變量Yk在比特跳變處引入一個(gè)負(fù)號(hào)?？紤]最壞情況，即每個(gè)比特邊沿都有跳變，假設(shè)第n條線譜對(duì)應(yīng)正確頻率點(diǎn)，r為20 ms內(nèi)相干累加次數(shù)，當(dāng)2 ms相干累加時(shí)r等于10，則每r個(gè)相干累加結(jié)果中就會(huì)引入一個(gè)負(fù)號(hào)，則FFT運(yùn)算峰值結(jié)果為

從式（16）得到，由于比特反轉(zhuǎn)造成算法 2信號(hào)能量利用率并沒有達(dá)到100%，對(duì)FFT峰值有貢獻(xiàn)的能量?jī)H為全部信號(hào)能量的（ 2）/r r- 。1 ms相干累加時(shí)，能量利用率為90%，而4 ms相干累加能量利用率為60%。

（2）如圖1（b）所示，當(dāng)有相干累加時(shí)間段跨越比特邊界時(shí)，對(duì)算法1和算法2都會(huì)造成影響，在比特邊界處構(gòu)造的kX和kY會(huì)產(chǎn)生新的頻率成分。對(duì)于Xk在20 ms內(nèi)只會(huì)影響1個(gè)構(gòu)造變量，對(duì)于 Yk則會(huì)影響連續(xù)的兩個(gè)構(gòu)造變量，受到影響的構(gòu)造變量對(duì)FFT峰值不但沒有貢獻(xiàn)，還將產(chǎn)生不利影響。此時(shí)算法 1能量利用率為（r - 1 ）/r，算法 2還是（r - 2 ）/r。

由上面分析得出，算法1和算法2通過增加相干累加時(shí)間，可以提高性能，但是隨著相干累加時(shí)間增加，由于比特邊沿未知，能量利用率也隨之下降，與增加相干累加時(shí)間產(chǎn)生相反的作用，并且增加相干累加時(shí)間，能夠估計(jì)的頻率范圍減小。同時(shí)，幅值A(chǔ)隨著頻率偏移增大而減小，如果估計(jì)的頻率剛好在兩條譜線之間，也會(huì)造成頻率泄漏，這些都對(duì)估計(jì)性能產(chǎn)生影響。

4 計(jì)算復(fù)雜度分析

各種頻率估計(jì)方法，一般都是對(duì)相干累加結(jié)果進(jìn)行處理，因此不考慮相干累加之前的各種運(yùn)算。平方法和差分法構(gòu)造變量都需要N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，F(xiàn)FT 運(yùn)算需要 N l og2N次復(fù)數(shù)加法和（N / 2）log2N次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算，因此這兩種構(gòu)造變量方法用于FFT頻率估計(jì)時(shí)運(yùn)算量相同，平均對(duì)每一個(gè)相干累加結(jié)果進(jìn)行處理的計(jì)算量為 lo g2N次復(fù)數(shù)加法和 1 + （log2N ）/2次復(fù)數(shù)乘法，表1列出N取1024, 2 ms相干累加與N取64, 20 ms相干累加的平均計(jì)算量，其中已將復(fù)數(shù)運(yùn)算換算為實(shí)數(shù)運(yùn)算。而傳統(tǒng)的基于FLL的頻率估計(jì)（牽引）方法，需要對(duì)每次相干累加結(jié)果進(jìn)行鑒頻和環(huán)路濾波，涉及到除法、反三角函數(shù)等運(yùn)算，相位鑒別器輸入為相干累加正交與同相分量比值，需要 1次除法，文獻(xiàn)[15]給出一種快速除法算法，進(jìn)行 3次迭代誤差小于0.002，需要3次加法和6次乘法，文獻(xiàn)[16]給出一種反正切函數(shù)實(shí)現(xiàn)方法，若逼近多項(xiàng)式取到五階，則需要5次加法和9次乘法，計(jì)算頻率差值需要2次加法和1次乘法，文獻(xiàn)[17]給出的二階環(huán)路濾波器需要3次加法和2次乘法，因此FLL的頻率估計(jì)總運(yùn)算量為13次加法和18次乘法。通過表1對(duì)比，可以得出本文給出的基于 FFT頻率估計(jì)方法的運(yùn)算量與傳統(tǒng)方法相當(dāng)。

表 1 FFT頻率估計(jì)與FLL頻率估計(jì)平均運(yùn)算量對(duì)比

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為了驗(yàn)證前面方法的可行性，排除其它因素對(duì)FFT頻率估計(jì)的影響，并且能夠方便進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，產(chǎn)生的采樣信號(hào)中頻載波頻率設(shè)定為1.25 MHz，采樣率為5 MHz，采樣點(diǎn)用浮點(diǎn)表示（沒有量化），碼相位已經(jīng)對(duì)齊，各個(gè)實(shí)驗(yàn)所用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度相同為1.28 s，當(dāng)估計(jì)的頻率值與實(shí)際頻率偏差小于1.5 Hz時(shí)即認(rèn)為頻率估計(jì)正確。為了驗(yàn)證產(chǎn)生的中頻率數(shù)據(jù)是正確的，將中頻采樣數(shù)據(jù)利用窄帶-寬帶方法[18]進(jìn)行載噪比估計(jì)，所產(chǎn)生數(shù)據(jù)的信號(hào)強(qiáng)度與估計(jì)結(jié)果非常吻合。實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生的中頻數(shù)據(jù)如果存在調(diào)制信息時(shí)，考慮最壞情況，即每個(gè)比特都存在反轉(zhuǎn)。

5.1 1 ms相干累加

設(shè)置頻率偏移為 50 Hz，考慮沒有數(shù)據(jù)調(diào)制和有數(shù)據(jù)調(diào)制兩種情況，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。沒有數(shù)據(jù)調(diào)制時(shí)，算法2在22 dBHz時(shí)頻率正確估計(jì)概率在95%以上，比算法1高出1 dB，即使有調(diào)制數(shù)據(jù)，在最壞情況下，算法2依然好于算法1。1 ms相干累加，在有數(shù)據(jù)調(diào)制時(shí)，算法 1能量利用率100%，而算法2存在能量損失，但是其受噪聲影響相對(duì)較小，即使10%的能量沒有利用其性能依然比算法1高出1 dB。

5.2 2 ms相干累加

設(shè)置頻率偏移為50 Hz，在調(diào)制數(shù)據(jù)后，2 ms相干累加，比特反轉(zhuǎn)會(huì)產(chǎn)生兩種影響，實(shí)驗(yàn)中考慮了所有情況。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示，圖中沒有特別說明的認(rèn)為一次相干累加時(shí)間內(nèi)不存在比特反轉(zhuǎn)，在相干累加時(shí)間內(nèi)存在比特反轉(zhuǎn)的，用偏移量來標(biāo)

圖2 1 ms相干累加時(shí)頻率估計(jì)性能

記，例如圖1（b）所示2 ms相干累加時(shí)，在第1 ms處出現(xiàn)比特反轉(zhuǎn)，記1 ms偏移。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，兩種算法在沒有數(shù)據(jù)調(diào)制情況下，算法2比算法1性能高出約2 dB，在有數(shù)據(jù)調(diào)制時(shí)，算法2性能有所下降，但是在21 dBHz時(shí)頻率估計(jì)正確概率仍高于95%，比算法1高約1 dB。

5.3 4 ms相干累加

頻率偏移設(shè)置為25 Hz，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。在不考慮數(shù)據(jù)調(diào)制時(shí)，算法2的性能在19 dBHz時(shí)能夠達(dá)到95%以上的發(fā)現(xiàn)概率，但是由于比特反轉(zhuǎn)，最壞情況下造成40%的能量損失，使得其性能開始低于算法1。算法1在21 dBHz時(shí)，最壞情況下的發(fā)現(xiàn)概率能夠達(dá)到90%以上。

5.4 20 ms相干累加

在數(shù)據(jù)比特邊沿已知的情況下，可以實(shí)現(xiàn)20 ms相干累加，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示，頻率偏移為10 Hz時(shí)，算法1和算法3在19 dBHz時(shí)發(fā)現(xiàn)概率在95%以上，頻率偏移為5 Hz時(shí)，算法1在17 dBHz時(shí)仍然能夠達(dá)到90%以上的發(fā)現(xiàn)概率。算法3構(gòu)造變量的方法，在消除了比特邊沿的同時(shí)，犧牲了一半的能量，因此性能相比算法1差一些。在5 Hz頻率偏移的情況下，算法1發(fā)現(xiàn)概率比10 Hz頻率偏移時(shí)高出1 dB，原因在于幅值A(chǔ)受到頻率偏移的影響，頻率偏移越大，幅值A(chǔ)越小，從噪聲中檢測(cè)出信號(hào)的概率越低。

通過前面的分析，結(jié)合實(shí)驗(yàn)結(jié)果，得到如下結(jié)論：

（1）在1 ms, 2 ms相干累加時(shí)，算法2比算法1性能高出1 dB, 1 ms相干累加時(shí)算法2在22 dBHz時(shí)發(fā)現(xiàn)概率能夠超過 95%, 2 ms相干累加時(shí)在 21 dBHz時(shí)發(fā)現(xiàn)概率超過95%；

（2）4 ms相干累加時(shí)，算法1性能開始超過算法2，算法1在21 dBHz時(shí)發(fā)現(xiàn)概率在90%以上；

（3）20 ms相干累加時(shí)，算法 1與算法 3在 19 dBHz時(shí)，發(fā)現(xiàn)概率均超過95%。

圖 3 2 ms相干累加時(shí)頻率估計(jì)性能

圖 4 4 ms相干累加時(shí)頻率估計(jì)性能

圖 5 20 ms相干累加時(shí)頻率估計(jì)性能

由此得到，當(dāng)要估計(jì)的頻率偏差比較大時(shí)，可以使用算法2, 2 ms相干進(jìn)行頻率估計(jì)，當(dāng)要估計(jì)的頻率范圍比較小時(shí)，并且信號(hào)非常弱，用算法 1，20 ms相干累加。實(shí)驗(yàn)中所用的數(shù)據(jù)長(zhǎng)度是固定的，在實(shí)際應(yīng)用中，可以通過增加數(shù)據(jù)長(zhǎng)度的方式提高頻率估計(jì)性能。實(shí)驗(yàn)中考慮比特反轉(zhuǎn)時(shí)，假設(shè)比特反轉(zhuǎn)每次都發(fā)生，實(shí)際中能量利用率要高于實(shí)驗(yàn)中的情況，因此得到的FFT峰值比實(shí)驗(yàn)中要高。

在沒有比特邊沿先驗(yàn)信息的情況下，又想得到比較高的性能時(shí)，需要20 ms相干累加，并且利用更長(zhǎng)的數(shù)據(jù)，這時(shí)可以對(duì)20個(gè)可能的比特邊界逐個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，運(yùn)用算法1或者算法3進(jìn)行FFT運(yùn)算，得到20個(gè)峰值，取最大峰值對(duì)應(yīng)的估計(jì)頻率作為最終結(jié)果。

本文給出的3種方法，能夠在GPS信號(hào)強(qiáng)度較弱的情況下，根據(jù)不同情況和需求，經(jīng)過一次FFT運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)較大范圍的頻率估計(jì)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)傳統(tǒng) GPS接收機(jī)弱信號(hào)下頻率牽引速度慢、成功率低等問題，給出 3種基于 FFT的GPS微弱信號(hào)頻率精細(xì)估計(jì)的方法。算法經(jīng)過了理論推導(dǎo)、噪聲和性能分析，并且通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果表明本文給出的方法在沒有比特邊沿先驗(yàn)信息情況下，2 ms相干累加時(shí)差分法比平方法性能更好，前者能夠?qū)崿F(xiàn)21 dBHz信號(hào)強(qiáng)度下的頻率估計(jì)，在有比特邊沿先驗(yàn)信息情況下，差分法比平方法性能稍差，兩種方法在信號(hào)強(qiáng)度低至19 dBHz時(shí)，頻率估計(jì)正確率都能達(dá)到95%以上。

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