陣列通道不一致性誤差快速有源校正算法

張 柯 程菊明 付 進

1 引言

在測向系統(tǒng)中，生產(chǎn)工藝、安裝誤差以及平臺擾動等使傳感器陣列產(chǎn)生幅相誤差、陣元位置誤差以及互耦現(xiàn)象，這將導致實際的陣列導向矢量與理想的陣列導向矢量有所不同。在這種情況下，常規(guī)的高分辨波達方向（Direction Of Arrival, DOA）估計技術(shù)，諸如最小方差無畸變響應(yīng)（Minimum Variance Distortionless Response, MVDR[1]） ，多重信號分類（MUltiple SIgnal Classification, MUSIC[2]），旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT[3]）和最大似然（Maximum Likelihood, ML[4]）等算法的測向性能將嚴重下降甚至失效。因此，在使用傳感器陣列進行 DOA估計之前，陣列誤差的校正工作是不可或缺的。

在陣列誤差校正領(lǐng)域，眾多國內(nèi)外學者對陣列通道不一致所引起的幅相誤差校正問題進行了深入的研究[511]-。文獻[5]分析了通道幅相誤差對MUSIC算法空域譜及分辨性能的影響，推導了存在幅相誤差時 MUSIC算法空域譜的一階統(tǒng)計表達式，揭示了幅相誤差對 MUSIC算法空域譜影響的機理。文獻[6]提出了一種基于獨立成分分析法（Independent Component Analysis, ICA）的幅相誤差盲校正算法，該算法需要較大的計算量且要求入射信源為非高斯信號。文獻[7]利用陣列協(xié)方差矩陣同一對角線元素之間的幅相關(guān)系，提出了一種優(yōu)化的幅相誤差自校正算法，但該算法僅適用于線性陣列。文獻[8]利用陣列輸出矩陣及其共軛矩陣的Hadamard積構(gòu)成新的協(xié)方差矩陣，并對其進行特征分解從而實現(xiàn)了幅相誤差和DOA的聯(lián)合估計，該算法無需迭代，避免了參數(shù)估計的局部收斂。與文獻[8]原理相同，文獻[9]利用陣列輸出協(xié)方差矩陣及其共軛的Hadamard積構(gòu)造新的協(xié)方差矩陣，然后由特征分解得到陣列幅相參數(shù)的估計值。與文獻[7]相比，該方法擁有更高的陣列幅相參數(shù)估計精度，卻需要更大的運算量。以上兩種方法具有相同的應(yīng)用條件：信源數(shù)目需大于2且不適用于線性陣列。上述幾種算法都屬于自校正算法，它們都需要較大的計算量和嚴格的限制條件，在實際工程應(yīng)用中，有源校正算法由于計算量小、適用條件廣仍然是最有效的校正手段。文獻[10]提出了一種基于特征分解的實用的有源校正算法，該方法具有較高的陣列幅相參數(shù)估計精度，且在外場試驗中得到了驗證，但該方法需要較多的校正源且校正過程較為復雜。文獻[11]提出了一個命名為傳統(tǒng)數(shù)據(jù)模型估計算法（Estimation Algorithm for the Conventional Data Model,EACDM）的幅相誤差有源校正算法。與其它有源校正算法相同，該算法也只利用了校正源的方位信息，在保證高精度參數(shù)估計性能的同時減小了計算量，但是由推導過程可以看出，該算法受信噪比和增益誤差的影響很大，在信噪比較低或增益誤差較大時，該算法的幅相參數(shù)估計性能將嚴重下降。

考慮有源校正為人工設(shè)置的信號源，可同時獲得校正源的方位信息和波形信息，本文結(jié)合多級維納濾波器[1214]-（MSWF），提出一種簡化的陣列幅相誤差快速校正的算法（SMSWF），與 EACDM 算法相比，SMSWF算法擁有更高的參數(shù)估計精度且計算量更小，其參數(shù)估計性能與特征分解法[15]基本相當。計算機仿真表明，單個已知信號波形的信號源入射到陣列時，SMSWF算法與特征值分解法有著相同的信號子空間估計能力。

2 陣列輸出模型

假設(shè)M個標量傳感器以間距d排列成線形陣列，放置于各向同性的噪聲環(huán)境中，在以陣列軸線的法線為參考的 θk（k = 1 ,2,… ,K） 方向有K個波長為λ的遠場窄帶平面波入射。假設(shè)陣列的位置誤差及互耦現(xiàn)象已被校正，即陣列只存在幅相誤差，則陣列的輸出模型為

式中， X （t） = [x1（ t） ,x2（t） ,…,xM（t ）]T為M×1維觀測的數(shù)據(jù)向量， S （t） = [s1（ t） ,s2（t） ,…,sK（t ）]T為零均值復高斯信號向量， N （t） = [n1（ t） ,n2（t） ,…,nM（t ）]T為M× 1 維零均值高斯白噪聲向量。 A（ θ ）= [a （θ1）,a（θ2） , …,a （θK）]為理想的陣列流型導向矢量，其中a（θi）=[1,e-jωi, e-j2ωi, …,e-j（M-1）ωi]T, ωi =2π d sin（θi）/λ，定義Γ為包含幅相信息的M×M維對角矩陣：

式中，gi和φi（i = 1 ,2,…, M ）分別表示第i個陣元的增益和相位。本文中，信號與噪聲相互獨立。

3 MSWF簡介及SMSWF算法的提出

3.1 MSWF快速求解信號子空間

多級維納濾波器[11]是一種有效的降維濾波技術(shù)，其在最小均方誤差的意義下得到維納霍夫方程的漸近最優(yōu)解而無需協(xié)方差矩陣的求逆。由式（1）可得陣列輸出的協(xié)方差矩陣為：

而 Wiener-Hoof方程 R Wwf=rxd的漸進最優(yōu)解為=，其中r為觀測數(shù)據(jù)X （t ）與期望信號xdd0（t） 的互相關(guān)矢量：

式中，d0（t）為MSWF算法中的期望信號。MSWF的遞推過程等價于在Krylov子空間 κm（R, r ）求解

xxdWiener-Hopf方程，經(jīng)M級遞推得到的各級匹配濾波器構(gòu)成了M維 Krylov子空間 κm（R, r ）的一組xxd標準基?；谙嚓P(guān)相減的MSWF是一種有效的多級維納濾波結(jié)構(gòu)，其迭代過程為

步驟1 初始化d0（t） 和y0（t） ；

步驟2 前向遞推：令 i = 1 ,2,… , M ；

式中，d0（t ） 為訓練信號或參考信號，y0（t） 為陣列輸出，這種結(jié)構(gòu)的 MSWF每級的運算量僅為O（ M N ）（其中M為濾波器長度，N為快拍數(shù)）。多級維納濾波器已經(jīng)被應(yīng)用于實際的工程中[16]，文獻[17]把多級維納濾波器運用到陣列測向技術(shù)中，并證明：在給定某一期望信號的條件下，通過多級維納濾波器可得到信號子空間和噪聲子空間：

式中， h1,h2,… ,hM為維納濾波器的各級匹配濾波器。

3.2 SMSWF算法的提出

在陣列的遠場處放置一個窄帶校正源s（）tS，其相對于陣列的方位是sθ，則陣列導向矢量為

式中， ω = 2π d sin（θs）/λ ，陣列的輸出為

式中，

若同時獲得校正源的方位及波形信息，取期望信號 d0（ t） = Ss（t） ，y0（t） = X （t ） ，則多級維納濾波器的迭代過程可化簡為

由式（5）知，

為進一步探究h和s（）θA之間的關(guān)系，對式（9）進行推導：

由式（8）、式（9）、式（11）和式（12）可得

式（13）表明，h和A（θs）成正比，且比例系數(shù)是一個與陣元數(shù)目及陣元增益有關(guān)的量。

設(shè)h為h歸一化后的值，則由式（13）可得第i（i = 1,2,… ,M ）個陣元Γi的估計值：

其中hi和ai（θs）分別為向量h和a（θs）中的第i個元素，由式（14）可得增益和相位的估計值為：

其中，i = 1 ,2,… , M 。運用得到的幅相誤差估計值即可對陣列進行校正。

式（11）中，由于信號與噪聲相互獨立，可得到E[N （t（t） ]=0, 0為M×1維零矩陣，在實M×1M×1際情況中，由于快拍數(shù)有限，信號與噪聲不可能絕對獨立，故 E [N （t） SsH（t ）]是一個接近于0M×1的值，并且隨著信噪比的增大和快拍數(shù)的增加趨于0M×1，故SMSWF算法的性能依舊會受到信噪比和快拍數(shù)的影響。由式（9）可以看出，SMSWF算法無需計算陣列協(xié)方差矩陣及進行特征分解運算，計算量僅為O（ M N ），而EACDM算法和特征分解法的計算量分別為 O （3M N） 和 O （ M2N + 4 M3/3）[11]，故 SMSWF算法對硬件的要求更低，更易于工程實現(xiàn)。另外，類似于特征分解法，SMSWF算法也可使用3個不同時出現(xiàn)的校正源（disjoint）對陣列的幅相誤差和陣元位置誤差進行聯(lián)合校正。相比于EACDM算法和特征分解法只利用校正源的空域信息，SMSWF算法同時利用了校正源的空域信息和時域信息，這使得SMSWF算法計算量大為減小，同時擁有良好的參數(shù)估計性能。

4 計算機仿真

在以下仿真實驗中，假設(shè)1個標量陣列沿x軸以/2dλ=等間距布放，陣元個數(shù)為8，校正源的中心頻率為2000 Hz，帶寬為40 Hz的窄帶高斯信號，方位為30°，設(shè)第1個陣元為參考陣元，其增益和相位分別為g1=1和φ1=0，陣列增益誤差為20%（相對于單位增益），即 gi（ i= 2 ,3,… , 8 ）服從（0.8,1.2）內(nèi)的隨機分布，相位 φi（i= 2,3,… ,8） 服從（-1,1）rad內(nèi)的隨機分布。

在表1和表2中，信噪比為20 dB，快拍數(shù)為200，3種算法的陣列增益和相位估計結(jié)果與真實值如表中所示，從表中可以看出，SMSWF算法與特征值分解法有著相似甚至相同的估計偏差，而EACDM算法的估計誤差較大。

假設(shè)3個相互獨立的等功率遠場窄帶信號入射到陣列，入射角度分別為15°, 20°和60°，信噪比為20 dB，快拍數(shù)為200，對未校正和運用3種算法校正后的陣列使用 MUSIC算法做空間譜估計，結(jié)果如圖1所示。從圖中可以看出，未校正時，MUSIC算法性能很差，不能分辨出兩個角度相近的信號，

表1 增益的真實值和估計值

表2 相位的真實值和估計值（rad）

圖1 校正前后的空間譜估計

且方位估計值存在較大的偏差。使用SMSWF算法和特征分解法校正后的 MUSIC空間譜幾乎完全相同，優(yōu)于 EACDM 算法。圖 1（b）是圖 1（a）中 G 處的放大圖，由圖中可以看出，使用SMSWF算法和特征分解法校正后，MUSIC算法能夠準確的估計出信號的方位，而運用 EACDM算法校正后的方位估計結(jié)果存在0.1°的偏差。為比較 3種算法的幅相參數(shù)估計性能，定義增益和相位估計值的均方根誤差分別為

圖2 幅相參數(shù)估計的均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線

圖2 表示不同信噪比條件下增益和相位參數(shù)估計的均方根誤差隨快拍數(shù)的變化曲線圖，其中，橫軸為快拍數(shù)，從20，間隔30，變化到320。從圖中可以看出，SMSWF算法與特征分解法的幅相估計的均方根誤差曲線幾乎重疊在一起，而EACDM算法與SMSWF算法與特征分解法相比，其幅相參數(shù)估計的均方根誤差較大，且信噪比越低，它們之間的差值就越大。這表明SMSWF算法與特征分解法擁有幾乎相同的幅相參數(shù)估計能，遠優(yōu)于EACDM算法。

為了評價SMSWF算法和特征分解法獲取信號子空間與理想的噪聲子空間的正交性，定義兩種算法的子空間正交系數(shù)如式（19）和式（20）所示。式中，Us和Vn分別為實際協(xié)方差矩陣和理想?yún)f(xié)方差矩陣特征值分解后得到的信號子空間和噪聲子空間。其中理想?yún)f(xié)方差矩陣為無噪聲時的陣列協(xié)方差矩陣，理想的子空間正交系數(shù)為 ηideal= 0 ，子空間正交系數(shù)的均方根誤差定義為

圖3分別為子空間正交系數(shù)均方根誤差隨快拍數(shù)和信噪比的變化曲線圖，Monte Carlo次數(shù)為100，圖 3（b）中，快拍數(shù)為 200。從圖中可以看出，SMSWF算法與特征分解法子空間正交系數(shù)的均方根誤差隨信噪比和快拍數(shù)的增加而減小，在相同的信噪比和快拍數(shù)的情況下，SMSWF算法與特征值分解法的子空間正交系數(shù)均方根誤差基本相同，這表明SMSWF算法獲取的信號子空間等價于特征分解法得到的信號子空間，故兩種算法對幅相參數(shù)的估計性能基本相同。上述仿真結(jié)果表明，若校正源波形已知，單源或分時工作信源陣列誤差校正的特征分解過程均可由SMSWF算法替代。

5 消聲水池試驗

2013年 12月，在哈爾濱工程大學消聲水池使用6元聲壓均勻線陣進行了幅相誤差校正試驗。使用丹麥BK公司生產(chǎn)的8103型標準聲壓水聽器組成聲壓陣，陣元間距為0.075 m，聲壓陣與聲源均處于水下2 m，聲源是頻率為10 kHz的單頻信號，采樣頻率為51.2 kHz，聲源與陣中心相距約11 m。陣列校正過程如下：設(shè)定校正源的方位為60°，快拍數(shù)為100，信噪比約為40 dB，取參考陣元的輸出作為信號的波形信息，然后使用特征分解法和 SMSWF算法分別對聲壓陣進行校正。使用未校正的陣列和校正后的陣列，對方位為3°的聲源測向，結(jié)果如圖4所示。

在圖4中，目標相對于聲壓陣的方位為3°。未校正時，聲壓陣 MUSIC譜線的峰值高度僅為 8.5 dB，方位估計值為5°；經(jīng)過特征分解法和SMSWF算法校正后聲壓陣的 MUSIC譜線基本重合，校正后，MUSIC譜線峰值高度達到了15.5 dB，且方位估計值為3°。以上水池試驗結(jié)果表明，SMSWF算法與特征分解法有著幾乎相同的陣列校正性能，這與計算機仿真結(jié)果一致。

6 結(jié)束語

作為陣列信號處理的預處理過程，基于特征分解法的幅相誤差有源校正算法計算量過大，不利于陣列信號處理的后續(xù)處理，本文提出一種快速實現(xiàn)陣列幅相誤差校正的SMSWF算法。SMSWF算法計算量小，同時具有與特征分解法相同的幅相參數(shù)估計性能,計算機仿真和消聲水池實驗結(jié)果驗證了SMSWF算法的優(yōu)越性能。另外，SMSWF算法獲取的信號子空間與特征分解法估計的信號子空間具有幾乎相同的子空間正交系數(shù)，由此可得如下結(jié)論：單個已知信號波形的信號源入射到傳感器陣列，陣列信號處理方法中的特征分解過程完全可以由SMSWF算法替代。

圖3 不同信噪比和快拍數(shù)條件下，子空間正交系數(shù)的均方根誤差的變化曲線圖

圖4 聲壓陣消聲水池試驗結(jié)果

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