一元函數(shù)連積法用于水工建筑物流量定線研究

唐榮桂 王一帆 盧 曦

（1.江蘇省洪澤湖水利工程管理處，江蘇 淮安 223100；2.江蘇省灌溉總渠管理處，江蘇 淮安 223200）

1 概述

隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，對(duì)洪澇災(zāi)害的有效管控和對(duì)水資源的保護(hù)利用已成為迫切需求，為此，各地興建了大量的水利控制工程，依水工建筑物設(shè)立的水文站日漸增多，就本省而言，水工建筑物類水文站占全部水文站的85%。研究這類水文站的各種技術(shù)方案和現(xiàn)代化管理手段是水文部門的重要任務(wù)之一，特別是研究能夠提高精度、應(yīng)用廣泛的流量定線整編方法有著重要的意義。

目前，水工建筑物流量整編方法是應(yīng)用水力學(xué)基本公式或以此為基礎(chǔ)而拓展的簡(jiǎn)化形式。主要方法有：

（1）水力學(xué)公式法。由于該方法對(duì)各種系數(shù)分類很細(xì)，很難依據(jù)實(shí)測(cè)的資料來逐個(gè)率定系數(shù)，且該方法計(jì)算相對(duì)繁瑣，故現(xiàn)實(shí)中很少應(yīng)用。雖然《水文資料整編規(guī)范》［1］（以下簡(jiǎn)稱《規(guī)范》）沒有列出這種方法，但有些科技工作者根據(jù)實(shí)測(cè)資料，用改正系數(shù)［2］的辦法，對(duì)該方法的應(yīng)用作了探討，并在無實(shí)測(cè)資料站的流量整編與工程設(shè)計(jì)中常用這種方法推算流量。

（2）流量（效率）系數(shù)法。即依據(jù)水力學(xué)基本公式，將公式主體剝離出來，并把各類系數(shù)合并為一個(gè)系數(shù)（稱為流量系數(shù)或效率系數(shù)），再依據(jù)率定資料建立相關(guān)因素與系數(shù)的關(guān)系。該方法優(yōu)點(diǎn)是適應(yīng)范圍廣，只要選擇到較為合適的相關(guān)因素，就能滿足一定的精度要求。由于對(duì)該方法的研究應(yīng)用已十分深入，各系數(shù)規(guī)律在一定范圍內(nèi)都有結(jié)論性成果，因此可以在特殊情況下用以推算流量。

（3）經(jīng)驗(yàn)公式法。《規(guī)范》中給出的經(jīng)驗(yàn)公式，是流量（效率）系數(shù)法的一種延伸，其用調(diào)整主體公式中固定參數(shù)的辦法［2］，使流量系數(shù)成為常數(shù)，實(shí)現(xiàn)流量公式化的目的。但是，這種調(diào)整不能完全反映實(shí)際情況，它只能應(yīng)用于少部分測(cè)站。

以上幾種方法都包含有特定公式主體，均屬于“模型函數(shù)”的范疇。

2 一元函數(shù)連積法簡(jiǎn)介

本方法的主要理論緣于“黑箱效應(yīng)”［3］，其變量可分離公式建立是依據(jù)獨(dú)立變量對(duì)“黑箱效應(yīng)”作用的單一性，定線方法為逐步解析法。由于各測(cè)站的邊界條件和水力條件不盡相同，故應(yīng)用這種方法得到的函數(shù)關(guān)系也千差萬別，但對(duì)于某個(gè)具體工程的同一種流態(tài)，其函數(shù)形式應(yīng)該具有延續(xù)性。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式的定義，本方法屬于經(jīng)驗(yàn)公式的范疇。

本方法選擇實(shí)測(cè)資料范圍內(nèi)最合適的自由函數(shù)進(jìn)行描述，擺脫了模型函數(shù)的束縛，主要優(yōu)點(diǎn)是定線精度高，適應(yīng)范圍廣。

圖1 水工建筑物出流的黑箱效應(yīng)示意圖

經(jīng)驗(yàn)公式中用模型函數(shù)給水工建筑物流量定線，如前面所述，存在一定的局限性。下面著重探討經(jīng)驗(yàn)公式中用自由函數(shù)給水工建筑物流量定線的可行性。

2.1 “黑箱效應(yīng)”與自由函數(shù)的應(yīng)用

在自然界中，很多要素與現(xiàn)象之間的作用機(jī)理已被熟知，但由于其局部的千差萬別，我們對(duì)具體細(xì)節(jié)的作用過程很難進(jìn)行逐一量化，為解決這一問題，應(yīng)用最為廣泛的方法就是“黑箱效應(yīng)”?！昂谙湫?yīng)”即不管細(xì)節(jié)如何作用，根據(jù)要素與現(xiàn)象之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法建立量化經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停ü剑?。這方面的應(yīng)用，在水文氣象學(xué)科中最為常見，如：水文預(yù)報(bào)模型、中長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)模型等。

水工建筑物及其上下游水尺之間的河段水流受到的影響是十分復(fù)雜的，但對(duì)于某一具體的工程而言，在外界硬件條件不發(fā)生改變的情況下，其對(duì)水流的總體作用效果不變，流量?jī)H隨水力因子的改變而改變。因此，無需知道每一個(gè)細(xì)節(jié)的作用機(jī)理和具體的作用效果，只要知道在特定因子條件下流量是多少即可，如圖1 所示。

獨(dú)立的、必要的水力因子用xi表示，自由函數(shù)用F 表示，則上述效應(yīng)可表示為：

式（1）不是固定函數(shù)模式，不同的測(cè)站條件對(duì)水流的作用不同，函數(shù)形式也不盡相同，但應(yīng)滿足與實(shí)測(cè)資料高度擬合并符合相應(yīng)的水文規(guī)律。用式（1）進(jìn)行定線，自由度更大，適應(yīng)性更強(qiáng)，理論上其定線精度更高。

2.2 自由函數(shù)可解形式的建立

由于式（1）用模糊函數(shù)表達(dá)，目前還無法直接用來定線，故需要對(duì)其進(jìn)行可解化轉(zhuǎn)換，才能夠達(dá)到實(shí)用的目的。

在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)［4］中，對(duì)于獨(dú)立的隨機(jī)變量表述是：若（X1，X2，…，Xn）為n 維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)為F（x1，x2，…，xn），若隨機(jī)變量Xi的分布函數(shù)為FXi（xi），對(duì)于任意的xi，有：

則稱X1，X2，…，Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。

由于水工建筑物流量定線所選取的水力因子也是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，故不考慮相關(guān)的概率分布性質(zhì)，流量所構(gòu)成的函數(shù)也應(yīng)當(dāng)符合式（2）。用fi表示各水力因子代表的自由函數(shù)，用q 表示單寬（或單機(jī)）流量，則式（1）簡(jiǎn)化為：

對(duì)比式（3）與經(jīng)驗(yàn)公式（模型函數(shù)），后者的流量關(guān)系是用各因子的冪函數(shù)或是指數(shù)函數(shù)連積的形式表達(dá)，而式（3）是用因子的自由函數(shù)連積的形式表達(dá)，兩者既有因子函數(shù)連積的共同之處，又有函數(shù)取用固定與任意之區(qū)分。正因其存在共性與區(qū)別，我們可以得出：一元函數(shù)連積法不僅符合水工建筑物的出流規(guī)律，而且增加了與實(shí)測(cè)資料擬合的自由度，更能符合實(shí)際情況。

經(jīng)過簡(jiǎn)化的式（3）能夠進(jìn)行變量分離，這樣就可以用逐步解析的方法求解某一因子的函數(shù)關(guān)系式（或用曲線節(jié)點(diǎn)系數(shù)描述），從而得到流量計(jì)算公式。因此，其可以作為水工建筑物流量定線的基本公式之一。

3 一元函數(shù)連積法用于水工建筑物流量定線解析步驟

影響水工建筑物出流的因子只有1～2 個(gè)，由一個(gè)因子定線的可以直接點(diǎn)繪相關(guān)圖，用圖解或回歸分析法確定關(guān)系，這里主要給出有2 個(gè)因子的函數(shù)關(guān)系解析方法。

3.1 一元函數(shù)連積法的逐步解析原理

將式（3）寫成2 個(gè)變量形式，用Yxi表示逐步計(jì)算的過渡因變量，經(jīng)過簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)換得：

若知道其中一個(gè)函數(shù)關(guān)系，如已知f2（x2），就可以根據(jù)實(shí)測(cè)資料用式（4）計(jì)算出Yx2，建立Yx2～x1相關(guān)關(guān)系，選用最合適的函數(shù)解析求得f1（x1），利用同樣方法，再依據(jù)f1（x1）計(jì)算Yx1求得f2（x2）。逐輪循環(huán)計(jì)算，直至函數(shù)關(guān)系穩(wěn)定為止。

3.2 一元函數(shù)連積法的流量定線具體方法

（1）初始函數(shù)的確定。從式（4）可看出，求某變量的函數(shù)關(guān)系，必須知道另一變量的函數(shù)關(guān)系，因此，初次分析計(jì)算時(shí)就需要設(shè)定一個(gè)初始函數(shù)。由于“次敏感因子”對(duì)流量的影響程度較小，在圖解過程中變化也較小，故一般選取其經(jīng)驗(yàn)函數(shù)（流量系數(shù)法主體公式中的冪函數(shù)）為初始函數(shù)，如此選擇可以減少解析輪次。用f0表示初始函數(shù)，表1 為各種出流狀態(tài)的初始函數(shù)。

（2）明確解析的數(shù)據(jù)關(guān)系與推求的解析函數(shù)（如表2）。

（3）得出解析輪次與解析成果說明（如表3）。

（4）使用解析工具與步驟。一元函數(shù)連積無需手工繪圖和人工計(jì)算，其主要是依靠Excel 的圖表功能進(jìn)行解析。步驟如下：

根據(jù)實(shí)測(cè)流量和表1 中的初始函數(shù)，計(jì)算過渡因變量，按照表2 中對(duì)應(yīng)的相關(guān)因子，添加散點(diǎn)圖。參照散點(diǎn)圖，先用表格中的添加趨勢(shì)線功能進(jìn)行常見函數(shù)的優(yōu)選擬合。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，此函數(shù)形式一般都比較簡(jiǎn)單，大部分都能得到理想的“敏感因子”函數(shù)關(guān)系。若擬合不好，可以摘錄曲線節(jié)點(diǎn)用數(shù)據(jù)規(guī)律分析法［5］進(jìn)行復(fù)合函數(shù)擬合，也可以分段擬合。再根據(jù)實(shí)測(cè)流量和“敏感因子”函數(shù)，計(jì)算過渡因變量，仿照上述過程，可確定“次敏感因子”函數(shù)。

以上即完成了第一輪解析。第二輪解析可將第一輪解析獲得的“次敏感因子”函數(shù)作為初始函數(shù)，同第一輪一樣進(jìn)行解析。接著以此類推進(jìn)行其它輪次解析，直至得到穩(wěn)定的函數(shù)關(guān)系為止。最后將各輪次解析結(jié)果與表3 對(duì)照分析，如果區(qū)別很大，就要檢查計(jì)算分析過程是否正確。

（5）關(guān)于解析結(jié)果。對(duì)于初始函數(shù)，當(dāng)然也可以選擇“敏感因子”的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)，這樣由于2 種初始函數(shù)不同而導(dǎo)致的解析結(jié)果不同，其實(shí)質(zhì)是主體公式有一個(gè)系數(shù)包含在哪一個(gè)子函數(shù)之中的問題，對(duì)流量計(jì)算不存在影響。

（6）注意事項(xiàng)。所擬合的函數(shù)在實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)段內(nèi)要符合單調(diào)增加的水文規(guī)律，如分段處理，臨界點(diǎn)處要連續(xù)平滑。

表1 各種流態(tài)初始函數(shù)

表2 各種流態(tài)解析圖及函數(shù)關(guān)系

表3 各個(gè)輪次的解析要點(diǎn)與一般解析結(jié)果

4 一元函數(shù)連積法用于水工建筑物流量定線實(shí)例

隨機(jī)抽選幾個(gè)典型的流態(tài)類型，用本文方法進(jìn)行定線，并與原用方法進(jìn)行對(duì)比。由于定線3 種檢驗(yàn)絕大部分相關(guān)關(guān)系都能滿足，特別是t 檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，隨著誤差指標(biāo)的減少而變小，更容易滿足要求，對(duì)比中只列出3種全部通過的總結(jié)論。具體的分析對(duì)比情況如表4。

結(jié)合表4，可以比較2 種方法的優(yōu)劣。

（1）水力因子函數(shù)類型的變化。對(duì)于堰閘站，兩個(gè)因子的函數(shù)變化都很大，可見“模型函數(shù)”并不符合實(shí)際情況；流量（或效率）系數(shù)法中用實(shí)測(cè)的系數(shù)曲線彌補(bǔ)了主體“模型函數(shù)”帶來的影響，其定線精度受到的影響較小，而圖解分析法定線精度整體偏低。對(duì)于電力抽水站或水力發(fā)電站，單機(jī)功率與流量在實(shí)測(cè)區(qū)域內(nèi)并不是簡(jiǎn)單的正比例關(guān)系，如淮安二站，功率函數(shù)的改變較大地提高了質(zhì)量；水頭函數(shù)在2 個(gè)案例中雖然都符合指數(shù)函數(shù)關(guān)系，但此處并不建議其它站借用該模式，而應(yīng)結(jié)合實(shí)際，因地制宜。

（2）誤差分析。5 個(gè)案例中，因淮安抽水三站（發(fā)電）是單變量函數(shù)關(guān)系，筆者將其作為特例列出，其它4個(gè)案例都是本文方法定線精度較高，特別是與圖解分析法定線相比，標(biāo)準(zhǔn)差減少達(dá)到或超過1%。高良澗閘（由孔）原定線的隨機(jī)不確定度超過10%，已經(jīng)不滿足一類精度水文站的要求，而用本文方法定線，隨機(jī)不確定度只有7.8%，有了很大改善。

5 相關(guān)問題的討論與建議

5.1 目前應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)公式定線存在的問題

經(jīng)驗(yàn)公式（模型函數(shù)）定線不一定適用于所有狀況，如：有的站在圖解時(shí)只好采用折線分段的辦法，將定線關(guān)系轉(zhuǎn)換成流量關(guān)系后發(fā)現(xiàn)，在分段的過渡處雖然連續(xù)，但不符合平滑的水文規(guī)律。以運(yùn)西閘站（沉堰）為例，2 種方法定線關(guān)系如圖2，按實(shí)測(cè)資料將平均水頭轉(zhuǎn)換成流量關(guān)系如圖3。

5.2 各水力因子相關(guān)性及其對(duì)流量關(guān)系的影響

（1）完全相關(guān)型。水力發(fā)電站或電力抽水站的流量關(guān)系中有N、h 2個(gè)參變量，如果是定槳定速水輪機(jī)，則N～h 有完全的相關(guān)關(guān)系，此時(shí)流量關(guān)系可以只用一個(gè)因子（h）表達(dá)，若仍用2 個(gè)因子，不但增加工作量，其關(guān)系也不一定有所優(yōu)化。最明顯的例子如：淮安抽水三站（抽水或發(fā)電）的定線關(guān)系為q～h；江都抽水站以葉片某一固定角度來建立q～h 關(guān)系，均是合理的。

（2）具有一定的相關(guān)度（包含暗相關(guān)）。在流量（效率）系數(shù)法定線中，相關(guān)因素的選擇至關(guān)重要，有的因素用比值表示，這種比值實(shí)際上就是為了消除2 個(gè)因子之間相關(guān)度的影響，從而達(dá)到提高定線精度的目的。反映在經(jīng)驗(yàn)公式法定線中，就是過渡因變量與因子的關(guān)系點(diǎn)散亂，次敏感因子的關(guān)系中更加明顯。

相關(guān)度影響流量定線的處理方法：在上面的典型例子中，還沒有出現(xiàn)由于變量之間的相關(guān)性導(dǎo)致精度不能滿足定線要求的情況，但在實(shí)際案例中不排除這種因素的影響，如果出現(xiàn)精度很差的情況，可以嘗試用因子改正法或流量改正法進(jìn)行修正。

5.3 《規(guī)范》中關(guān)于經(jīng)驗(yàn)公式的建議

（1）關(guān)于經(jīng)驗(yàn)公式中系數(shù)的定義。在流量（效率）系數(shù)法中，公式由能量守恒原理推導(dǎo)出來，將各種影響因素和的數(shù)值歸結(jié)到系數(shù)中，而公式主體含有流量的物理意義（的單位包含其中），故稱其系數(shù)為無單位概念的流量系數(shù)。經(jīng)驗(yàn)公式中的公式主體已經(jīng)不具有流量的物理意義，Cc、Mb、Mc、ηk、ε 等就是經(jīng)驗(yàn)公式系數(shù)。

（2）關(guān)于對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式法定線的檢驗(yàn)?！兑?guī)范》中沒有對(duì)經(jīng)驗(yàn)公式法定線檢驗(yàn)作出明確要求。用多要素進(jìn)行定線，其成果理論上應(yīng)對(duì)每一個(gè)因子與過渡因變量的關(guān)系分別進(jìn)行檢驗(yàn)，需全部符合要求方可。實(shí)際上，除“敏感因子”外，其它因子的關(guān)系往往較差，檢驗(yàn)的目的是確定因子與流量之間的關(guān)系是否滿足特定的要求，基于這一點(diǎn)，只需用“敏感因子”與流量之間的關(guān)系作出檢驗(yàn)，而無需檢驗(yàn)因子與過渡因變量的關(guān)系。目前在實(shí)際整編中，只提供“敏感因子”與過渡因變量的相關(guān)圖（如圖2）以及“敏感因子”與實(shí)測(cè)流量的關(guān)系檢驗(yàn)（如表4），這在今后的規(guī)定中應(yīng)予以明確。

表4 典型流態(tài)兩種方法定線成果對(duì)照

圖2 運(yùn)西閘（淹堰）2 種定線方法對(duì)照

圖3 運(yùn)西閘（淹堰）2 種方法流量關(guān)系（局部）對(duì)照

（3）對(duì)于二維以上變量的相關(guān)關(guān)系，諸如匯流模型、比降法推流、一潮推流等，習(xí)慣上都是按照既定的函數(shù)模式（經(jīng)驗(yàn)公式）進(jìn)行分析處理和誤差評(píng)判，這些經(jīng)驗(yàn)公式雖然是經(jīng)過很多實(shí)例總結(jié)得出的，但由于各個(gè)案例都有其特殊性，若全部生搬硬套，不一定都能取得最優(yōu)化的擬合結(jié)果。筆者利用數(shù)學(xué)分析的方法來優(yōu)化水工建筑物流量關(guān)系，可以為其它多變量函數(shù)關(guān)系的分析提供借鑒。

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