套管井貼壁聲源激發(fā)的非軸對(duì)稱聲場(chǎng)的有限差分模擬及結(jié)果分析

陳雪蓮，唐曉明，張聰慧，魏濤，董興蒙，魏周拓

1中國石油大學(xué)（華東）地球科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，青島 266580

2中海油田服務(wù)股份有限公司油田技術(shù)事業(yè)部，北京 101149

1 引言

貼井壁的聲波測(cè)井方式是聲波測(cè)井中新發(fā)展起來的一種測(cè)量方式，在油氣田動(dòng)態(tài)開發(fā)和檢測(cè)中受到廣泛關(guān)注，尤其是在套管井水泥膠結(jié)評(píng)價(jià)中，例如原美國阿特拉斯公司的SBT（Segmented Bond Tool）測(cè)井儀器利用推靠臂把6個(gè)貼壁板推靠到套管內(nèi)壁上，采用補(bǔ)償式的衰減測(cè)量得到套管井環(huán)向6個(gè)方位上的衰減率，實(shí)現(xiàn)了水泥環(huán)第一界面方位膠結(jié)評(píng)價(jià)（魏濤，2010）.目前SBT是檢查水泥環(huán)第一界面的固井質(zhì)量及管外竄槽的最新最有效的測(cè)井儀器之一，我國一些油田測(cè)井公司陸續(xù)引進(jìn)SBT儀器并進(jìn)行自制研發(fā)，且開發(fā)了一個(gè)新的功能，即可以記錄貼井壁的全波波形（魏濤，2010）.本文以SBT測(cè)井儀為參考，利用有限差分算法研究了貼井壁聲源在套管井中激發(fā)的聲場(chǎng)，并首次在數(shù)值計(jì)算模型中考慮了測(cè)井儀器貼壁滑板的存在對(duì)激發(fā)套管中傳播的模式波的影響，模擬的波形與實(shí)際測(cè)井儀器記錄的波形吻合較好，這為進(jìn)一步開發(fā)貼井壁聲源在套管井中的潛在應(yīng)用、形成具有國家自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的固井質(zhì)量探測(cè)方法和技術(shù)，例如利用記錄的貼井壁全波波形評(píng)價(jià)水泥環(huán)第二界面方位膠結(jié)狀況，提供理論支持.

現(xiàn)有的軸對(duì)稱套管井井孔聲學(xué)理論已不能直接指導(dǎo)貼井壁聲源激發(fā)聲場(chǎng)的測(cè)井解釋，貼井壁聲源激發(fā)的聲場(chǎng)是典型的非軸對(duì)稱聲場(chǎng)，張海瀾和沈建國等利用實(shí)軸積分法計(jì)算了大偏心聲源激發(fā)的聲場(chǎng)（沈建國和張海瀾，2000；張海瀾等，2004），并開展了實(shí)驗(yàn)室物理模擬研究（沈建國等，2002），但沒有考慮貼井壁聲源以及貼壁滑板的存在（即測(cè)井儀器存在）對(duì)套管中傳播模式波的影響；另外，實(shí)軸積分法在模擬非軸對(duì)稱井孔聲場(chǎng)時(shí)有其局限性，即難以用于模擬非軸對(duì)稱測(cè)井儀器本體的影響，因此宋若龍等（2010，2012）采用有限差分的模擬方法研究了套管井中井眼居中儀器偏心時(shí)激發(fā)的聲場(chǎng)，井眼居中和貼井壁聲波測(cè)井儀器的響應(yīng)差異明顯，何峰江等（2006）開展了貼井壁聲波測(cè)井儀在裸眼井的有限差分模擬研究，但未涉及到徑向分層的套管井的測(cè)井響應(yīng).國外有關(guān)貼井壁聲源激發(fā)聲場(chǎng)的數(shù)值研究未見公開發(fā)表.本文在此背景下利用三維高階交錯(cuò)網(wǎng)格有限差分法（王秀明等，2003）模擬了測(cè)井儀器存在時(shí)貼壁聲源在套管井中激發(fā)的聲場(chǎng)，可以幫助人們認(rèn)識(shí)此類聲源在套管、水泥以及地層等各介質(zhì)中激發(fā)聲波的傳播特征以及發(fā)生的一些物理現(xiàn)象（例如泄漏波），這將對(duì)優(yōu)化儀器設(shè)計(jì)、提高聲波測(cè)井資料的處理和解釋能力等方面起到重要作用.

2 物理模型和計(jì)算方法

SBT測(cè)井儀通過推靠臂把貼壁滑板推靠到套管內(nèi)壁上，滑板上安裝了發(fā)射和接收探頭，為了較好地模擬SBT測(cè)井儀的測(cè)井響應(yīng)，建立了圖1所示的數(shù)值計(jì)算模型，圖1從內(nèi)向外依次為井內(nèi)流體、套管、水泥和地層，在套管內(nèi)壁的6個(gè)方位上耦合與套管材質(zhì)一樣的弧形鋼條，以模擬實(shí)際測(cè)井時(shí)貼壁滑板對(duì)激發(fā)聲場(chǎng)的影響，聲源位于鋼條和套管內(nèi)壁之間，例如圖1中T表示聲源位置，接收器R60（與聲源方位相差60°）和R120（與聲源方位相差120°）是實(shí)際測(cè)井儀SBT接收器位置（魏濤，2010），為了顯示不同接收源距上的波形，在60°方位的貼壁滑板上放置了若干接收器.整個(gè)套管井模型的尺寸為0.4m×0.4m×0.8m，計(jì)算模型中各層介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)和尺寸見表1.本文中描述的自由套管模型井是指在套管和地層之間不耦合水泥，全部充滿水；水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差的套管井模擬是指套管與水泥界面耦合好、水泥和地層之間存在一個(gè)5mm的流體環(huán).

圖1 數(shù)值模擬的套管井模型示意圖Fig.1 Cased－well model for simulations

表1 各介質(zhì)的聲學(xué)參數(shù)和尺寸Table 1 Acoustic parameters and size of model

針對(duì)上述物理模型，采用三維交錯(cuò)網(wǎng)格高階有限差分程序進(jìn)行模擬計(jì)算.根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)平衡方程，不考慮外部體積力的影響，速度－應(yīng)力所表示的彈性波動(dòng)方程組微分形式寫成矩陣的形式：

式中，V＝ （vx，vy，vz）T，

在應(yīng)力和速度迭代過程中，拉梅系數(shù)λ和μ、介質(zhì)密度ρ都會(huì)隨著空間網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)而變化.為了提高有限差分的精度，剪切模量μ采用相鄰區(qū)域四個(gè)節(jié)點(diǎn)的調(diào)和平均數(shù)，而彈性介質(zhì)的密度ρ則采用相鄰網(wǎng)格兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的算術(shù)平均值（Kostek，1991；Cheng et al.，1995；Liu et al.，1996），這樣就能保證固液交界面的剪切模量為零.計(jì)算的具體表達(dá)式為：

由于交錯(cuò)網(wǎng)格的有限差分算法是一種顯式差分格式，所以時(shí)間步長(zhǎng)必須滿足公式（4）才能使得速度應(yīng)力迭代過程收斂

可以看出，有限差分的時(shí)間步長(zhǎng)Δt由空間網(wǎng)格尺寸 （Δx，Δy，Δz）和波在介質(zhì)中的傳播速度c決定.在數(shù)值模擬中，為了保證穩(wěn)定性條件的嚴(yán)格滿足，c選取介質(zhì)中最大的速度值.本文使用了PML（Perfectly Matched Layer，完全匹配層）吸收邊界，聲波在PML區(qū)域內(nèi)的衰減可以通過指數(shù)函數(shù)表征：

其中，Λ為波長(zhǎng)，δ為PML匹配層的厚度，執(zhí)行過程中將吸收邊界的厚度δ轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格數(shù)Npml，a0為比例系數(shù)，用于優(yōu)化吸收效果.

在本文的計(jì)算中，使用了400×400×800的網(wǎng)格，X，Y，Z軸上的空間步長(zhǎng)均為0.001m，時(shí)間步長(zhǎng)為0.0834μs.聲源脈沖取為余弦包絡(luò)脈沖函數(shù)（張海瀾等，2004），中心頻率為80kHz.

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

3.1 貼壁滑板的存在對(duì)套管中傳播的模式波的影響

在100kHz以下的工作頻段，常用套管厚度都遠(yuǎn)小于波長(zhǎng)，在接近自由狀態(tài)下，套管中可傳播低階的彎曲型Lamb波（A0模式，反對(duì)稱Lamb波）和拉伸波（S0模式，對(duì)稱Lamb波），統(tǒng)稱為L(zhǎng)amb波，測(cè)井中習(xí)慣稱此S0模式波為套管波.圖2是自由套管模型不加貼壁滑板（也即不考慮測(cè)井儀器）時(shí)模擬的波列圖以及從波列中提取的頻散曲線，聲源位于套管內(nèi)壁上，接收器與聲源處于同一方位，從圖2a的時(shí)域波形可見全波中有拉伸波和彎曲型Lamb波，彎曲型Lamb波（A0）的幅度與拉伸波（S0）相比明顯較大.圖2b對(duì)比了從圖2a波列中利用頻譜相干法（Liu et al.，1996）提取的拉伸波和彎曲型Lamb波的頻散曲線（O型離散曲線）與理論計(jì)算（Rose，1999）的頻散曲線（解析解，實(shí)線），兩者吻合較好，初步說明了數(shù)值計(jì)算的可靠性.

若考慮測(cè)井儀器的貼壁滑板，把聲源加載到貼壁滑板和套管內(nèi)壁之間，數(shù)值模擬的全波波形中拉伸波的幅度相對(duì)變大，彎曲型Lamb波的幅度減弱，見圖3a所示，接收器與聲源在同方位上，貼壁滑板的厚度是5mm.圖3b是對(duì)接收的波列利用頻譜相干法提取到的拉伸波和彎曲型Lamb波頻散曲線（O型離散曲線），與理論計(jì)算的頻散曲線（無貼板，實(shí)線）相比，拉伸波的速度稍有下降，這與滑板的存在相當(dāng)于加厚了套管厚度有關(guān)，彎曲型Lamb波的速度稍有增加.在貼壁板厚度增加到10mm時(shí)，即與套管厚度相等時(shí)，模擬全波列中拉伸波的幅度增大更明顯（見圖4），且從全波列提取的頻散曲線中較難觀測(cè)到彎曲型Lamb波的成分，也即在貼壁滑板的厚度增加后，貼壁滑板對(duì)套管的彎曲振動(dòng)起到了明顯的壓制作用，從而使得拉伸波被相對(duì)加強(qiáng).綜上可見，在模擬貼壁聲源激發(fā)的井孔聲場(chǎng)時(shí)要考慮測(cè)井儀器的存在對(duì)套管中傳播模式的影響.

圖2 不加貼壁滑板時(shí)模擬的波列（a）和提取的頻散曲線（b）Fig.2 Simulated waveforms（a）and extracted dispersion curves（b）for no sidewall pad

圖3 加厚度為5mm的貼壁滑板后模擬的波列（a）和提取的頻散曲線（b）Fig.3 Simulated waveforms（a）and extracted dispersion curves（b）with sidewall pads

3.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與SBT測(cè)井儀實(shí)測(cè)結(jié)果的對(duì)比

為了進(jìn)一步驗(yàn)證數(shù)值模擬結(jié)果的可靠性，圖5對(duì)比了SBT測(cè)井儀器在實(shí)際的自由套管井中測(cè)量的波形與數(shù)值模擬波形.數(shù)值模擬時(shí)建立的套管井模型尺寸和實(shí)際井一致，套管外徑139.7mm，厚度7.72mm，井眼直徑216mm，套管和地層之間充滿流體.可見在拉伸波及來自水泥環(huán)界面的反射波等時(shí)間段內(nèi)（0～150μs）兩者相似性較好，驗(yàn)證了數(shù)值模擬的可靠性.

3.3 SBT測(cè)井響應(yīng)的數(shù)值模擬結(jié)果及分析

在套管井中，套管被置于泥漿和水泥之間，沿著套管傳播的Lamb波在套管中傳播時(shí)還會(huì)向速度比其低的周圍介質(zhì)輻射聲波（只要Lamb波的傳播速度大于周圍介質(zhì)中的聲速），其傳播能量會(huì)有損耗，此時(shí)的Lamb波也稱為泄漏Lamb波.圖6是在自由套管模型井模擬SBT測(cè)井儀的一個(gè)發(fā)射器工作時(shí)在包含此發(fā)射器的XOZ截面的聲場(chǎng)快照（應(yīng)力分量），可見拉伸波在沿著套管傳播時(shí)能量不斷地泄漏到與其耦合的流體中（紅色橢圓內(nèi)），泄漏到流體中的聲波傳播到流體和地層的界面時(shí)會(huì)發(fā)生反射，反射波（綠色橢圓內(nèi)）傳播到套管外壁并被耦合到套管繼續(xù)向前傳播，可被接收器接收到.從聲場(chǎng)快照中還可明顯看到流體環(huán)中除了泄漏波之外，還有來自聲源處的擴(kuò)散波，這些波在井壁處也被反射回流體環(huán)中，又被耦合到套管被接收器接收，因此從貼壁接收器接收到的全波波形成分較多.

圖4 加厚度為10mm的貼壁滑板時(shí)的模擬波列Fig.4 Simulated waveforms with thick sidewall pads

圖5 數(shù)值模擬和實(shí)際測(cè)量波形的對(duì)比Fig.5 Comparison of full waveforms between simulation and field measurement

圖6 自由套管模型井XOZ截面的聲場(chǎng)快照Fig.6 Snapshots of XOZplane for free casing model

在套管外膠結(jié)了水泥后，由于水泥的縱波和橫波速度均比套管中拉伸波的速度低，沿著套管傳播的拉伸波會(huì)向水泥環(huán)中泄漏縱波和橫波.圖7是在套管膠結(jié)了常規(guī)水泥后的聲場(chǎng)快照（與圖6取得的截面相同），可明顯觀測(cè)到沿著套管傳播的拉伸波向水泥中除了泄漏水泥縱波還有橫波（見圖中綠色橢圓內(nèi)），泄漏的縱波和橫波到達(dá)水泥第二界面后也會(huì)發(fā)生反射，若水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差，例如在界面處存在流體時(shí)，泄漏橫波的反射系數(shù)將明顯大于水泥環(huán)與地層膠結(jié)良好時(shí)的反射系數(shù)，這為利用反射波信息評(píng)價(jià)水泥環(huán)第二界面的膠結(jié)好壞提供了可能.圖8描述了套管波（例如拉伸波）向低速的水泥層泄漏（或輻射）縱波以及橫波時(shí)的傳播示意圖，泄漏到水泥中的縱波（或橫波）的波陣面與套管成一角度θ，波陣面沿套管傳播的視速度vcement／sinθ等于套管波的相速度，由此得到圖8所描述的套管波的輻射和在水泥環(huán)第二界面反射的路徑圖，反射波（水泥中的縱波或橫波）的到時(shí)可用公式（5）表示.

式中x是發(fā)射器和接收器之間的傳播距離，d2是水泥環(huán)厚度，vS0是拉伸波的相速度（較低頻率下頻散弱），θ是泄漏縱波或橫波的輻射角度（圖8中的θP或θS），vcement是水泥中的縱波或橫波速度.

圖7 套管后膠結(jié)水泥時(shí)的聲場(chǎng)快照Fig.7 Snapshots for cement bonded casing model

圖8 套管波的輻射和在水泥環(huán)第二界面反射的路徑圖Fig.8 Cased wave radiation and reflection travel paths

沿著套管傳播的拉伸波泄漏到水泥環(huán)后，泄漏的縱波和橫波再傳播到水泥環(huán)外側(cè)時(shí)會(huì)發(fā)生反射，水泥與地層界面的膠結(jié)狀況會(huì)影響反射波的幅度和相位信息.圖9顯示了模擬的套管井水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差（藍(lán)色波列）和膠結(jié)良好（紅色波列）時(shí)60°方位接收器R60記錄的全波波形（徑向分量），第一界面膠結(jié)良好.縱坐標(biāo)是接收器與聲源之間的軸向距離，圖中黑色傾斜曲線是拉伸波（S0）的到時(shí)曲線，綠色曲線是水泥環(huán)中縱波反射的到時(shí)曲線，水泥環(huán)厚度是40mm.可見，沿著套管傳播的拉伸波不受水泥環(huán)第二界面膠結(jié)狀況的影響，但來自水泥環(huán)外側(cè)的反射波受其膠結(jié)狀況的影響較大，水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差時(shí)反射波的幅度增強(qiáng).為了對(duì)比水泥環(huán)第二界面膠結(jié)良好和膠結(jié)差時(shí)來自水泥環(huán)外側(cè)反射波的差異，分別將兩種膠結(jié)狀況下的波形與水泥環(huán)厚度無限大的套管井模型下（也即地層的聲阻抗與水泥相同）模擬的波形相減，得到了水泥環(huán)外側(cè)的反射波，圖10a和10b分別是水泥環(huán)厚度為24mm和40mm時(shí)的反射波波列圖.可見在水泥環(huán)厚度增加時(shí)來自水泥環(huán)外側(cè)的反射波到時(shí)明顯滯后，紅色曲線是水泥環(huán)中縱波反射波的到時(shí)曲線，藍(lán)色曲線是水泥環(huán)中橫波反射波的到時(shí)曲線，綠色曲線是水泥環(huán)中橫波的2次反射波的到時(shí)曲線.

圖9 水泥環(huán)第二界面膠結(jié)良好（紅色波列）和膠結(jié)差（藍(lán)色波列）時(shí)的波列對(duì)比圖Fig.9 Comparisons of wavetrains between well bonded model（red）and poorly bonded model（blue）at the interface between cement and formation

圖10 水泥環(huán)第二界面膠結(jié)良好（紅色波列）和膠結(jié)差（藍(lán)色波列）時(shí)來自水泥環(huán)外側(cè)的反射波Fig.10 Comparisons of reflected wavetrains from the interface between cement and formation for well bonded model（red）and poorly bonded model（blue）

圖11 水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差（a）和膠結(jié)良好（b）時(shí)XOZ截面聲場(chǎng)快照?qǐng)DFig.11 Snapshots of XOZplane for poorly bonded condition（a）and well bonded condition（b）

另外，通過XOZ和XOY截面上的聲場(chǎng)快照（見圖11和圖12）也可清晰地看到，在水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差時(shí)，透射到地層中的聲場(chǎng)能量減弱明顯，水泥環(huán)中的反射波強(qiáng)度增強(qiáng)，此反射波耦合到套管中可被套管內(nèi)壁上的接收器接收到，因此，可以利用來自水泥環(huán)外側(cè)的反射波特征對(duì)水泥環(huán)第二界面的膠結(jié)狀況進(jìn)行評(píng)價(jià)，由于發(fā)射器和接收器布置在套管內(nèi)壁的圓周上，相鄰的一發(fā)一收裝置所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，所接收的信號(hào)僅包含了兩換能器之間區(qū)域膠結(jié)狀況的信息，利用此信息對(duì)水泥環(huán)第二界面膠結(jié)狀況進(jìn)行評(píng)價(jià)，可以實(shí)現(xiàn)類似SBT測(cè)井儀對(duì)水泥環(huán)第一界面膠結(jié)狀況的方位評(píng)價(jià)需求.

4 結(jié)論

（1）聲波測(cè)井儀器的存在會(huì)影響井孔中聲波的傳播特征，有限差分模擬結(jié)果表明貼壁聲源儀器的存在明顯改變了套管中模式波的傳播特征，將SBT測(cè)井儀貼壁滑板貼到套管內(nèi)壁后，大大壓制了套管中彎曲型Lamb波的幅度，從而使得全波中拉伸波的幅度明顯增強(qiáng)，數(shù)值模擬波形與SBT測(cè)井儀測(cè)量到的波形吻合較好；另外從有限差分計(jì)算的聲場(chǎng)快照中可明顯見到拉伸波沿著套管傳播時(shí)會(huì)向與其耦合的泥漿和水泥中泄漏速度比其低的波，例如水泥環(huán)中有泄漏的縱波和橫波.

（2）水泥中泄漏的縱波和橫波傳播到水泥與地層界面時(shí)會(huì)發(fā)生反射，來自水泥環(huán)外側(cè)的反射攜帶了水泥環(huán)第二界面的膠結(jié)狀況，從聲場(chǎng)快照和貼套管內(nèi)壁接收的全波波形中可明顯見到水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差時(shí)水泥環(huán)中的反射波幅度增強(qiáng)，因此在測(cè)井儀器記錄了貼壁聲源激發(fā)的全波波形時(shí)可以利用拉伸波之后的反射波信息反演水泥環(huán)第二界面的膠結(jié)狀況，這有助于解決水泥環(huán)第二界面方位膠結(jié)狀況定量評(píng)價(jià)的難題.

圖12 水泥環(huán)第二界面膠結(jié)差（a）和膠結(jié)良好（b）時(shí)XOY截面聲場(chǎng)快照?qǐng)DFig.12 Snapshots of XOYplane for poorly bonded condition（a）and well bonded condition（b）

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