隱函數(shù)存在定理的教學

張 杰，芮紹平

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

隱函數(shù)存在定理的教學

張 杰，芮紹平

（淮北師范大學 數(shù)學科學學院，安徽 淮北 235000）

隱函數(shù)存在定理是數(shù)學分析課程教學中的重點和難點.從引入、證明、應(yīng)用以及推廣4個方面對隱函數(shù)存在定理的教學進行探討.

數(shù)學分析；隱函數(shù)存在定理；教學

數(shù)學分析的主要研究對象是函數(shù)，目標是研究函數(shù)性態(tài)，而隱函數(shù)是函數(shù)的一種重要表現(xiàn)形式.因此，隱函數(shù)存在定理成為數(shù)學分析的重點內(nèi)容.由于該定理比較抽象，內(nèi)容繁多，結(jié)構(gòu)復雜，所以成為教學過程中的難點.筆者根據(jù)近幾年數(shù)學分析課程的教學實踐，就隱函數(shù)存在定理的教學，從以下幾個方面談一些體會和想法.

1 引入

以二元方程確定一元隱函數(shù)為例.為行文方便，將隱函數(shù)存在定理敘述如下：若函數(shù)F(x,y)滿足：（1）F(x,y)在以P0(x0,y0)為內(nèi)點的某區(qū)域D?R2上具有連續(xù)偏導數(shù)；（2）F(x0,y0)=0；（3）Fy(x0,y0)≠0，則方程F(x,y)=0在P0(x0,y0)點的某鄰域上能唯一確定一個具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y=f(x)，其定義域為x0的某鄰域U(x0)，且導數(shù)為.

在該定理教學過程中，引入階段很重要，引導方法正確、思路清晰，學生接受起來水到渠成.首先，舉例說明并不是所有方程都可以確定隱函數(shù)，如方程y-x-1=0確定函數(shù)y=x+1，而y2+x2+1=0就不能確定任何函數(shù)關(guān)系，這樣學生就理解了研究隱函數(shù)存在性的必要性.其次，由于實踐中所遇到的一元函數(shù)大多數(shù)是定義在一個較大區(qū)間上的，所以學生對隱函數(shù)定理中隱函數(shù)定義在U(x0)不甚理解，從而導致對該定理充滿神秘感，影響隱函數(shù)求導公式的運用.為解決這個問題，可以考慮方程x2+y2-1=0，一般都認同該方程確定了兩個函數(shù)，即.其實，嚴格意義上應(yīng)該敘述為：方程x2+y2-1=0在平面點集D1={( x,y)|-1＜x＜1,y＞0,x2+y2=1}上確定了函數(shù)y= 1-x2，類似地在平面點集D2={( x,y)|-1＜x＜1,y＜0,x2+y2=1}上確定了函數(shù).在這個例子中，學生可能認為隱函數(shù)存在性的討論不需要以點為單位，而可以在較大的平面點集如D1和D2上.此時，引導學生仔細觀察點集D1和D2的相同點，容易發(fā)現(xiàn)點集D1只包含上半平面中的點，D2只包含下半平面中的點.那么在既含上半平面點又含下半平面點的點集上，方程x2+y2-1=0能確定隱函數(shù)y=f(x)嗎？此時提出該問題，學生接受起來也很自然.分析如下：

圖1 方程x2+y2-1=0確定隱含數(shù)的情形

圖1 中單位圓的圓周方程是x2+y2-1=0，在其上取兩個特殊點A和B，這兩點的任何鄰域內(nèi)既包含上半平面的點又包含下半平面的點，而在A和B的鄰域內(nèi)總會有一個x對應(yīng)兩個不同的y.也就是說，在A、B的鄰域這個平面點集上，方程x2+y2-1=0不能確定隱函數(shù)y=f(x).此時可以得出結(jié)論：由于有A、B這樣的點存在，所以隱函數(shù)存在性的研究應(yīng)該以點為單位，而不是某個大范圍上的.這樣，學生對隱函數(shù)存在定理結(jié)論的局部性就有了一個清晰直觀的理解，從而消除對定理的神秘感.

最后，影響學生理解該定理的是條件Fy(x0,y0)≠0，在證明中這個條件是為了保證函數(shù)F(x,y)關(guān)于變量y嚴格單調(diào)，但在證明前，可以做些鋪墊工作，分析如下：若方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)可導，則對方程兩邊同時關(guān)于x求導，有Fx(x,y)+Fy(x,y)y′=0，要解出y′，這里就要求條件Fy(x0,y0)≠0.當然，一般教材中關(guān)于此條件還有許多直觀解釋.

2 證明

有了上面引入工作，就可以進入定理的證明階段.該定理的證明可以分成兩大部分，即隱函數(shù)存在性和連續(xù)可微性，一般教材都有詳細的證明過程［1］，這里需要指出的是，由于證明過程中反復應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的局部保號性，所以在證明之前要對連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及其幾何意義進行系統(tǒng)復習，以方便學生順利掌握該定理的證明.

要講清楚幾個問題：（1）定理中條件僅僅是充分的.對于這一點可以例舉方程y3-x3=0在(0 ,0)點由于，故不滿足定理中的第三個條件，但該方程仍然能確定唯一連續(xù)可微函數(shù)y=x；（2）通過觀察定理的證明過程，可以看出定理中的條件“在D內(nèi)連續(xù)和”僅是為了保證函數(shù)F(x,y)關(guān)于變量y嚴格單調(diào).因此定理的條件可以減弱為“F(x,y)在P0(x0,y0)的某鄰域內(nèi)關(guān)于y嚴格單調(diào)”；（3）考慮方程F(x,y)=0中兩個變量地位對稱，只要將定理中的條件Fy(x0,y0)≠0改為Fx(x0,y0)≠0，方程F(x,y)=0就能唯一確定一個以y為自變量的函數(shù)x=g(y)；（4）并不是所有的隱函數(shù)都可以顯示化，如方程y-x-siny=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)就不能被顯示化；（5）研究隱函數(shù)存在定理有著重要意義，它使得我們又獲得了一種函數(shù)的表達方式，甚至可以用來描述一個非初等函數(shù)，如由方程xy+2x-2y=0所確定的隱函數(shù).

3 應(yīng)用

隱函數(shù)存在定理在理論上應(yīng)用廣泛，這里主要討論隱函數(shù)求導問題.根據(jù)隱函數(shù)存在定理，方程F(x,y)=0所確定的隱函數(shù)y=f(x)的導數(shù)為，在此基礎(chǔ)上可以推導其二階導數(shù)為（設(shè)F(x,y)存在二階連續(xù)偏導數(shù)）.

在求導公式的實際使用中，不建議簡單套公式，應(yīng)該利用對方程兩邊同時求導的方法求解隱函數(shù)導數(shù)，如例1：

例1 驗證方程F(x,y)=x2+y2-1=0在點(0,1)的某鄰域內(nèi)能確定唯一連續(xù)可微的隱函數(shù)y=f(x)，并求二階導數(shù).

解 由Fx(x,y)=2x，F(xiàn)y(x,y)=2y,F(0,1)=0,Fy(0,1)=2≠0,據(jù)隱函數(shù)存在定理可知，方程x2+y2-1=0在點(0,1)的某鄰域內(nèi)能確定唯一連續(xù)可微的隱函數(shù)y=f(x).

對方程x2+y2-1=0兩邊同時關(guān)于x求導，有2x+2yy′=0，，再對2x+2yy′=0兩邊同時關(guān)于x求導，得2+2y′y′+2yy″=0，從而.

隱函數(shù)在求極值問題中的應(yīng)用也是值得注意的一個問題，一般教材中都有提及，可以適當補充例題來講清楚該問題.

例2 求函數(shù)z=xy在約束條件x+y=1下的極值.

解 應(yīng)用拉格朗日乘數(shù)法，令L(x ,y,λ)=xy+λ(x +y-1)，求偏導數(shù)，并令其等于0，有

其中y′可以看做是方程F(x,y)=x+y-1=0所確定隱函數(shù)的導數(shù)，故

從而

隱函數(shù)存在定理在實際生活中的應(yīng)用也非常廣泛，如優(yōu)化問題中的應(yīng)用［2］、生物科學中的應(yīng)用［3］以及物理學中的應(yīng)用等.學生就會充分認識到學習該定理的重要性，從而激發(fā)學生主動探究新知識的學習熱情，學習效果和效率自然會提高.

4 推廣

作為隱函數(shù)存在定理知識體系的一部分，其推廣工作也是重點和難點.在推廣過程中，學生的知識得到進一步完善形成一個整體，達到事半功倍的效果.具體來講，該定理可以橫向和縱向推廣.

縱向就是教材中的推廣工作，也就是將二元方程確定一個隱函數(shù)的情形推廣至三元方程F(x,y,z)=0確定一個二元隱函數(shù)的情況，進而推廣至n+1個變量方程確定隱函數(shù)的情形，最后利用函數(shù)行列式推廣至方程組確定隱函數(shù)組的情形.具體推廣過程請詳見教材［1］.

對隱函數(shù)存在定理（二元方程確定一個隱函數(shù)的情形）橫向推廣一般考慮兩個方面，也就是條件和結(jié)論.由于原定理中的條件是充分非必要的，因此適用范圍具有局限性，一些文獻［4-5］就對隱函數(shù)存在定理的條件進行了相關(guān)推廣.對于結(jié)論，由于原定理的結(jié)論具有局部性（在鄰域內(nèi)討論存在性），所以推廣工作主要集中在延拓方面，也就是將隱函數(shù)的存在性由局部拓展至某個大范圍上，這方面的文獻可參見［6-7］等.

5 總結(jié)

通過以上分析，可以讓學生了解隱函數(shù)存在定理的來龍去脈，構(gòu)建一個完整知識塊系，幫助學生輕松掌握難點問題，從而提高他們的學習熱情.在實際教學實踐中，還可以結(jié)合微課設(shè)計，將該定理的教學分解成幾個微課片段，分散難點，鼓勵學生主動訪問各大名校的有關(guān)MOOC視頻，從而達到更好的學習效果.

［1］華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析（下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2001.

［2］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學出版社，2010.

［3］楊強大，王福利，常玉清.基于階段識別的諾西肽發(fā)酵過程軟測量建模［J］.儀器儀表學報，2008，29（8）：1779-1783.

［4］錢傳喜.隱函數(shù)定理的一個推廣［J］.揚州師院學報（自然科學版），1988，8（1/2）：11-15.

［5］杜繼宏，馮元琨，李春文，等.隱函數(shù)存在的充分條件［J］.清華大學學報，1999，39（1）：75-78.

［6］羅時健.關(guān)于隱函數(shù)存在定理的注記［J］.黔東南民族師專學報，1996（Z1）：5-7.

［7］黃松琴，廖曉昕.關(guān)于非局部隱函數(shù)存在定理的一點注記［J］.華中師院學報（自然科學版），1981，10（2）：42-48.

Research on Teaching of Implicit Function Theorem

ZHANG Jie，RUI Shaoping
（School of Mathematical Science，Huaibei Normal University，235000，Huaibei，Anhui，China）

Implicit function theorem is an emphasis and difficulty of in the teaching of mathematical analysis. In this paper，we do some preliminary exploration from four aspects which are guidance，proof，application and generalization.

mathematical analysis；implicit function theorem；teaching

O 17

C

2095-0691（2015）04-0093-04

2015-05-08

安徽省質(zhì)量工程教研項目（2015jyxm165）；淮北師范大學教學研究項目(jy15106,jy13230）

張 杰（1979- ），女，安徽淮北人，碩士，副教授，研究方向：優(yōu)化理論.