不確定非線性系統(tǒng)SISO的綜合終端滑模跟蹤控制器及擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器

鐘曉珠，馬躍超，劉金憲，邢海龍，王知力

（1.河北科技學(xué)院公共課部，河北保定071000；2.燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004；3.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與科學(xué)學(xué)院，山東青島266109）

不確定非線性系統(tǒng)SISO的綜合終端滑模跟蹤控制器及擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器

鐘曉珠1，馬躍超2，?，劉金憲1，邢海龍3，王知力1

（1.河北科技學(xué)院公共課部，河北保定071000；2.燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島066004；3.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)信息與科學(xué)學(xué)院，山東青島266109）

對(duì)帶有線性動(dòng)力學(xué)性能和非線性動(dòng)力學(xué)性能及帶有系統(tǒng)內(nèi)部不確定因素和外界擾動(dòng)因素的單輸入單輸出系統(tǒng)，本文給出了終端滑模跟蹤控制方法。由于該系統(tǒng)狀態(tài)難以測(cè)量，本文將系統(tǒng)內(nèi)部未知的復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)因素及系統(tǒng)外界擾動(dòng)因素統(tǒng)稱為“總擾動(dòng)”，并視其為系統(tǒng)模型的增廣狀態(tài)。該增廣狀態(tài)及系統(tǒng)狀態(tài)可以通過(guò)一個(gè)線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器同步評(píng)估出來(lái)。本方法的特點(diǎn)是設(shè)計(jì)這樣一個(gè)觀測(cè)器以保證近似誤差一致最終有界于一個(gè)半徑為設(shè)計(jì)參數(shù)的函數(shù)的球內(nèi)，該球半徑可以通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)達(dá)到任意小的程度?；谒O(shè)計(jì)的線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器的輸出，文中給出了保證系統(tǒng)輸出密切跟蹤所需信號(hào)的終端滑?？刂破?，數(shù)值模擬的結(jié)果表明所給出的控制器是有效的。

滑?？刂?；擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器；非線性系統(tǒng)；一致最終有界

0 引言

在過(guò)去的幾十年里，各種不確定非線性系統(tǒng)魯棒控制技術(shù)已得到快速發(fā)展。在這些魯棒控制方法中，滑模控制（SMC）技術(shù)對(duì)于具有內(nèi)部不確定性及外界擾動(dòng)性的系統(tǒng)具有良好的魯棒性［1?7］。由于強(qiáng)勁的魯棒性，SMC技術(shù)被廣泛用來(lái)改進(jìn)很多實(shí)際系統(tǒng)的性能，例如諧波振蕩器［8］、倒立擺系統(tǒng)［9］、雙罐系統(tǒng)［10］等。近年來(lái)，由于終端滑模跟蹤控制方法可在有限時(shí)間內(nèi)使系統(tǒng)狀態(tài)達(dá)到平衡，從而吸引了眾多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)［11］對(duì)單輸入單輸出（SISO）非線性系統(tǒng)，將快速終端動(dòng)力學(xué)技術(shù)用于改進(jìn)滑?？刂菩阅?。文獻(xiàn)［12］研究了多輸入多輸出（MIMO）線性系統(tǒng)的終端滑模控制（TSMC）方法。文獻(xiàn)［13］對(duì)于不確定多輸入線性系統(tǒng)提出了帶終端滑模的變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)方法。應(yīng)用TSMC方法，文獻(xiàn)［14］研究了帶時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的輸出調(diào)節(jié)方法。

然而，通常只有當(dāng)系統(tǒng)的所有線性及非線性動(dòng)力學(xué)性能已知的情況下，基本的滑模控制律才是可實(shí)現(xiàn)的。由于在實(shí)際中某些線性及非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)性能通常是未知的，因而基本滑?？刂齐y以直接應(yīng)用到具有未知函數(shù)性能的非線性系統(tǒng)上。有鑒于此，近些年，對(duì)于非線性不確定系統(tǒng)，人們研究了綜合各種不同評(píng)估技術(shù)的SMC方法。該綜合控制方法應(yīng)用某些評(píng)估技術(shù)以逼近系統(tǒng)未知?jiǎng)恿W(xué)性能，逼近模型內(nèi)部的不確定性能及模型外界擾動(dòng)因素，基于這些估值則可設(shè)計(jì)出系統(tǒng)的SMC律。擾動(dòng)觀測(cè)器（DO）及模糊邏輯系統(tǒng)常被用做評(píng)估手段。對(duì)于具有擾動(dòng)影響的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［1 5］研究了基于控制的擾動(dòng)觀測(cè)器（DOBC）及TSMC。文獻(xiàn)［16］提出了基于擾動(dòng)觀測(cè)器的一類不確定非線性系統(tǒng)的滑?？刂品椒?，利用模糊邏輯系統(tǒng)逼近未知系統(tǒng)函數(shù)。文獻(xiàn)［17］對(duì)一類具不確定性因素及外界擾動(dòng)因素的SISO非線性系統(tǒng)，給出了一種自適應(yīng)模糊滑?？刂破?，該控制器融合了一個(gè)魯棒積分控制律。然而，這些方法都要求系統(tǒng)狀態(tài)是可觀測(cè)的。當(dāng)多變量系統(tǒng)狀態(tài)無(wú)法觀測(cè)時(shí)，研究不確定非線性系統(tǒng)的SMC問(wèn)題就變得更具挑戰(zhàn)性。

眾所周知，擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器具有很多良好的性質(zhì)，諸如只要求系統(tǒng)模型很少的信息量，并能緊密跟蹤系統(tǒng)的外界擾動(dòng)影響及系統(tǒng)狀態(tài)信息［18?23］。本文針對(duì)SISO非線性系統(tǒng)，研究了結(jié)合線性擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測(cè)器（LESO）的終端滑模跟蹤控制方法。該系統(tǒng)模型具有已知的線性動(dòng)力學(xué)性能、未知的非線性動(dòng)力學(xué)性能以及模型內(nèi)部的不確定因素和外界擾動(dòng)影響因素，并且系統(tǒng)狀態(tài)難以測(cè)量。所有這些因素被視為系統(tǒng)的“總擾動(dòng)”，而本文方法主要特點(diǎn)是設(shè)計(jì)一個(gè)LESO用來(lái)評(píng)估系統(tǒng)“總擾動(dòng)”及系統(tǒng)狀態(tài)。對(duì)“總擾動(dòng)”的評(píng)估值用以反饋補(bǔ)償系統(tǒng)，以達(dá)到系統(tǒng)擾動(dòng)的衰減與消除，從而將原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性系統(tǒng)。因而應(yīng)用TSMC律設(shè)計(jì)生成一個(gè)線性系統(tǒng)以保證系統(tǒng)輸出緊密跟蹤所需信號(hào)。

1 問(wèn)題的導(dǎo)出

考慮下述SISO非線性不確定系統(tǒng)

此處，b1，b2，…，bn及 g是已知實(shí)常數(shù)，u∈R及y∈R分別是輸入及輸出。未知函數(shù)f（·）表示復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，函數(shù)Δb1，Δb2，…，Δbn－1及Δbn是模型的不確定性質(zhì)，函數(shù)w是未知的外界擾動(dòng)。記

W（t）＝Δb1x＋Δb2x′＋…＋Δbnx（n－1）＋f（·）＋w， W（t）被視為系統(tǒng)（1）的總擾動(dòng)。對(duì)系統(tǒng)（1）引入下述假設(shè)。

假設(shè)：未知函數(shù) w是連續(xù)可微的，記W·＝h。所有u，W，h及系統(tǒng)（1）的解是有界的，對(duì)于t≥0有｜h｜≤ρ，ρ是已知常數(shù)。

方程（1）用狀態(tài)空間形式改寫為

假設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)是難以測(cè)量的，假定非線性系統(tǒng)（2）是可控的，輸入u是有界的，輸入增益g是非零的，因此不失一般性設(shè)g＞0?？刂颇康氖窃O(shè)計(jì)終端滑模控制器，使得系統(tǒng)輸出y緊密跟蹤當(dāng)前模型不確定性和外部擾動(dòng)所生成的信號(hào)yd。

為了設(shè)計(jì)SISO不確定非線性系統(tǒng)（1）的終端滑模控制器，引入下述引理。

引理1［12］假設(shè)存在一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)V（t）使得：V·（t）＋αV（t）＋λVγ（t）≤0對(duì)于?t＞0，則V（t）在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)

2 LESO設(shè)計(jì)及收斂性分析

令xn＋1（t）＝W（t）是（2）的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，相應(yīng)的擴(kuò)展系統(tǒng)（2）如下：

此處x＝（x1x2… xn＋1）T∈Rn＋1表示擴(kuò)展系統(tǒng)狀態(tài)向量。上述擴(kuò)展系統(tǒng)矩陣形式如下：

系統(tǒng)（3）的LESO如下：

增益參數(shù)a1，a2，…，an，an＋1及ε要滿足

其中，P及Q是對(duì)稱正定矩陣。

注1此處LESO（4）的參數(shù)矩陣不同于文獻(xiàn)［21］中的矩陣。此外選擇總擾動(dòng)

作為擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)，即xn＋1（t）＝W（t）。所以該擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)并不包含已知線性動(dòng)力學(xué)性能項(xiàng)b1x＋b2x′＋…＋bnx（n－1）。這一跟蹤技術(shù)完全不同于文獻(xiàn)［21］及［22］中給出的典型的ESO方法。引入觀測(cè)誤差Z＝（z1z2… zn＋1）T，其中，zi＝xi－i，i＝1，2，…，n＋1。由（3）減去（4）得到誤差動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)如下：

定理1考慮滿足假設(shè)（1）的系統(tǒng)（6）的誤差，方程（6）的解Z：［t0t1］?Rn＋1，Z（t0）＝Z0是一致最終有界的，其最終上界是 κ（ε）＝即對(duì)任何0＜ε＜1，有｜｜Z｜｜≤κ（ε），?t≥tf（ε），此處

是帶有正常數(shù)v0的有限時(shí)間，v0與ε無(wú)關(guān)，與初始值有關(guān)。

由此，所有的ηi，i＝1，…，n＋1滿足下述所有微分方程

另一方面，如果V0≤?2，則V≤?2（t≥t0），從而存在一個(gè)有限時(shí)間函數(shù)tf（ε）使得對(duì)于t≥t0＋ tf（ε），V≤?2并且有。結(jié)合?的定義，對(duì)于t≥t0＋tf（ε），有

進(jìn)而，對(duì)于t≥t0＋tf（ε）有

注2由定理1在有限時(shí)間tf（ε）后，誤差估計(jì)進(jìn)入到閉球｛Z：｜｜Z｜｜≤κ（ε）｝。易證上述閉球的半徑可以由設(shè)計(jì)參數(shù)ε調(diào)節(jié)，而且因?yàn)?，當(dāng)ε?0誤差估計(jì)值Z?0，應(yīng)當(dāng)指出所提出的ESO方法是適用于具有已知線性及非線性動(dòng)力學(xué)性能項(xiàng)的擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)。

所以LESO（4）既可以對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行評(píng)估，又可以對(duì)系統(tǒng)擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)進(jìn)行評(píng)估，即

3 終端SMC設(shè)計(jì)

這里對(duì)于所有適于應(yīng)用LESO方法的系統(tǒng)狀態(tài)及總擾動(dòng)給出終端SMC方法。為了得到終端滑模跟蹤控制，定義s1＝y(tǒng)－yd，則s1對(duì)時(shí)間的n階導(dǎo)數(shù)為。由上式，對(duì)系統(tǒng)（1）的TSMC方法進(jìn)行的迭代如下［11］

這里αi＞0，βi＞0，pi及qi，（i＝1，2，…，n－1）是正的奇數(shù)并且pi＜qi，對(duì)于每一個(gè)si，i＝2，…，n－1，有

由此，基于終端滑模跟蹤控制方法的LESO可以設(shè)計(jì)為u＝－u0／g，

上述終端滑?？刂圃O(shè)計(jì)方法可以總結(jié)為下述定理。

定理2 考慮具有模型不確定性及外界擾動(dòng)的不確定非線性系統(tǒng)（1）及LESO被設(shè)計(jì)為（4）～（5）的形式在終端滑模跟蹤控制模型（15）中系統(tǒng)輸出y在有限時(shí)間內(nèi)收斂于所需信號(hào)yd。

證明把（15）代入（14）得

根據(jù)引理1及（17）可以知道s1＝y(tǒng)－yd?0即y?yd。（證畢）

4 數(shù)值模擬

給定的數(shù)值模擬的結(jié)果說(shuō)明了本文所提出的控制方法的有效性?？紤]一個(gè)二階系統(tǒng)模型：

系統(tǒng)（18）的狀態(tài)空間形式為

這里模型的不確定性參數(shù)為Δb1＝0.02sin（πt），Δb2＝0.02cos（πt），系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)函數(shù)，外界擾動(dòng)參數(shù) w（t）＝2sin（0.1πt）＋3sin，所以總擾動(dòng)參數(shù)為

為了設(shè)計(jì)LESO及滑?？刂?，增益參數(shù)分別取做：ε＝0．01，a1＝2．825 2，a2＝4．408 5，a3＝0．912 9，α1＝50，β1＝0．5，δ＝60，μ＝0．8，p1＝5，q1＝7，初始狀態(tài)條件任意選擇為x1＝0．1，x2＝0．2，預(yù)定軌跡取作yd＝2sin（0.2t）。LESO及滑模跟蹤控制方法如下給定

圖1～2給出了將控制器（21）應(yīng)用到系統(tǒng)（19）數(shù)值模擬結(jié)果。圖1（a）說(shuō)明系統(tǒng)輸出曲線、所需信號(hào)曲線、跟蹤誤差曲線，圖1（b）分別給出了控制律曲線，由圖1（a）可以看到除了某些由LESO的高增益引起的尖點(diǎn)外，跟蹤誤差非常小，此外，圖1中的（b）說(shuō)明控制量很小。圖2表明LESO的跟蹤性能，由圖2可以看到LESO的輸出可以緊密跟蹤系統(tǒng)狀態(tài)及總擾動(dòng)因素，且誤差很小，所以系統(tǒng)狀態(tài)及總擾動(dòng)被其估值替代其在系統(tǒng)控制律的設(shè)計(jì)當(dāng)中可以被消除。

圖1 輸出值y，理想信號(hào)yd以及控制律u的曲線Fig.1 Trajectories of output y，desired signal ydas well as control law u

圖2 LESO的跟蹤性能Fig.2 Tracking performance of LESO

5 結(jié)束語(yǔ)

本文對(duì)于一類LESO非線性不確定系統(tǒng)提出了基于終端滑模跟蹤的LESO算法，這一LESO算法以任意小的誤差逼近系統(tǒng)狀態(tài)以及總擾動(dòng)參數(shù)。該總擾動(dòng)參數(shù)的估計(jì)值被用來(lái)補(bǔ)償原系統(tǒng)并進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)擾動(dòng)的衰減和消除，本文所提出的終端滑?？刂破骺梢员ＷC系統(tǒng)輸出緊密跟蹤所需信號(hào)，最后數(shù)值模擬結(jié)果表明所提出的滑模跟蹤控制方法是有效的。

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Composite terminal sliding mode tracking control and extended state observer for SISO nonlinear uncertain systems

ZHONG Xiao?zhu1，MA Yue?chao2，LIU Jin?xian1，XING Hai?long3，WANG Zhi?li1
（1.Department of Public Courses，Hebei College of Science and Technology，Baoding，Hebei 071000，China；2.College of Science，Yanshan University，Qinhuangdao，Hebei 066004，China；3.Science and Information College，Qingdao Agricultural University，Qingdao，Shangdong 266109，China）

In this paper，the terminal sliding mode tracking control is proposed for the single?input and single?output systems with known linear dynamics，unknown nonlinear dynamics as well as internal model uncertainties and external disturbance.And the system states are unavailable for measurement.The terms including unknown complicated nonlinear dynamics，internal and external disturbances are defined as total disturbance，and it is considered as an augmented state of model plant.Then this augmented state and the system states can be estimated simultaneously through a linear extended state observer.This method is to design an observer which can guarantee the approximation error to be uniformly ultimately bounded with respect to a ball whose radius is a function of design parameters.So this ball radius can be arbitrarily as small as desired by tuning design parameters.Based on the outputs of the designed linear extended state observer，the terminal sliding mode controller has been proposed，which can guarantee the system out?put to closely track the desired signal.Numerical simulation results are given to illustrate the effectiveness of the proposed controller. Key words：sliding mode control；extended state observer；nonlinear system；uniformly ultimately bounded

TP13

A

10．3969／j．issn．1007?791X．2015．05．008

1007?791X（2015）05?0431?07

2015?02?20 基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61273004）；河北省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（F2014203085）

鐘曉珠（1948?），男，河北樂(lè)亭人，教授，主要研究方向?yàn)椴罘址匠汤碚?、控制理論?通信作者：馬躍超（1963?），男，遼寧鳳城人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)榭刂评碚?，Email：myc6363＠126.com。