廣義算子半群的ShishaMond型概率逼近問(wèn)題

通訊作者，Email：cc9089@163.com.，倉(cāng)定幫，劉海生，葛世剛（華北科技學(xué)院基礎(chǔ)部，中國(guó) 北京101601）

摘要給出了廣義算子半群的連續(xù)修正模的定義，基于此對(duì)廣義算子半群的概率逼近問(wèn)題進(jìn)行了研究.在不同的概率分布形式下，給出了廣義算子半群ShishaMond型概率逼近形式和速度估計(jì).

關(guān)鍵詞廣義算子半群;連續(xù)修正模;概率逼近

中圖分類號(hào)O177.2文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼A文章編號(hào)10002537（2015）06008805

ShishaMond Probabilistic Approximation for Generalized Operator Semigroups

CHEN Cang*， CANG Dingbang， LIU Haisheng， Ge Shigang

（Basic Department， North China Institute of Science and Technology， Beijing 101601， China）

AbstractDefinition of continuous modified modulus is presented in this work and then used to address the problem of probabilistic approximation for generalized operator semigroups. The ShishaMond probabilistic approximation formulas and convergent rates are given under different forms of probability distributions as well.

Key wordsgeneralized operator semigroups; continuous modified modulus; probabilistic approximation

自1942年，為了解決偏微分方程的初值問(wèn)題，以Hille與Yosida為代表的一些數(shù)學(xué)家提出了Banach空間上強(qiáng)連續(xù)C0半群理論.此后，算子半群理論得到了不斷的充實(shí)與發(fā)展.根據(jù)不同應(yīng)用背景，C半群、積分半群等理論不斷被提出[15]，在解決偏微分方程領(lǐng)域起著非常重要的作用.分布參數(shù)控制系統(tǒng)、現(xiàn)代航天技術(shù)等工程領(lǐng)域中引人注目的問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型均為其有力的背景.

廣義分布參數(shù)系統(tǒng)，即對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的系數(shù)算子不一定可逆的系統(tǒng)，是由廣義偏微分方程、廣義積分方程或無(wú)限維空間中廣義抽象微分方程所描述的系統(tǒng)的總稱.由于其具有強(qiáng)有力的物理背景，如復(fù)合材料的溫度分布問(wèn)題、電磁耦合超導(dǎo)線路中的電壓分布問(wèn)題等，近年來(lái)得到了廣泛的研究[15].文獻(xiàn)[1]研究了下面的齊次與非齊次的廣義分布系統(tǒng)

Bdxdt=Ax

x（0）=x0 ?， Bdxdt=Ax+f（x）

x（0）=x0，

的求解問(wèn)題，其中B是有界線性算子，A為線性閉算子.通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)上面的問(wèn)題要想通過(guò)Laplace變換和卷積公式進(jìn)行計(jì)算存在困難，由此提出了廣義預(yù)解式和廣義算子半群的概念，從而為研究上述廣義系統(tǒng)的適定性提供了新的方法.

半群的概率表示形式是半群理論研究的重要內(nèi)容[615]，本文對(duì)廣義算子半群的概率逼近問(wèn)題進(jìn)行了研究，以較為簡(jiǎn)單的形式給出了廣義算子半群概率逼近形式和速度估計(jì).

湖南師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)第38卷第6期陳藏等：廣義算子半群的ShishaMond型概率逼近問(wèn)題1定義與引理

定義1[1] 設(shè)E是Banach空間上的有界線性算子，A是閉線性算子，稱ρ（B，A）={λ：λ∈C，（λB-A）-1是Banach空間上的線性算子}為算子A的廣義預(yù)解集，ρ（B，A）的余集稱為A的B廣義譜集，記為σ（B，A）.對(duì)λ∈ρ（B，A），稱R（λB，A）=（λB-A）-1為A的B廣義預(yù)解式.

定義2[1] 設(shè)X是Banach空間，B（X）是X上的有界線性算子全體，設(shè)單參數(shù)算子{T（t）}t≥0∈B（X），B是一個(gè)有界線性算子，若T（t+s）=T（t）BT（s），t，s≥0，則稱{T（t）}t≥0是由E引導(dǎo)的廣義算子半群，簡(jiǎn)稱廣義算子半群.

定義3[1] 設(shè)A是X中的閉稠定線性算子，{T（t）}t≥0是強(qiáng)連續(xù)有界線性算子，且存在M>0，η∈R，使得T（t）≤Meηt成立，E是一個(gè)有界線性算子，若下面的式子成立：

（λB-A）-1=R（λB，A）=∫∞0e-λtT（t）dt，λ∈C，Reλ>ω0，

此時(shí){T（t）}t≥0稱為由B引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群.

定義4設(shè)b>0，{T（t）}t≥0為由B引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群，記

w（τ，t，x）=sup{B（（T（t）-T（s））x：s，t∈[0，b]，t-s<τ}，

稱w（τ，t，x）為廣義算子半群{T（t）}t≥0的B連續(xù)修正模.

定義5設(shè)X為隨機(jī)變量，*X（t）=E[etX]，X的生成函數(shù)為X（t）=E[tX]，取X=∑Nk=1Yk，{Yk}∞k=1是隨機(jī)變量Y的獨(dú)立同分布列，且與N獨(dú)立，且有

*X（t）=N（*Y（t））.

引理1若{T（t）}t≥0稱為由E引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群，則T（t）Ex-x=A∫t0T（s）xds，t≥0.

證x∈D（A），Reλ>ω0有

λ∫∞0e-λtxdt=x=λBR（λB，A）x-AR（λB，A）x=λ∫∞0e-λtBT（t）xdt-∫∞0e-λtT（t）Axdt=

λ∫∞0e-λtBT（t）xdt-λ∫∞0e-λt∫t0AT（t）xdsdt，

再根據(jù)Laplace變換的唯一性可知BT（t）x-x=∫t0AT（s）xds.

引理2{T（t）}t≥0為由B引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群，有

‖B（S（t）x-S（t0））x‖≤M‖B‖eηt0w（x，0，τ）.

證由于t0=0時(shí)，上式明顯成立，不妨設(shè)t0>0，當(dāng)X且|t-t0|≤τ時(shí)，有

‖B（S（t）x-S（t0））x‖≤‖BS（t0）‖B（S（t-t0）-S（0））x‖≤M‖B‖eηt0w（x，0，τ），

其中η≥0，證畢.

引理3設(shè)Y是非負(fù)N且期望E（X）=t≥0，方差E[（X-t）2]σ2（t），{T（t）}t≥0為由B引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群，*X（ω）=E[eωX]<+∞，則對(duì)每個(gè)x∈X和λ>0有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤M‖B‖eηtmin（1+λ-1，1+λ2）ω（x，t，λσ（t））.

證根據(jù)連續(xù)模的定義和（1）式，對(duì)每個(gè)x∈Xc和δ>0，有

‖BT（X）x-BT（t）x‖≤M‖B‖eωtω（x，t，|X-t|）≤

M‖B‖eωtω（x，t，δ）min（1+δ-1|X-t|，1+δ-2|X-t|2）.

由于*X（ω）<+∞，所以算子值隨機(jī)變量T（X），在廣義Pettis積分意義下，期望E[TS（X）]∈B（X），且對(duì)每個(gè)x∈X，有E[BT（X）]x=BT[E（X）x]，因而由Schwartz不等式，對(duì)τ>0有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖=‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤E（‖BT（X）x-BT（t）x‖）≤

Meωtω（x，0，τ）min（1+τ-1σ（t），1+τ-2σ2（t））.

特別取τ=λσ（t）（λ>0），由上式得到所需的估計(jì)式.

直接計(jì)算得到，對(duì)h>0，t∈（-∞，+∞），有∫|t|0（1+[τh]dτ）≤12h（|t|+h2）2因而，對(duì)h>0，有 ∫x1（1+[|u-t|h]）du≤12h（|X-t|+h2）2.

引理4在引理2條件下，對(duì)每個(gè)x∈D（A）和λ>0，有

‖E[T（X）]x-T（t）x‖≤Meωtmin（1+12λ-1，18λ-1（2+λ）2）σ（t）ω（Ax，0，λσ（t））.

證由于x∈D（A）c必有x∈D（A），所以對(duì)X，t≥0有

BT（X）x-BT（t）x=∫XtT（u）Axdu，

BT（X）x-BT（t）x=（X-t）T（t）Ax+∫Xt[T（u）Ax-T（t）Ax]du.

由此由連續(xù)模定義，對(duì)τ>0有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤E（|∫Xt‖BT（u）Ax-BT（t）Ax‖du|））≤

Meωtω（Ax，0，τ）E（∫Xt（1+[|u-t|τ]）du.

一方面利用不等式[|u-t|τ]≤|u-t|τ，另一方面對(duì)τ>0，有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤Meωtω（Ax，0，τ）min{σ（t）（1+σ（t）2τ），12τ（σ（t）+τ2）2}.

特別取τ=λσ（t）（λ>0），由上式導(dǎo)出，對(duì)每個(gè)x∈D（A）和λ>0，有

‖E[BT（X）]x-BT（t）x‖≤Meωtmin（1+12λ-1，18λ-1（2+λ）2）σ（t）ω（Ax，0，λσ（t）），

證畢.

設(shè)N≥0是E（N）=η≥0的整數(shù)值隨機(jī)變量，Y是E（Y）=γ的非負(fù)隨機(jī)變量，且ησ2（Y）+γ2σ2（N）>0，又設(shè){Yk}∞k=1是與Y同分布的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記X=∑Nk=1Yk，則有E（X）=ηγ和σ2（X）=ησ2（Y）+γ2σ2（N）.再設(shè){Xk}+∞k-1是與X同分布的獨(dú)立隨機(jī)變量序列，記Sn=∑nk=1Xk.

引理5{T（t）}t≥0為由B引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群則在廣義Pettis積分意義下，期望E[BT（Snn）]存在，并且有E[BT（Snn）]={N[E（BT（Yn））]}n.

證E[BT（1n∑nk=1Xk）]=En[BT（Xn）]=En[BT（1n∑Nk=1Yk）]=

{∑∞i=0E[BT（1n∑Nk=1Yk）|N=i]P{N=i}}n=

{∑∞i=0E[BT（1n∑ik=1Yk）|N=i]P{N=i}}n={∑∞i=0Ei[BT（Yn）]P{N=i}}n=

{∑∞i=0Ei[BT（Yn）]P{N=i}}n={N[B[T（Yn）]]}n.

2主要結(jié)論

由引理3，4和5可以得到如下定理1.

定理1設(shè)對(duì)某個(gè)δ1>0，有N（δ1）<+∞，又對(duì)某個(gè)δ2>0，有*Y（δ2）<+∞，{T（t）}t≥0為由B引導(dǎo)的以A為生成元的指數(shù)有界的廣義算子半群，則對(duì)每個(gè)η≥0、γ>0及充分大n，有如下估計(jì)：

（1）對(duì)每個(gè)x∈X和λ>0，有

‖{N[E（BT（Yn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤Meωηγmin（1+λ-1，1+λ-2）ω（x，0，ησ2（Y）+γ2σ2（N）n）;

（2）對(duì)每個(gè)x∈D（A）和λ>0，有

‖{N[E（BT（Yn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（2λ+12λ，（2+λ）28λ）ησ2（Y）+γ2σ2（N）nω（Ax，0，ησ2（Y）+γ2σ2（N）n）;

（3）特別在（2）中取λ=ησ2（Y）+γ2σ2（N）得到對(duì)每個(gè)x∈X，有

‖{N[E（BT（Yn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+ησ2（Y）+γ2σ2（N），1+ησ2（Y）+γ2σ2（N））ω（x，0，1n）;

（4）對(duì)每個(gè)x∈D（A），有

‖{Nη[E（BT（Yγn））]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+ησ2（Y）+γ2σ2（N）2，（2ησ2（Y）+γ2σ2（N）+1）28）1nω（Ax，0，1n）.

推論1設(shè)N≥0是服從E（N）=η≥0的兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量， Y=γ是常數(shù)，對(duì)x∈X有：

‖{[（1-η）I+BT（γn）η]}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+γη（1-η），1+γ2η（1-η））ω（x，0，1n）.

推論2設(shè)N≥0是服從E（N）=η≥0的Polya分布隨機(jī)變量， Y=γ是常數(shù)，對(duì)x∈X有

‖{[（1+αη）I-αηBT（γn）η]}-nαx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+γη（1-η），1+γ2η（1-η））ω（x，0，1n）.

推論3設(shè)N≥0是服從E（N）=η≥0的Poisson分布的隨機(jī)變量， Y=γ是常數(shù)，對(duì)x∈X有

‖enη[BT（γn）-I]x-BT（ηγ）x‖≤Meωηγmin（1+γη（1+αη），1+γ2（η（1+αη）））ω（x，0，1n）.

推論4設(shè)N≥0是服從E（N）=η≥0的指數(shù)分布的值隨機(jī)變量， Y=γ是常數(shù)，對(duì)x∈X有

‖{nγBR（nηγB，A）}nx-BT（ηγ）x‖≤Meωηγmin（1+γη，1+γ2η2）ω（x，0，1n）.

推論5設(shè)N≥0是服從E（N）=η≥0的兩點(diǎn)的值隨機(jī)變量， Y是服從E（Y）=γ的指數(shù)分布，，對(duì)x∈X有

‖{nBR（nηB，A）+（1-I）η}nx-BT（ηγ）x‖≤

Meωηγmin（1+ηγ2+γ2η（1-η），1+ηγ2+γ2η（1-η））ω（x，0，1n）.

最后指出，當(dāng)B≡I時(shí)，文中的所有估計(jì)式，相應(yīng)地導(dǎo)出（C0）類算子半群概率表示式的ShishaMond型估計(jì).

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