基于恒定電流的密繞圓形螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)研究

白明俠+羅文輝

摘 要：闡述和推導(dǎo)基于恒定電流的有限長(zhǎng)密繞圓形螺線管磁感應(yīng)強(qiáng)度，利用復(fù)化數(shù)值積分方法給出螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的具體公式，并與霍爾效應(yīng)測(cè)量螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比分析，得出在當(dāng)軸線長(zhǎng)遠(yuǎn)大于螺線管半徑時(shí)，螺線管內(nèi)磁場(chǎng)可近似看成勻強(qiáng)磁場(chǎng)；當(dāng)軸線長(zhǎng)與螺線管半徑相接近時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度有徑向分量。

關(guān)鍵詞 ：恒定電流；圓柱形螺線管；有限長(zhǎng)；磁場(chǎng)

DOI：10.16640/j.cnki.37-1222/t.2015.24.102

1 引言

電磁場(chǎng)研究中比較重要的元器件之一便是螺線管，而螺線管在天文探測(cè)、地質(zhì)研究、地理勘探等多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-2]。對(duì)螺線管內(nèi)磁場(chǎng)計(jì)算與討論主要集中在螺線管內(nèi)部的軸線上，并且磁場(chǎng)不隨位置變化，但有限長(zhǎng)螺線管存在邊緣效應(yīng)，此種效應(yīng)對(duì)中心軸線外，螺線管內(nèi)部其他各點(diǎn)的磁場(chǎng)影響是否有影響，螺線管內(nèi)部磁場(chǎng)的分布如何？近幾年部分研究者將研究重心轉(zhuǎn)移，對(duì)螺線管內(nèi)外磁場(chǎng)均進(jìn)行研究：程昌林[3]等人2003年利用數(shù)學(xué)中級(jí)數(shù)解法的給出了磁場(chǎng)的公式，但并不能真正解答磁感應(yīng)強(qiáng)度是否隨位置變化；惠小強(qiáng)[4]等人2004年利用作圖方式描繪了特定位置磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的曲線；江俊勤[5]2012年給出了詳細(xì)的數(shù)值分析，但是并未給出最終表達(dá)式。本文在前面研究者的基礎(chǔ)上給出磁感應(yīng)強(qiáng)度復(fù)化數(shù)值積分的表達(dá)形式，并利用實(shí)驗(yàn)對(duì)比螺線管內(nèi)部磁感應(yīng)強(qiáng)度大小和方向。

2 理論基礎(chǔ)

如圖1所示，在螺線管內(nèi)部建立直角坐標(biāo)系，將有限長(zhǎng)螺線管內(nèi)部中心軸中心點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，y軸沿中心軸方向，螺線管半徑用R表示 ，螺線管總長(zhǎng)為l，總匝數(shù)為N，通電流強(qiáng)度為I的恒定電流，利用畢奧-薩法爾定律可以得到元面積電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)：

式中

則螺線管內(nèi)部任一點(diǎn)這p（x，y，z）的磁場(chǎng)可利用三維坐標(biāo)及角度表示成

則計(jì)算得：

（1）

（2）

（3）

分別對(duì)（1）、（2）和（3）進(jìn)行dy'積分，后得到d的表達(dá)式，可得到：

（4）

（5）

（6）

其中

利用下式（復(fù)化辛普森公式）對(duì)（4）、（5）、（6）三個(gè)式子進(jìn)行數(shù)值積分展開，

區(qū)間分4等份，近似可得：

其中

當(dāng)x=y=z=0時(shí)，可得，Bx=Bz=0，By=，與B=μ0nI（其中n為螺線管單位長(zhǎng)度上的匝數(shù)）近似相等。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

依據(jù)推導(dǎo)出的公式，計(jì)算相應(yīng)理論數(shù)據(jù)，并利用霍爾效應(yīng)測(cè)量螺線管磁場(chǎng)（ZKY-LS螺線管磁場(chǎng)實(shí)驗(yàn)儀和ZKY-LC磁場(chǎng)測(cè)試儀），其中霍爾靈敏度KH為188.0V/A·T，N=2515匝，，得到具體實(shí)驗(yàn)數(shù)值，與相應(yīng)的部分理論值進(jìn)行對(duì)照得到理論表達(dá)式計(jì)算出的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的值接近，說明公式準(zhǔn)確；與螺線管軸線（y軸）為中心軸的螺線管內(nèi)部（l>>R）均可以看成是勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小幾乎不變；最后，螺線管兩側(cè)端面處磁場(chǎng)是最大磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半。 當(dāng)l與R較接近時(shí)，理論數(shù)據(jù)算出，磁感應(yīng)強(qiáng)度有徑向分量，這一結(jié)論與很多學(xué)者[5]得到的結(jié)論相同。

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基金項(xiàng)目：寧夏回族自治區(qū)教研教改項(xiàng)目-《應(yīng)用型本科院校大學(xué)物理及實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)改革》（2012-78）

作者簡(jiǎn)介：白明俠（1983-），女，滿族，研究方向：物理學(xué)。endprint