例談反比例函數(shù)K值的求解策略

王杰

摘要：探索定值三角形與定值矩形面積轉(zhuǎn)化問題的求解策略、探索坐標(biāo)系中特殊四邊形的面積與定值矩形面積的倍數(shù)關(guān)系、探索反比例函數(shù)圖象單支上雙交點(diǎn)問題的解題策略與方法。

關(guān)鍵詞：反比例；函授；策略

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號(hào)：1674-9324（2015）09-0172-02

近年來有關(guān)反比例函數(shù)的問題愈加活躍在中考舞臺(tái)上，并呈現(xiàn)出愈加靈活、有深度和難度的趨勢(shì)。而有關(guān)反比例函數(shù)K值的求解問題更是成為眾矢之的。下面本人就近年的各省市出現(xiàn)的有關(guān)K值的求解問題加以歸類和總結(jié)。

一、同底等高類

此類問題是基于K的幾何意義和結(jié)合同底等高的三角形面積相等和同底等高的平行四形（或矩形）的 面積相等來出題的。

（一）同底等高三角形類

1.如圖1，A是反比例函數(shù)y= 圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)A作AB⊥y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P在x軸上，則△ABP面積為 。

2.如圖2，已知反比例函數(shù)= 和= ，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，過點(diǎn)A作直線BC∥x軸，且分別與兩個(gè)反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)B和C，點(diǎn)P為X軸上任意一點(diǎn)，連接PC、PB。則△BPC的面積為 。

3.如圖3，過x軸正半軸任意一點(diǎn)作x軸的垂線，分別與反比例函數(shù)y1=和y2=的圖像交于點(diǎn)A和點(diǎn)B。若點(diǎn)C是y軸上任意一點(diǎn)，連結(jié)AC、BC，則△ABC的面積為 。

解析：在圖2中如果以y軸為軸對(duì)拆其中一條函數(shù)的圖象就會(huì)由k值求和問題轉(zhuǎn)化為圖3中的k值求差的問題，同樣在圖3中如果以x軸為軸對(duì)拆其中一條函數(shù)的圖象就會(huì)由k值求差的問題轉(zhuǎn)化為圖2中k值求和的題。

總結(jié)：（1）圖形1類問題利用公式S△ABP=S△AOB=

（2）圖形2類問題利用公式：

S△BCP=S△BOC= +

（3）圖形3類問題利用公式：

S△ABC=S△AOB= -

（二）同底等高類平行四邊形問題

1.如圖4，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=- （x<0）的圖象上的一點(diǎn)，過點(diǎn)A作平行四邊形ABCD，使點(diǎn)B、C在x軸上，點(diǎn)D在y軸上，則平行四邊形ABCD的面積為 。

2.如圖5，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y= （x>0）的圖象上任意一點(diǎn)，AB∥x軸交反比例函數(shù)y=- 的圖象于點(diǎn)B，以AB為邊作？荀ABCD，其中C、D在x軸上，則S？荀ABCD為

。

解析：圖4中平行四邊形ABCD的面積=矩形AMOD的面積=6；圖5中平行四邊形ABCD的面積=矩形ABMN的面積=|k1|+|k2|=3+2

二、圖象與矩形相交類

1.如圖6，矩形AOBC的面積為4，反比例函數(shù)y= 的圖象的一支經(jīng)過矩形對(duì)角線的交點(diǎn)P，則該反比例函數(shù)的解析式是 。

2.如圖7，反比例函數(shù)y= （x>0）的圖象經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，分別于AB、BC交于點(diǎn)D、E，若四邊形ODBE的面積為9，則k的值為 。

解析：此類問題最明顯的特點(diǎn)是反比例函數(shù)的圖象與矩形的兩邊相交且經(jīng)過對(duì)角線的中點(diǎn)。本類問題求解的通法是利用大矩形的面積是定值矩形面積的4倍列方程。

三、圖象單支雙交點(diǎn)類

1.（2013·瀘州）如圖8，已知函數(shù)y= x與反比例函數(shù)y= （x>0）的圖象交于點(diǎn)A.將y= x的圖象向下平移6個(gè)單位后與雙曲線y= 交于點(diǎn)B，與x軸交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若 =2，求反比例函數(shù)的解析式。

2.（2010·蘭州）如圖9，P1是反比例函數(shù)y= （k>0）在第一象限圖象上的一點(diǎn)，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（2，0）.

（1）當(dāng)點(diǎn)P1的橫坐標(biāo)逐漸增大時(shí)，△P1OA1的面積將如何變化？

（2）若△P1OA1與△P2A1A2均為等邊三角形，求此反比例函數(shù)的解析式及A2點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：此類問題的特點(diǎn)是雙曲線的一條分支與圖形有兩個(gè)交點(diǎn)，利用坐標(biāo)絕對(duì)值的比值和三角形的相似比設(shè)出線段長(zhǎng)，然后利用k值相等列方程。

以上是本人結(jié)合近年的中考試題總結(jié)出來的關(guān)于反比例函數(shù)k的幾何意義的解題策略，需要說明的是由于這一知識(shí)點(diǎn)越來越成為各地市出題的熱點(diǎn)，所以題目的靈活性越來越強(qiáng)，鑒于此本文對(duì)于k的探討也不可能窮盡所有問題，因而需要我們善于把出現(xiàn)的新問題轉(zhuǎn)化入已有的知識(shí)體系中，用已有的知識(shí)體系去解決，這才是以不變應(yīng)萬(wàn)變的所在，也是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法的真正所在。