基于改進(jìn)廣義cat映射的彩色衛(wèi)星圖像加密算法

張新，柏逢明

（長春理工大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，長春 130022）

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，保護(hù)圖像的安全顯得越來越重要，尤其是軍事或商業(yè)衛(wèi)星圖像涉及國家機(jī)密、軍事安全和公司利益等，因此要保證在存儲和傳輸過程中圖像的安全?；煦缦到y(tǒng)具有對初始條件的極端敏感性和非周期性，可以很好的運用于圖像加密。近年來，許多學(xué)者利用混沌系統(tǒng)對圖像加密進(jìn)行了大量的研究。Chen等［1］提出利用二維廣義Arnold變換構(gòu)造三維Arnold變換。王猛［2］提出了一種基于maker map混沌理論的衛(wèi)星圖像加密技術(shù)，但是安全性不高，密鑰直接設(shè)定容易被破解。吳成茂［3］提出一種離散Arnold變換改進(jìn)及其在圖像置亂加密中的應(yīng)用，取得了良好的加密效果，但是只是基于離散二維Arnold映射改進(jìn)進(jìn)行了實驗結(jié)果和分析。本文提出了一種基于改進(jìn)廣義cat映射的彩色衛(wèi)星圖像加密算法。通過理論分析和仿真實驗檢測，結(jié)果能夠達(dá)到相應(yīng)的安全水平。

1 基本理論

1.1 復(fù)合混沌映射CCM［4］（compound chaos mapping）

標(biāo)準(zhǔn)帳篷映射的方程為：

研究表明，當(dāng) μ＞1時，方程（1）表現(xiàn)為混沌狀態(tài)，并且混沌帶隨著μ增大而逐漸擴(kuò)大。

Logistics混沌映射為：

當(dāng)3.5699456＜λ≤4時，Logistics映射處于混沌狀態(tài)。當(dāng)λ=4時，在(0,1)上達(dá)到滿映射。因此當(dāng)取值 λ=4時，式（2）變?yōu)椋?/p>

由于式（1）中xn的值始終處在(0,1)之間，即無論對（1）式怎樣取值，其值域都不會超出式（3）的定義域范圍，因此，將式（1）代入到（3）中，便得到新的復(fù)合混沌映射，稱其為CCM：

復(fù)合混沌映射的分插圖如圖1，可見當(dāng)μ∈(0.4,2)時，該系統(tǒng)處于一種混沌態(tài)。

圖1 CCM分叉圖

1.2 改進(jìn)的廣義cat映射

為了提高圖像的置亂效果，下面對廣義cat映射進(jìn)行了改進(jìn)。

廣義Arnold映射的方程定義為：

其中det(A)=1；a,b以 N為周期，故要求a,b∈N。

將式（5）的方程組形式改寫為：

針對式（6），將其改進(jìn)表達(dá)式為：

其中 f(xn+1)=x2n+1。

對于式（7），其可逆映射表達(dá)式為：

根據(jù)有限整數(shù)域上的可逆變換一定存在變換周期的判定定理，可得知式（8）仍是一種具有周期的可逆一一映射，可以利用其逆映射或者是其周期性便能恢復(fù)置亂前原圖像。

2 彩色衛(wèi)星圖像加密算法

本文提出的加密算法是一種改進(jìn)廣義cat映射的加密算法。在置亂階段，應(yīng)用改進(jìn)的廣義cat映射以不同的參數(shù)和迭代次數(shù)對原始圖像的三個色彩分量進(jìn)行三輪置亂。在擴(kuò)散階段，由CCM復(fù)合混沌映射對置亂圖像進(jìn)行擴(kuò)散。加密流程圖如圖2所示。

圖2 加密流程圖

原始圖像I是N×N×3大小的彩色衛(wèi)星圖像，CCM映射的初始條件x1(0)，x2(0)和x3(0)，控制參數(shù)m1，m2和m3以及M作為部分加密密鑰。

當(dāng)初始條件為x1(0)和控制參數(shù)為m1，迭代CCM產(chǎn)生一個序列I1(n)，取序列的第M 個值，得到x1(M)；同樣的方法，當(dāng)初始條件為x2(0)和控制參數(shù)為m2，迭代CCM產(chǎn)生一個序列I2(n)，取序列的第M個值，得到x2(M)；當(dāng)初始條件為x3(0)和控制參數(shù)為m3，迭代CCM產(chǎn)生一個序列I3(n)，取序列的第 M 個值，得到 x3(M)。 x1(M)，x2(M)，x3(M)和I1(n)，I3(n)，I3(n)分別用于置亂階段和擴(kuò)散階段。

在置亂階段使用改進(jìn)后的廣義cat映射，如式（9）所示：

圖3 “長春理工大學(xué)”彩色原始圖像（a），加密圖像（b）和解密圖像（c）

控制參數(shù)a，b如下式描述：

根據(jù)（9）式，對原始圖像三個色彩分量RGB分別進(jìn)行三輪置亂，得到置亂圖像CR，CG，CB。

在擴(kuò)散階段，由CCM映射產(chǎn)生的I1(n)，I2(n)，I3(n)，對此三個序列分別進(jìn)行隔d個點抽樣成有N×N 個序列值的序列Y1(n)，Y2(n)，Y3(n)，如式（11）所示：

其中，Yj(n)的序列長度為N×N，d為正整數(shù)。因為圖像的大小為N×N，所以CCM所產(chǎn)生的三個Ij(n)的序列長度L≥N×N，j=1,2,3。

擴(kuò)散密鑰流Kj由（12）式方法生成：

這里，i=1,2,3,...,ceil(N×N)，j=1,2,3。

將密鑰流Kj(i)從上到下，從左到依次進(jìn)行排列將其轉(zhuǎn)化為三個N×N的矩陣：X1，X2，X3。

置亂圖像通過Xj矩陣進(jìn)行擴(kuò)散加密，得到密文矩陣：

然后將此處的SR，SG和SB這三個矩陣進(jìn)行色彩合成既得到加密圖像。

解密圖像就是對加密算法進(jìn)行逆運算。

3 實驗性能分析

3.1 直方圖分析

在MATLAB 2010系統(tǒng)條件下，采用256×256像素的“長春理工大學(xué)”彩色衛(wèi)星圖像作為明文圖像，CCM映射的初始值和控制參數(shù)分別為：x1(0)=0.2899，m1=1.6；x2(0)=0.5193，m2=1.4；x3(3)=0.0048，m3=0.8；M=300；d=1000。原始圖像、加密圖像、解密圖像由圖3給出，其三個RGB色彩分量像素直方圖由圖4給出。如圖4可見，加密圖像的直方圖均勻分布，具有很好的統(tǒng)計特性，可以抵抗統(tǒng)計攻擊。

圖4 “長春理工大學(xué)”原始圖像（a），加密圖像（b）和解密圖像（c）的RGB三個色彩分量直方圖

3.2 密鑰空間

本文的加密算法采用了復(fù)合混沌映射，其三對初始值和控制參數(shù)作為密鑰，則其組成的密鑰空間至少為1042；密鑰M以及抽樣隔點d都可以增大密鑰空間。加密圖像專家建議密鑰空間大于264可以抵抗暴力破解，因此該加密算法足夠安全。

3.3 密鑰敏感性分析

為了驗證該算法的敏感性，在保持其他密鑰值不變的前提下，現(xiàn)對解密密鑰做如下改動：將CCM映射的初始值密鑰x1(0)改為0.2898，得到的解密圖像如圖5（a）；將CCM映射的控制參數(shù)m1改為1.5，得到的解密圖像如圖5（b）；將 M 改為299，得到的解密圖像如圖5（c）。

圖5 錯誤解密結(jié)果

由圖5可知，即使是對密鑰做微小的改變，解密圖像也是錯誤的，滿足了雪崩效應(yīng)，因此該算法具有很強(qiáng)的密鑰敏感性。

3.4 信息熵分析

對加密圖像的RGB三個分量進(jìn)行信息熵分析，通過MATLAB系統(tǒng)計算，“長春理工大學(xué)”彩色衛(wèi)星圖的三個色彩分量的信息熵分別為：HR(m)=7.9895，HG(m)=7.9898，HB=7.9900，非常接近理想值8。由此可見，加密圖像的信息熵足夠大，可以有效地抵抗熵攻擊。

3.5 像素相關(guān)性分析

隨機(jī)選取原始圖像和加密圖像的1000對水平相鄰像素、垂直相鄰像素、以及對角相鄰像素的相關(guān)性，由圖6所示。

圖6 “長春理工大學(xué)”彩色衛(wèi)星圖像的相關(guān)性

其中，（a）原始圖像水平方向相鄰像素；（b）加密圖像水平方向相鄰像素；（c）原始圖像垂直方向相鄰像素；（d）加密圖像垂直方向相鄰像素；（e）原始圖像對角方向相鄰像素；（f）加密圖像對角方向相鄰像素。由此可見，加密后圖像像素相關(guān)性小，可以有效抵抗統(tǒng)計攻擊的能力。

4 結(jié)論

經(jīng)過實驗分析與仿真結(jié)果可知應(yīng)用復(fù)合混沌映射和和改進(jìn)后的cat映射對圖像進(jìn)行加密保證了該算法的復(fù)雜性的大大提高了圖像加密的效果。加密后像素分布均勻、相鄰像素點相關(guān)性很弱，具有抵抗統(tǒng)計攻擊能力強(qiáng)、有效抵抗熵攻擊、密鑰敏感性強(qiáng)等特點，算法安全性較高。將此方法運用到衛(wèi)星圖像加密中可以取得很好的效果。但是衛(wèi)星測繪不斷的發(fā)展，如何實現(xiàn)衛(wèi)星圖像的實時性要求、保證傳輸?shù)陌踩缘确浅Ｖ档醚芯俊?/p>

［1］Chen Guanrong，Mao Yaobin，Charles K Chui.A symmetric image encryption scheme based on 3D chaotic cat maps［J］.Chaos Solution and Fractals，2004（21）：749-761.

［2］王猛.提出了一種基于maker map混沌理論的衛(wèi)星圖像加密技術(shù)研究［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2008.

［3］吳成茂.離散Arnold變換改進(jìn)及其在圖像置亂加密中的應(yīng)用［J］.物理學(xué)報：2014，63（9）：090504-1-090504-20.

［4］李錦青，柏逢明，底小強(qiáng).基于Hopfield混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的彩色圖像加密算法研究［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，35（4）：117-121.

［5］趙希奇，柏逢明，呂貴花.基于混沌理論和Hash函數(shù)的自適應(yīng)圖像加密算法［J］.長春理工大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2014，37（4）：117-120.

［6］張雪峰，范九倫.一種新的分段非線性映射及其性能分析［J］.物理學(xué)報，2010，59（4）：2298-2304.