六自由度微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人工作空間分析

郭本銀，劉鈺，苗亮

（中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春 130033）

機(jī)器人工作空間是指機(jī)器人末端執(zhí)行器工作時(shí)所能到達(dá)的區(qū)域，是機(jī)器人性能評(píng)價(jià)的重要指標(biāo)［1-3］。根據(jù)執(zhí)行器工作時(shí)位姿變化等特點(diǎn)，工作空間主要分為可達(dá)工作空間和靈活工作空間。可達(dá)工作空間是指執(zhí)行器參考點(diǎn)所能打到的點(diǎn)的集合，靈活工作空間是指指執(zhí)行器參考點(diǎn)可以從任何方向到達(dá)的點(diǎn)的集合，可達(dá)工作空間包含靈活工作空間。并聯(lián)機(jī)器人執(zhí)行器的位姿受多個(gè)支鏈共同決定，這種特殊構(gòu)型使得并聯(lián)機(jī)器人不存在靈活工作空間。另外，與串聯(lián)機(jī)器人相比，并聯(lián)機(jī)器人雖然有良好的剛度及穩(wěn)定性，但是工作空間較小，是制約其性能的主要因素，所以對(duì)并聯(lián)機(jī)器人特別是微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行求解是非常有必要的。

并聯(lián)機(jī)器人工作空間的求解方法主要有兩類：解析法和數(shù)值法。解析法的代表為Gosselin［4］的幾何法，它利用曲面包絡(luò)原理求解各支鏈空間邊界，再利用曲面求交獲得實(shí)際工作空間，但是這種方法求解復(fù)雜難以實(shí)現(xiàn)。數(shù)值法是在空間中進(jìn)行掃描，利用機(jī)構(gòu)的逆解獲得當(dāng)前位姿對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，以邊界約束條件為判定依據(jù)從而獲得所有邊界點(diǎn)的方法［5，6］，該方法是求解并聯(lián)機(jī)器人工作空間的有效方法。

本文以實(shí)際研制的微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，在機(jī)構(gòu)組成及工作原理的基礎(chǔ)上分析了影響其工作空間的因素，為反映傾斜調(diào)整能力，選擇合適的歐拉角表達(dá)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了逆解的求解，利用數(shù)值法獲得了定姿態(tài)工作空間和靈活姿態(tài)角工作空間。

1 機(jī)構(gòu)組成及工作原理

本文實(shí)際研制的微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人是基于Stewart平臺(tái)的一種典型的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖1所示，由上下兩個(gè)剛性平臺(tái)和六個(gè)并聯(lián)的、可伸縮的支桿組成，各支桿兩端與上下兩個(gè)平臺(tái)相接，通過六個(gè)支桿的協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位置和姿態(tài)的調(diào)整。為了克服傳統(tǒng)球鉸或萬向鉸等運(yùn)動(dòng)副存在間隙和摩擦等對(duì)調(diào)整機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分辨率不利的問題，一方面在Stewart平臺(tái)的基礎(chǔ)上引入柔性鉸鏈來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的運(yùn)動(dòng)副，另一方面在六個(gè)支桿中設(shè)計(jì)位移縮小機(jī)構(gòu)。六條柔性支鏈成對(duì)使用，每對(duì)柔性支鏈軸向成120°均勻分布在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和基座平臺(tái)之間。單條柔性支鏈如圖2所示，兩端各有一個(gè)柔性萬向鉸，靠近其中一端有一個(gè)柔性片體，電機(jī)克服彈簧拉力的情況下進(jìn)行位移輸入，LVDT位移傳感器實(shí)時(shí)監(jiān)測位移變化來構(gòu)成控制閉環(huán)，柔性支鏈兩端距離會(huì)發(fā)生與電機(jī)位移成一定關(guān)系的微小變化。六路支鏈的長度變化量共同決定了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于基座平臺(tái)的位姿，從而實(shí)現(xiàn)了具有一定運(yùn)動(dòng)分辨率的精密調(diào)整功能。

圖1 六自由度并聯(lián)柔性精密調(diào)整機(jī)構(gòu)示意圖

圖2 單條柔性支鏈?zhǔn)疽鈭D

2 工作空間約束因素分析

并聯(lián)機(jī)器人的工作空間主要受到三個(gè)因素的影響，分別為：

（1）各個(gè)支鏈長度變化限制。每一路支鏈的長度變化范圍須滿足lmin≤li≤lmax，lmin和lmax分別表示每一路支鏈長度所能達(dá)到的最小值和最大值。

（2）運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制。各個(gè)支鏈通過運(yùn)動(dòng)副分別于運(yùn)動(dòng)平臺(tái)和基座平臺(tái)相連，由于本身結(jié)構(gòu)的限制，每個(gè)運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角須滿足 0≤θi≤θmax，θmax為運(yùn)動(dòng)副可以達(dá)到的最大轉(zhuǎn)角極限。

（3）支鏈之間的干涉。各個(gè)支鏈在實(shí)際設(shè)計(jì)中有自己的幾何尺寸，但是在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)行走過程中必須確保各個(gè)支鏈不存在干涉。

對(duì)于研究的微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人來說，目的是實(shí)現(xiàn)微米量級(jí)和微弧度量級(jí)的精密定位，其運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿變化與整體尺寸相比非常小，所以可以排除運(yùn)動(dòng)副轉(zhuǎn)角限制和支鏈干涉限制兩個(gè)約束條件，各個(gè)支鏈長度變化限制作為工作空間的約束條件，其主要由電機(jī)的驅(qū)動(dòng)行程、LVDT傳感器的量程、柔性片體應(yīng)力屈服極限等因素決定。其中選取的壓電螺紋電機(jī)的驅(qū)動(dòng)行程為12.7mm，LVDT傳感器的量程為±1.4mm，柔性片體材料為殷鋼，屈服極限為276Mpa。利用NX Nastran對(duì)單條柔性支鏈進(jìn)行有限元分析，殷鋼參數(shù)表如表1所示，位移云圖如圖3所示，最終得到的電機(jī)位移、LVDT傳感器位移、支鏈長度變化三者之間的關(guān)系如圖4所示。

表1 殷鋼參數(shù)

圖3 單條柔性支鏈位移變化云圖

由圖4可得，電機(jī)位移、LVDT傳感器位移、支鏈長度變化三者之間呈現(xiàn)良好的線性關(guān)系，制約支鏈長度變化的因素為LVDT的測量行程，LVDT具有的±1.4mm的量程對(duì)應(yīng)了支鏈±0.18mm的長度變化，且在LVDT量程內(nèi)支鏈最大應(yīng)力為143.05MPa，在殷鋼屈服極限以內(nèi)。

圖4 電機(jī)位移、LVDT傳感器位移、支鏈長度變化三者之間的關(guān)系

3 工作空間求解

3.1 微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人逆解

已知運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的位姿求解各支鏈長度變化等結(jié)構(gòu)參數(shù)是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的逆解問題，是并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析的重要組成部分［7］，也是數(shù)值法求解工作空間首要解決的問題。設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)原理圖如圖5所示。圖中坐標(biāo)系{P}:Op-XpYpZp為運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的坐標(biāo)系，A1～A6表示運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的球鉸副，分布在半徑為r的平面圓上，α為每對(duì)球鉸副與坐標(biāo)系原點(diǎn)及圓心連線的夾角。坐標(biāo)系{B}:Ob-XbYbZb為基座平臺(tái)的坐標(biāo)系，B1～B6表示基座平臺(tái)的球鉸副，分布在半徑為R的平面圓上。l為兩個(gè)球鉸副之間的距離即支鏈的原始長度，h為球鉸副在Zb軸方向上的垂直距離。結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系為：

圖5 柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)原理圖

為了得到運(yùn)動(dòng)平臺(tái)具有傾斜能力的工作空間，采用直觀的歐拉角來描述運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)。該變換方法是將動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系的當(dāng)前姿態(tài)用初始與基座坐標(biāo)系重合的坐標(biāo)系通過三次有順序的旋轉(zhuǎn)而來，如圖6所示，旋轉(zhuǎn)順序?yàn)椋海?）繞{P} 坐標(biāo)系的Zp軸旋轉(zhuǎn)角ψ，ψ為最終Zp在{B} 中XbYb平面內(nèi)的投影與Xb的夾角；（2）繞{P} 坐標(biāo)系的Yp軸旋轉(zhuǎn)角θ，θ為最終Zp在{B} 中與Zb的夾角；（3）最后再繞{P}坐標(biāo)系的Zp軸旋轉(zhuǎn)角φ。ψ、θ和φ分別是歐拉角中的進(jìn)動(dòng)角、章動(dòng)角和自旋角。

圖6 運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的歐拉角

設(shè)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系原點(diǎn)沿在基座平臺(tái)坐標(biāo)系Xb、Yb、Zb軸的移動(dòng)量為 xp、yp、zp，歐拉角分別是ψ、θ和φ，則有如下關(guān)系：

根據(jù)A1～A6在運(yùn)動(dòng)平臺(tái)坐標(biāo)系的分布可以求出根據(jù)式（2）可以求出 A1～ A6在基座平臺(tái)坐標(biāo)系下的，根據(jù)式（1）可以求出B1～B6在基座平臺(tái)坐標(biāo)系下的坐標(biāo)，各支鏈長度l'及與原始長度相比的變化量Δl為：

3.2 微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人工作空間求解

利用柱坐標(biāo)系的方式構(gòu)造掃描空間，在高度上以微小步長將搜索空間分割為若干個(gè)平行的掃面平面，在每個(gè)掃面平面上以極坐標(biāo)的方式，使運(yùn)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)坐標(biāo)的極徑和極角分別從0開始逐漸增大，通過式（4）得到每個(gè)掃描點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置的6個(gè)柔性支鏈長度l'，然后根據(jù)約束條件判斷是否仍在工作空間范圍內(nèi)，若超出的話記錄邊界點(diǎn)，依次搜索出各個(gè)掃描截面上的邊界曲線，進(jìn)而得到整個(gè)工作空間。搜索示意圖如圖7所示。

圖7 工作空間邊界搜索示意圖

利用上述方法對(duì)本文中實(shí)際研制的微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行分析，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2所示，l'的變化范圍為l-0.18mm≤li'≤l+0.18mm，即工作空間邊界點(diǎn)的判斷依據(jù)。

表2 微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)mm

首先令三個(gè)歐拉角均為零，得到定姿態(tài)工作空間如圖8所示。

章動(dòng)角θ即運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的靈活姿態(tài)角［8］，代表了運(yùn)動(dòng)平臺(tái)在任意方向都能夠偏轉(zhuǎn)到的角度值，可以評(píng)判機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的傾斜調(diào)整能力。為了限制運(yùn)動(dòng)平臺(tái)自身的轉(zhuǎn)動(dòng)，令ψ=-φ，在每個(gè)掃面點(diǎn)添加靈活姿態(tài)角判斷的掃描，即令ψ從0°到360°進(jìn)行姿態(tài)掃描。得到靈活姿態(tài)角為700μrad的工作空間如圖9所示。

從圖8和圖9可以得到：

（1）定姿態(tài)工作空間和靈活姿態(tài)角為700μrad的工作空間均為較規(guī)則的十二面體，側(cè)視投影近似菱形，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)處在原點(diǎn)高度時(shí)，XY方向調(diào)整能力最大，隨著高度的上下變化，XY向調(diào)整范圍逐漸變小。

（2）X向調(diào)整范圍最大，其次是Y向，Z向調(diào)整范圍最小。隨著靈活姿態(tài)角的增大，工作空間逐漸變小。

圖8 定姿態(tài)工作空間

圖9 靈活姿態(tài)角θ為700μrad的工作空間

（3）從圖9可以得到，運(yùn)動(dòng)平臺(tái)原點(diǎn)在長寬均為0.2mm，高度為0.18mm的長方體中的任一點(diǎn)均可實(shí)現(xiàn)任意方向700μrad的傾斜調(diào)整，即機(jī)器人在X、Y向具有±100μm的調(diào)整范圍，Z向具有±90μm調(diào)整范圍，并且在此空間內(nèi)任意點(diǎn)均可實(shí)現(xiàn)任意方向700μrad的傾斜調(diào)整。

4 結(jié)論

對(duì)實(shí)際研制的微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的工作空間進(jìn)行了分析。首先針對(duì)微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析了影響其工作空間的約束條件。為了獲得機(jī)器人帶有一定傾斜調(diào)整能力的工作空間，采用更加直觀的歐拉角描述運(yùn)動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)，對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解的進(jìn)行求解，并通過給出的空間掃描邊界點(diǎn)的方法獲得了定姿態(tài)工作空間和靈活姿態(tài)角工作空間。分析結(jié)構(gòu)表明機(jī)器人在給定任意方向具有700μrad的傾斜調(diào)整的前提下，在X、Y向具有±100μm的調(diào)整范圍，Z向具有±90μm調(diào)整范圍。該分析方法對(duì)微動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)及性能評(píng)價(jià)具有重要指導(dǎo)意義。

［1］陳學(xué)生，陳在禮，孔民秀.并聯(lián)機(jī)器人研究的進(jìn)展與現(xiàn)狀［J］.機(jī)器人，2002，24（5）：464-470.

［2］黃真.并聯(lián)機(jī)器人及其機(jī)構(gòu)學(xué)理論［J］.燕山大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，20（1）：13-17.

［3］馮志友，李永剛，張策，等.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力分析研究現(xiàn)狀及展望［J］.中國機(jī)械工程，2006，17（9）：979-984.

［4］Gosselin.Determination of the workspace of 6-DOF parallel manipulators［J］.ASME J Mech Des，1990，112（3）：331-336.

［5］許意華，劉德忠，費(fèi)仁元.3-PTT并聯(lián)微操作機(jī)器人工作空間分析［J］.機(jī)械科學(xué)與技術(shù)，2003，22（1）：102-104.

［6］張順心，范順成，肖汾陽.并聯(lián)機(jī)床主運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)工作空間分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)，2003，20（3）：39-42.

［7］王永，姚太克，周烽，等.望遠(yuǎn)鏡副鏡的三自由度并聯(lián)支撐構(gòu)型研究與運(yùn)動(dòng)分析［J］.光學(xué)精密工程，2013，21（11）：2860-2869.

［8］馮海兵.一種并聯(lián)宏/微驅(qū)動(dòng)操作手的工作空間［J］.光學(xué) 精密工程，2013，21（3）：717-723.