基于有限元分析的復(fù)合阻尼覆蓋層優(yōu)化設(shè)計(jì)

陳 炳，何世平，李思靜

(1.海軍工程大學(xué) 機(jī)械工程系，湖北 武漢430033;2.中國(guó)人民解放軍78138 部隊(duì)，四川 成都610000)

0 引 言

鋪設(shè)阻尼覆蓋層是減小結(jié)構(gòu)共振的一項(xiàng)重要減振降噪措施。它鋪設(shè)在待減振的結(jié)構(gòu)表面，其主要作用原理是將振動(dòng)能量不可逆地轉(zhuǎn)變?yōu)闊崮芎纳⒌簟鹘y(tǒng)的阻尼結(jié)構(gòu)主要分為自由阻尼結(jié)構(gòu)和約束阻尼結(jié)構(gòu)，為了提高傳統(tǒng)阻尼結(jié)構(gòu)的綜合性能，人們提出在自由阻尼結(jié)構(gòu)或者約束阻尼結(jié)構(gòu)中的粘彈性層和基層中插入墊高層，即帶墊高層的復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)。這種結(jié)構(gòu)的主要特點(diǎn)在于其鋪設(shè)的覆蓋層的質(zhì)量較輕且阻尼性能良好，其在航空航天工程中得到了廣泛應(yīng)用，例如在美國(guó)空軍運(yùn)輸機(jī)C－5A的前機(jī)身承壓表面采用了帶墊高層復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)［1］，后來(lái)F－15 戰(zhàn)斗機(jī)的機(jī)翼上也應(yīng)用了這種帶墊高層的復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)［2］。

許多學(xué)者對(duì)帶墊高層復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了理論研究［3－6］。曾海泉等［3］分析了當(dāng)墊高層分別為硬質(zhì)和軟質(zhì)泡沫塑料時(shí)，復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)不同的阻尼特性。Yellin 等［4］利用傳遞函數(shù)法研究了帶墊高層約束阻尼結(jié)構(gòu)的頻響響應(yīng)。Peter［5］從實(shí)驗(yàn)方面研究了微孔泡沫材料分別作為粘彈性層和墊高層時(shí)復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。Chaudry［6］對(duì)墊高層進(jìn)行改進(jìn)，研究了帶槽形墊高層復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)。以上文獻(xiàn)主要研究了帶墊高層復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)特性以及粘彈性層和墊高層參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性的影響。對(duì)于以硬質(zhì)泡沫塑料為墊高層的自由阻尼結(jié)構(gòu)，復(fù)合阻尼覆蓋層的面密度、總厚度、損耗因子主要由3個(gè)因素影響:硬質(zhì)泡沫塑料襯墊的孔隙率，厚度以及粘彈性層的厚度。如何使該復(fù)合阻尼覆蓋層擁有面密度輕，厚度小且阻尼性能最佳的綜合特點(diǎn)，則需要對(duì)該復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文基于模態(tài)應(yīng)變能法利用商業(yè)軟件Ansys 求解帶硬質(zhì)聚氨酯泡沫塑料襯墊的自由阻尼結(jié)構(gòu)的等效模態(tài)損耗因子，然后以粘彈性層厚度，泡沫塑料的厚度，泡沫塑料的孔隙率為設(shè)計(jì)變量，以該復(fù)合結(jié)構(gòu)的一階彎曲模態(tài)損耗因子的倒數(shù)為目標(biāo)函數(shù)，在滿足一定的工程要求條件下，對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得阻尼覆蓋層的綜合性能更優(yōu)。

1 復(fù)合阻尼覆蓋層參數(shù)化建模

在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，分析文件生成是Ansys優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中的關(guān)鍵部分，Ansys 程序運(yùn)用分析文件構(gòu)造循環(huán)文件，進(jìn)行循環(huán)分析。而在分析文件中，模型的建立必須參數(shù)化，結(jié)果也必須用參數(shù)來(lái)提取。下面分別對(duì)各層參變量以及復(fù)合阻尼覆蓋層總的參變量進(jìn)行分析。

比較理想的墊高層材料是具有球形空泡結(jié)構(gòu)的硬泡沫塑料，也可以是金屬或者高分子材料制成蜂窩狀結(jié)構(gòu)［7］。硬質(zhì)泡沫塑料具有絕熱效果好、重量輕、比強(qiáng)度大、施工方便等優(yōu)良特性，同時(shí)還具有隔音、防震、電絕緣、耐熱、耐寒、耐溶劑等特點(diǎn)。所以墊高層材料采用具有球形空泡結(jié)構(gòu)的閉孔硬質(zhì)聚氨酯泡沫塑料，盧子興等人對(duì)這種閉孔的具有球形空泡結(jié)構(gòu)的硬質(zhì)聚氨酯泡沫塑料進(jìn)行力學(xué)性能方面的研究，假設(shè)所有的泡沫塑料胞體為球形，并具有相同的尺寸，胞體隨機(jī)分布，將泡沫塑料看作3部分組成，中心是球形空腔，空腔外層是基體材料，基體材料的外層是等效均勻介質(zhì)，基于這3 部分構(gòu)造一個(gè)模擬泡沫塑料局部區(qū)域的模型，空腔和基體球殼作為泡沫塑料的胞體，其等效性質(zhì)應(yīng)與外層的等效均勻介質(zhì)相同。根據(jù)其研究結(jié)果，假設(shè)基體材料不可壓縮，則泡沫塑料楊氏模量，剪切模量的理論預(yù)測(cè)公式為［8－9］:

等效楊氏模量:

等效剪切模量:

其中:

硬質(zhì)泡沫塑料泡沫塑料的等效密度:

硬質(zhì)泡沫塑料的面密度:

H2Em和Gm分別為基體的彈性模量和剪切模量;f為閉孔聚氨酯泡沫塑料的孔隙率;H為硬質(zhì)聚氨酯泡沫塑料的厚度。由式(1)～式(4)可知，當(dāng)基體材料、孔徑大小以及孔徑形狀確定以后，聚氨酯泡沫塑料的等效楊氏模量、等效剪切模量、等效密度是孔隙率的函數(shù)，而面密度是孔隙率、層厚度的函數(shù)。

粘彈性層的材料確定以后，其楊氏模量、剪切模量、密度為定值，以厚度參數(shù)為設(shè)計(jì)參數(shù)，其面密度為:

其中，ρv為粘彈材料的密度;H3為粘彈性層的厚度。

復(fù)合阻尼覆蓋層中參變量主要包括總厚度和總的面密度，由幾何關(guān)系可知，復(fù)合阻尼覆蓋層的總厚度為:

復(fù)合阻尼覆蓋層的面密度為:

粘彈性材料、泡沫塑料的基體材料確定以后，粘彈性層的材料參數(shù)均為常數(shù)，式(1)～式(7)中的變量主要與粘彈性層的厚度、泡沫塑料的孔隙率以及厚度有關(guān)，對(duì)于復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)中常量和變量均可以通過APDL 語(yǔ)言進(jìn)行定義。

2 模態(tài)應(yīng)變能法的有限元分析

對(duì)粘彈性動(dòng)力學(xué)的基本方程進(jìn)行動(dòng)力學(xué)問題求解十分困難，往往采用數(shù)值解法，主要是有限元法，通過對(duì)位移向量進(jìn)行分單元離散插值，再由變分原理導(dǎo)出相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)方程。

對(duì)于阻尼復(fù)合結(jié)構(gòu)［10］，其總的應(yīng)變能為:

其中:K1為基層的剛度矩陣;K2為墊高層的剛度矩陣;K3為阻尼層的剛度矩陣。

復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的動(dòng)能為:

阻尼層的耗能為:

若不考慮能量損耗，根據(jù)變分原理得:

將式(14)和式(15)代入式(11)中得動(dòng)力學(xué)方程，解方程得特征值ω和振型{δ}。

復(fù)合結(jié)構(gòu)的等效模態(tài)損耗因子為:

將式(8)和式(10)代入，可得r 階等效模態(tài)損耗因子:

其中，K為總的剛度矩陣;{δ}為總體節(jié)點(diǎn)位移列陣;M為總質(zhì)量矩陣。由式(13)可知，等效模態(tài)損耗因子主要與各層的剛度以及各層的變形有關(guān)。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本原理是通過構(gòu)建優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用某種計(jì)算方法，在一定約束條件下進(jìn)行計(jì)算使得目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值。對(duì)于復(fù)合阻尼覆蓋層而言，其數(shù)學(xué)模型可以表示為［11］:

其中，H2，H3，f為設(shè)計(jì)變量，優(yōu)化結(jié)果的取得是通過改變?cè)O(shè)計(jì)變量的數(shù)值實(shí)現(xiàn)的;約束條件m，H為狀態(tài)變量，其是約束設(shè)計(jì)的數(shù)值，是設(shè)計(jì)變量的函數(shù);只有符合狀態(tài)變量要求的設(shè)計(jì)才是合理的設(shè)計(jì);T(x)為目標(biāo)函數(shù)，其是要盡量減小的數(shù)值，其必須是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，改變?cè)O(shè)計(jì)變量的數(shù)值必然改變目標(biāo)函數(shù)的數(shù)值，其用來(lái)評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的優(yōu)劣，優(yōu)化問題即為求目標(biāo)函數(shù)的極值。

3.2 優(yōu)化方法

以Ansys優(yōu)化模塊作為優(yōu)化平臺(tái)，利用APDL語(yǔ)言進(jìn)行參數(shù)化建模，并且利用Ansys的零階方法進(jìn)行優(yōu)化求解，該方法中，Ansys 程序用曲線或者曲面擬合來(lái)建立目標(biāo)函數(shù)，狀態(tài)變量和設(shè)計(jì)變量之間的關(guān)系，主要通過用若干設(shè)計(jì)變量序列計(jì)算目標(biāo)函數(shù)或者狀態(tài)變量，然后通過內(nèi)部程序擬合，得到結(jié)果曲線(或曲面)。在這里通過設(shè)計(jì)變量序列，，fi(i = 0，1，2，3…n)，可以計(jì)算出一系列的目標(biāo)函數(shù)Ti(H2，H3，f)以及狀態(tài)變量mi(H2，H3，f)，Hi(H2，H3)，然后可以通過擬合得到(H2，H3，f)，(H2，H3，f)，(H2，H3)。然后將約束優(yōu)化問題通過罰函數(shù)法轉(zhuǎn)化成一個(gè)無(wú)約束化問題。初始值在可行域內(nèi)，采用內(nèi)部罰函數(shù)法構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù):

其中，X(H2)，X(H3)，X(f)均為設(shè)計(jì)變量的罰函數(shù)，主要約束設(shè)計(jì)變量。F1和F2()是狀態(tài)變量的罰函數(shù)，主要約束狀態(tài)變量;T0為目標(biāo)函數(shù)的參考值，主要為了實(shí)現(xiàn)單位一致，無(wú)約束的目標(biāo)函數(shù)G(H2，H3，f，pk)主要隨設(shè)計(jì)變量和曲面響應(yīng)參數(shù)pk變化而變化。每次設(shè)計(jì)迭代中，連續(xù)無(wú)約束化最小值技術(shù)(SUMT)用于求解式(18)的最小值，k 是零階問題求解中子迭代的次數(shù)，為了得到更精確的結(jié)果，曲面響應(yīng)參數(shù)值會(huì)隨k 變大不斷增大。即p1＜p2＜p3＜p4…然后每次迭代得到一個(gè)最小值，然后進(jìn)行收斂檢查，判斷其是否為合理的設(shè)計(jì)。

4 優(yōu)化設(shè)計(jì)算例

4.1 問題描述

基層為H1= 8 mm的鋼板，其楊氏模量E1=2.06 ×1011N/m2，密度為ρ1= 7.8 ×103kg/m3粘彈性層材料的楊氏模量E2=5 ×109N/m2，密度為ρ2=1 570 kg/m3，其材料損耗因子為β = 0.4，閉孔硬質(zhì)聚氨酯泡沫塑料基體材料的彈性模量為Em=2.433 ×1011N/m2，剪切模量為Gm=8.11 ×108N/m2，基體材料的密度為ρm=1 200 kg/m3，取聚氨酯泡沫塑料墊高層的孔隙率初始值為f = 0.375，由式(5)可知，墊高層的初始等效密度ρ2=750 kg/m3，最下層是基層，基層上面鋪設(shè)墊高層，墊高層上面鋪設(shè)粘彈性層。復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)示意圖如圖1所示。

圖1 帶聚氨酯泡沫塑料襯墊的自由阻尼結(jié)構(gòu)Fig.1 Unconstrained damping structure with stand-off layer

其中H1為基層厚度，H2為墊高層厚度，H3為粘彈性層厚度。利用Ansys 對(duì)復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模，采用PLANE183 單元，其是一個(gè)高階2 維8 節(jié)點(diǎn)單元，每個(gè)單元有2個(gè)自由度。再進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后進(jìn)行無(wú)阻尼模態(tài)分析，利用應(yīng)變能與材料損耗因子之間的關(guān)系，計(jì)算出等效模態(tài)損耗因子，然后在優(yōu)化模塊中對(duì)分析文件進(jìn)行優(yōu)化分析。設(shè)計(jì)要求墊高層厚度，粘彈性厚度均小于0.016 m，阻尼覆蓋層總厚度即粘彈性層厚度與墊高層厚度之和不大于0.024 m，面質(zhì)量小于25 kg/m2。

根據(jù)上面要求描述，該問題優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型為:

4.2 優(yōu)化結(jié)果

參數(shù)化建立帶聚氨酯泡沫塑料阻尼覆蓋層有限元模型后，利用Block Lanczos法進(jìn)行模態(tài)分析，利用模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算出其第一階彎曲模態(tài)的損耗因子，定義參數(shù)化的設(shè)計(jì)變量、狀態(tài)變量和目標(biāo)函數(shù)，最后進(jìn)行迭代優(yōu)化計(jì)算，經(jīng)過8步迭代計(jì)算以后收斂得到最優(yōu)解，優(yōu)化前后粘彈性層的厚度、墊高層的厚度以及孔隙率，等效密度值如表1所示。

表1 優(yōu)化前后粘彈性層和墊高層參數(shù)值Tab.1 Parameter values of the viscoelastic layer and the stand-off layer before and after optimization

由表1 可知，優(yōu)化后，硬質(zhì)泡沫塑料襯墊的厚度降低，可以使得墊高層的抗彎剛度減小，也可以減小粘彈性層對(duì)墊高層剪力矩。孔隙率增大，等效密度變小，可以減輕墊高層的面密度，而粘彈性層厚度增加，可提高粘彈性層的耗能。

下面分別計(jì)算優(yōu)化前后阻尼覆蓋層總面密度、總厚度以及損耗因子如表2所示。

表2 優(yōu)化前后復(fù)合阻尼覆蓋層參數(shù)值Tab.2 Composite damping tile parameter values before and after optimization

由表2 可知，優(yōu)化后的復(fù)合阻尼覆蓋層的面密度大小接近，而總厚度變小，復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的損耗因子增大，這說明通過優(yōu)化后，復(fù)合阻尼覆蓋層的綜合性能更好。

4 結(jié) 語(yǔ)

1)當(dāng)粘彈性層材料參數(shù)，泡沫塑料基體材料參數(shù)確定以后，需要通過合理設(shè)計(jì)粘彈性層厚度，墊高層的孔隙率以及厚度使得復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的綜合性能最佳。

2)在Ansys 動(dòng)力學(xué)分析模塊和優(yōu)化模塊下，對(duì)復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)化建模，在動(dòng)力學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)上進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，使得復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的各層參數(shù)得到合理設(shè)計(jì)，從而提高該復(fù)合阻尼結(jié)構(gòu)的綜合性能。這對(duì)帶硬質(zhì)泡沫塑料襯墊的自由阻尼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有十分重要意義。

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