基于多元回歸數(shù)學(xué)分析模型某區(qū)域內(nèi)斜坡穩(wěn)定性研究

周洪燕，李滿意，司洪濤

（1.重慶郵電大學(xué)移通學(xué)院管理工程系，重慶401520；2.重慶地質(zhì)礦產(chǎn)研究院外生成礦與礦山環(huán)境重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶400042；3.成都理工大學(xué)地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護(hù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610059）

1 選題背景

中國(guó)是亞洲乃至世界上地質(zhì)災(zāi)害最為嚴(yán)重的地區(qū)之一，尤以滑坡災(zāi)害最為顯著，特別是20世紀(jì)80年代以來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)建設(shè)的高速發(fā)展及自然因素的影響，滑坡災(zāi)害呈逐年加重趨勢(shì)；嚴(yán)重的滑坡災(zāi)害不僅給當(dāng)?shù)厝罕姷纳?cái)產(chǎn)造成威脅，還摧毀了相當(dāng)數(shù)量的工礦、交通、水運(yùn)及水利水電等基礎(chǔ)設(shè)施的安全運(yùn)營(yíng)［1－2］。由于中國(guó)的滑坡數(shù)量多、發(fā)生的頻率大、致災(zāi)的因素及孕災(zāi)的地質(zhì)條件復(fù)雜，加之城區(qū)大規(guī)模的基礎(chǔ)建設(shè)，因此，對(duì)于區(qū)域性滑坡穩(wěn)定性的評(píng)價(jià)及發(fā)展趨勢(shì)預(yù)測(cè)的研究有著重要的社會(huì)意義。

關(guān)于區(qū)域性斜坡穩(wěn)定性的研究方法比較多，如聚類分析法、信息量法、系統(tǒng)模型法、模糊數(shù)學(xué)方法［3－4］等。王震宇［5］通過(guò)對(duì)單體滑坡的多樣本分析建立多元非線性回歸分析對(duì)滑坡的時(shí)間預(yù)測(cè)作了一些嘗試，李宏泉［6］把灰色理論和回歸分析結(jié)合起來(lái)對(duì)單體滑坡進(jìn)行了時(shí)間預(yù)測(cè)且有較高的精度。

以西南高烈度山區(qū)某縣城區(qū)域30個(gè)滑坡為研究對(duì)象，采用多元回歸分析的基本原理，研究了區(qū)內(nèi)影響斜坡穩(wěn)定性的最主要影響因素，采用多元回歸數(shù)學(xué)分析法建立了反映區(qū)域斜坡穩(wěn)定性與各致災(zāi)因素的數(shù)學(xué)分析模型，揭示區(qū)域斜坡穩(wěn)定性與致災(zāi)因子的關(guān)系，分析和驗(yàn)證該方法的適用性。

2 模型建立原理［7－8］

設(shè)致災(zāi)因子為確定性變量 （x1，x2，…，xp），隨機(jī)變量為穩(wěn)定性y，則多元回歸模型為：

式中：β0，β1，…，βp為回歸系數(shù)；ξ是服從正態(tài)分布N（0，σ2）的隨機(jī)誤差。

2.1 回歸系數(shù)

致災(zāi)因子x1，x2，…，xp與隨機(jī)變量y作隨機(jī)n組抽樣，得到觀察值如下：

代入式（1）得

式中ξi（i＝1，2，…，n）是服從N（0，σ2）的正態(tài)分布的n個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量。

設(shè)β0，β1，…，βp的估算值為b0，b1，…，bp，則得到多元回歸方程

式中y＾為回歸方程所給定的數(shù)值，即回歸值。

yi－y＾刻畫了回歸值和樣本值的偏差，即殘值。根據(jù)最小二乘法使得殘差平方和達(dá)到最小即：

采用微積分中的極限值原理，得出b0，b1，…，bp須滿足以下條件：

由式（4）可得出

將式（5）代入式（4）解出b0，b1，…，bp，并由式（5）解出b0代入式（3）得到多元回歸數(shù)學(xué)分析模型。

2.2 回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

檢驗(yàn)回歸模型中β0，β1，…，βp是否全為0，即可檢驗(yàn)變量間有無(wú)聯(lián)系。若系數(shù)全為0，則認(rèn)為多元回歸不顯著，反之則回歸顯著。

假定：H0：βi＝0（i＝1，2，…p），記總的離差平方和為，自由度為f總＝nl總，則Syy可以分解為Syy＝U＋Q。其中：U ＝的自由度y＾j）2的自由度f(wàn)v＝n－p－1。

做統(tǒng)計(jì)量：

對(duì)U的自由度給定檢驗(yàn)水平α，查表得Fα（p，n－p－1），如果F＞Fα（p，n－p－1），則因子xi效果顯著，否則因子xi效果不顯著，去掉因子xi重新建立回歸方程。

檢驗(yàn)因子xi的顯著性等同檢驗(yàn)假設(shè)：

式中Ci是系數(shù)矩陣S的逆矩陣S－1的第i行第j列的元素。

對(duì)Q的自由度給定檢驗(yàn)水平α，查表得Fα（1，n－p－1），若F＞Fα（1，n－p－1），則因子xi效果顯著，反之xi效果不顯著，需去掉xi重新建立多元回歸方程。

2.3 回歸方程的預(yù)測(cè)

3 算例

某縣城主要為侵蝕構(gòu)造中低山地貌，坡度大部分在20°～40°之間，各系地層大致沿構(gòu)造線向成條帶式展布，其中以寒武系邱家河組、第四系全新統(tǒng)沉積分布的地層最廣。區(qū)內(nèi)分屬3個(gè)不同的構(gòu)造區(qū)，北為呈北東向的大斷裂，南為呈北東向大斷裂，北側(cè)大斷裂以北屬揚(yáng)子準(zhǔn)地臺(tái)之摩天嶺臺(tái)隆平；南側(cè)大斷裂以南屬揚(yáng)子準(zhǔn)地臺(tái)之龍門山褶斷束，構(gòu)造活動(dòng)強(qiáng)烈，也處于地震帶上，降雨集中，雨量充沛，降雨主要集中在7月—9月，這3個(gè)月的降雨量占全年降雨量的50%以上，一般出現(xiàn)在8月上旬或中旬的年最大日降雨量為80～100mm，人類工程活動(dòng)強(qiáng)烈。

分析該區(qū)域典型災(zāi)害點(diǎn)的基本特征、致災(zāi)因子，進(jìn)行定性地災(zāi)的危險(xiǎn)性預(yù)測(cè)；對(duì)各地災(zāi)點(diǎn)所處環(huán)境、變形破裂特征進(jìn)行精細(xì)描述，對(duì)其成因機(jī)制分析，宏觀判斷其穩(wěn)定性狀況，并提出防治建議。

該縣城所在的區(qū)域是一個(gè)地質(zhì)災(zāi)害多發(fā)區(qū)，尤其是2008年四川汶川大地震，該縣城區(qū)域因地震誘發(fā)的崩、滑等地質(zhì)災(zāi)害造成的經(jīng)濟(jì)損失無(wú)法計(jì)算。為查明該區(qū)域地質(zhì)災(zāi)害發(fā)生的環(huán)境背景，摸清地質(zhì)災(zāi)害的誘發(fā)因素，進(jìn)而確定地質(zhì)災(zāi)害的危險(xiǎn)區(qū)劃，減少因地質(zhì)災(zāi)害造成的經(jīng)濟(jì)損失，迫切需要尋求出一套完整的地質(zhì)災(zāi)害危險(xiǎn)性評(píng)價(jià)模型。現(xiàn)對(duì)縣城區(qū)域內(nèi)5·12地震后的30個(gè)滑坡的穩(wěn)定性進(jìn)行了多元回歸數(shù)學(xué)分析。在致災(zāi)因子xi中選擇其中x1，…，x8為自變量，其中x1為斜坡高度，x2為斜坡潛在滑帶的強(qiáng)度參數(shù)，x3為斜坡坡角，x4為斜坡潛在滑帶的平均內(nèi)摩擦角，x5為斜坡的水文地質(zhì)條件，x6為區(qū)域降雨影響程度，x7為斜坡植被覆蓋情況，x8為地震影響程度。自變量x對(duì)斜坡穩(wěn)定性影響大小定量為“1”代表有利，“2”代表不利。因變量y即斜坡穩(wěn)定性定量為“1”代表穩(wěn)定，“2”代表基本穩(wěn)定，“3”代表穩(wěn)定性差。

對(duì)表1中的30個(gè)關(guān)于斜坡的統(tǒng)計(jì)資料進(jìn)行分析，取掉顯著效果不明顯的致災(zāi)因子，從而建立該區(qū)域斜坡的多元線性回歸模型，其回歸方程為：

利用回歸方程對(duì)這30個(gè)斜坡進(jìn)行穩(wěn)定性預(yù)測(cè)，其預(yù)測(cè)結(jié)果見表1。從預(yù)測(cè)效果可以看出回歸效果比較明顯。從預(yù)測(cè)結(jié)果來(lái)看除6＃地質(zhì)災(zāi)害點(diǎn)的回歸效果不太理想外，其他斜坡的回歸值和原來(lái)的分類值相比有較高的貼近度，精度達(dá)到了96.7%，模型的回歸效果良好，所以在一定的時(shí)間范圍內(nèi)可以用來(lái)控制和預(yù)測(cè)。y＾＜1.0時(shí)斜坡是穩(wěn)定的，1.0＜y＾＜2.0時(shí)斜坡是基本穩(wěn)定的，2.0＜y＾＜2.5時(shí)斜坡是欠穩(wěn)定的，2.5＜y＾時(shí)斜坡處于不穩(wěn)定狀態(tài)。用表1數(shù)據(jù)對(duì)回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果顯示回歸效果顯著，見表2。

表1 區(qū)域斜坡穩(wěn)定性的多元回歸分析

表2 回歸方程的顯著性檢驗(yàn)

4 結(jié)語(yǔ)

本文以西南高烈度山區(qū)某縣城區(qū)域內(nèi)30個(gè)滑坡為研究對(duì)象，采用多元回歸分析的基本原理，研究了區(qū)內(nèi)影響斜坡穩(wěn)定性的最主要影響因素，采用多元回歸數(shù)學(xué)分析法建立了反映區(qū)域斜坡穩(wěn)定性與各致災(zāi)因素的數(shù)學(xué)分析模型，揭示區(qū)域斜坡穩(wěn)定性與致災(zāi)因子的關(guān)系。

從多元回歸數(shù)學(xué)分析模型看出斜坡坡角、滑帶土內(nèi)摩擦角、降雨強(qiáng)度及地震成為該區(qū)域斜坡失穩(wěn)的主要影響因素，這也和對(duì)當(dāng)?shù)氐目陀^實(shí)際調(diào)查情況相符合。該模型的預(yù)測(cè)結(jié)果主要是通過(guò)致災(zāi)因子的相對(duì)性來(lái)體現(xiàn)斜坡穩(wěn)定性的相對(duì)屬性，這是定量預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)。利用此方法對(duì)該縣城區(qū)域斜坡的研究結(jié)果表明，得出的回歸方程回歸效果顯著。多元回歸分析方法可以用于斜坡穩(wěn)定性的初步分級(jí)，并且方法簡(jiǎn)單、靈活、成本低，是規(guī)劃階段斜坡穩(wěn)定性評(píng)價(jià)的有效方法之一。

值得說(shuō)明的是，滑坡穩(wěn)定性或失穩(wěn)具有明顯的空間性及地域性特征，須通過(guò)野外詳細(xì)調(diào)查，在搞清滑坡的成因機(jī)制、失穩(wěn)機(jī)理及合理地確定穩(wěn)定性影響因素的基礎(chǔ)上，才能進(jìn)行多元回歸數(shù)學(xué)分析。

［1］黃潤(rùn)秋.20世紀(jì)以來(lái)中國(guó)的大型滑坡及其發(fā)生機(jī)制［J］.巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2007，26（3）：433－454.

［2］羅文強(qiáng)，黃潤(rùn)秋，張倬元.斜坡穩(wěn)定性概率分析的理論與應(yīng)用［M］.北京：中國(guó)地質(zhì)大學(xué)出版社，2003：1－5.

［3］夏元友.系統(tǒng)加權(quán)聚類法及其在滑坡穩(wěn)定性預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.自然災(zāi)害學(xué)報(bào)，1997，6（3）：85－90.

［4］徐衛(wèi)亞，蔣中明，石安池.基于模糊集理論的斜坡穩(wěn)定性分析［J］.巖土工程學(xué)報(bào)，2003，25（4）：409－413.

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［6］李宏泉.灰色理論和回歸分析在滑坡預(yù)測(cè)中的應(yīng)用［J］.西部探礦工程，2004（11）：212－214.

［7］馬還援，宋傳中，向釩，等.多元回歸分析在安徽省廣德縣區(qū)域邊坡穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用［J］.城市科技，2006，1（2）：43－45.

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