SCARA 機(jī)器人點(diǎn)對點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡規(guī)劃方法

趙登步，白瑞林，沈程慧，李 新

(1.江南大學(xué)輕工過程先進(jìn)控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 無錫 214122;2.無錫信捷電氣股份有限公司，江蘇 無錫 214072)

1 概述

隨著機(jī)器人在各個(gè)領(lǐng)域?qū)ψ鳂I(yè)精度和工作效率需求的不斷提高，要求機(jī)器人能夠快速準(zhǔn)確地完成作業(yè)，即機(jī)器人在作業(yè)時(shí)既要保證運(yùn)動(dòng)軌跡平滑、精準(zhǔn)，又要保證運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短，需采用合理的方法對機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行規(guī)劃。對于軌跡為點(diǎn)對點(diǎn)(Point-to-Point，PTP)運(yùn)動(dòng)形式的機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡，只需要規(guī)劃機(jī)器人關(guān)節(jié)空間軌跡。這種機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡主要用在電子行業(yè)(如電子類的IC 點(diǎn)焊、元器件貼片、分揀裝箱等操作)，用于兩點(diǎn)之間的抓放動(dòng)作。

若機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的速度、加速度和加加速度曲線突變或者不連續(xù)將導(dǎo)致機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象［1］，這將嚴(yán)重影響執(zhí)行器的使用壽命，增大機(jī)器人軌跡跟蹤誤差，降低跟蹤精度［2］。為此一些研究學(xué)者提出采用多項(xiàng)式［3-5］或B 樣條曲線［6-8］插值關(guān)節(jié)空間軌跡以獲得連續(xù)、平滑的軌跡。軌跡時(shí)間最優(yōu)對提高生產(chǎn)效率具有重大的意義。對此很多方法是在滿足機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)約束條件下，通過優(yōu)化算法(遺傳算法［4］、二次規(guī)劃方法［6］、信賴域方法［8］、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法［9］、特里亞金最小值原理［10］)尋優(yōu)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，使總的運(yùn)行時(shí)間最少，以獲得時(shí)間最優(yōu)軌跡。然而這些方法復(fù)雜度大，計(jì)算時(shí)間長，尤其當(dāng)曲線的階次越高時(shí)，計(jì)算量越大，這將嚴(yán)重影響機(jī)器人的實(shí)時(shí)性。因此，需要研究算法復(fù)雜度小、計(jì)算簡單的軌跡算法來規(guī)劃PTP 軌跡。

由于SCARA 機(jī)器人執(zhí)行器采用伺服驅(qū)動(dòng)器驅(qū)動(dòng)伺服電機(jī)，伺服驅(qū)動(dòng)器一般采用速度控制模式，直接輸入速度曲線，因此可以從速度曲線角度規(guī)劃出最優(yōu)時(shí)間軌跡。根據(jù)速度越大時(shí)間越短這一特點(diǎn)，通常選擇梯形速度曲線［11］作為時(shí)間最優(yōu)軌跡，梯形速度曲線具有公式簡單、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)［12］，但這種曲線會導(dǎo)致加速度突變和力矩不連續(xù)［13］，使機(jī)器人運(yùn)行時(shí)出現(xiàn)震動(dòng)現(xiàn)象。為解決加速度突變不連續(xù)問題采用S 形速度曲線［14-16］，然而S 形速度曲線算法的表達(dá)式是分段形式，方程的形式難以確定;且可能產(chǎn)生無理方程或高次方程，難以在微處理器中求解，并且S 形速度曲線具有加加速度曲線不連續(xù)的缺點(diǎn)［17-18］。

針對以上研究內(nèi)容的不足，本文提出一種基于時(shí)間延時(shí)的指數(shù)函數(shù)速度軌跡規(guī)劃方法，此方法規(guī)劃出的速度曲線具有和S 形曲線相同的速度輪廓，不僅擁有連續(xù)的速度、加速度和加加速度曲線，可以產(chǎn)生平滑的軌跡，而且公式簡單、計(jì)算量小;軌跡規(guī)劃時(shí)只需要確定2 個(gè)參數(shù):時(shí)間增益α 和延遲時(shí)間Td，即可確定規(guī)劃的軌跡。

2 指數(shù)函數(shù)原理

定義指數(shù)函數(shù)的表達(dá)式為:

其中，u=αt;νmax表示軌跡的最大速度;α 表示時(shí)間增益參數(shù);t 表示時(shí)間。其曲線圖形如圖1 所示。

圖1 指數(shù)函數(shù)曲線

其表達(dá)式分別如下所示:

一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)曲線圖形分別如圖2 和圖3所示。

圖2 指數(shù)函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)曲線

圖3 指數(shù)函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)曲線

從圖1 中可以看出α 取值越大，指數(shù)函數(shù)曲線越抖，這說明曲線加速度越大。圖2 和圖3 顯示出曲線的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)均連續(xù)，即加速度曲線和加加速度曲線將均會連續(xù)和平滑。這為選擇指數(shù)函數(shù)作為速度規(guī)劃曲線奠定基礎(chǔ)，因?yàn)槠淇梢援a(chǎn)生連續(xù)平滑的加速度和加加速度曲線。

3 指數(shù)函數(shù)時(shí)間增益

為了保證軌跡規(guī)劃的曲線最大值不超過執(zhí)行器的最大約束范圍。需要研究指數(shù)函數(shù)的最大值。令指數(shù)函數(shù)曲線f(t)的二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)都等于0，可知其一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)取最大值時(shí)的時(shí)刻為:

因此，當(dāng)給定執(zhí)行器的最大限制條件為Vmax，Amax，Jmax時(shí)，為了達(dá)到在滿足約束條件情況下運(yùn)動(dòng)最快的目的，時(shí)間增益α 取值為:

4 指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法

針對PTP 運(yùn)動(dòng)軌跡，梯形速度曲線產(chǎn)生的軌跡是時(shí)間最優(yōu)的，因其采用最大加速度和速度來產(chǎn)生最快的運(yùn)動(dòng)。圖4 顯示出其運(yùn)動(dòng)位移(m)、速度(m/s)和加速度(m2/s)曲線。圖中運(yùn)行位移為1 m，梯形曲線最大速度為1 m/s，最大加速度為2 m/s2。由圖4 可以看出梯形速度曲線的加速度曲線是不連續(xù)的，在0.5 s 時(shí)刻產(chǎn)生了從0 到最大值的突變現(xiàn)象。這在現(xiàn)實(shí)中是不允許的，因?yàn)闀箞?zhí)行器出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象，降低軌跡跟蹤精度和執(zhí)行器的使用壽命。

圖4 梯形速度規(guī)劃曲線

如果采用S 形速度曲線規(guī)劃相同的位移將產(chǎn)生梯形加速度曲線，這將解決加速度突變的問題。然而，S 形速度曲線需要一定的時(shí)間來達(dá)到最大加速度的值，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程相比梯形速度曲線會稍微慢一點(diǎn)。圖5 顯示出S 形速度曲線的位移、速度和加速度曲線。從圖中可以看出，S 形速度曲線產(chǎn)生的速度軌跡近似于梯形速度曲線的速度軌跡，可以認(rèn)為其產(chǎn)生的軌跡是近似時(shí)間最優(yōu)的。圖中沒有顯示出S 形速度曲線加加速度曲線，其加加速度曲線是階躍形不連續(xù)的，在執(zhí)行器高速運(yùn)動(dòng)時(shí)將影響其性能。

圖5 S 形速度規(guī)劃曲線

為了解決加加速度不連續(xù)的問題，產(chǎn)生更好的時(shí)間最優(yōu)曲線，本文結(jié)合指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，定義速度曲線公式為:

其速度曲線如圖6 所示。

圖6 指數(shù)函數(shù)速度曲線

圖中t=0～Td為第1 段指數(shù)曲線，Td到Ts為第2 段指數(shù)曲線，第1 段減去第2 段構(gòu)成整條速度曲線。由圖6 可以看出，此速度曲線輪廓和S 形速度曲線輪廓類似，可以認(rèn)為產(chǎn)生的軌跡也是近似時(shí)間最優(yōu)的。

已知速度求位移可以通過積分的方式獲得，積分時(shí)間為0～Td，但此處指數(shù)函數(shù)的積分并不容易，加上速度曲線是由2 段指數(shù)函數(shù)構(gòu)成的，這增加了積分的難度。從圖中看出，整段速度曲線包括的面積由A1，A2和A3組成，整個(gè)位移值可以表示成A1+A2+A3，而A1+A2+A3的值為Vmax·Td的值，所以位移為:

定義穩(wěn)定時(shí)間為達(dá)到最大速度值的99.9%。則:

所以總的運(yùn)行時(shí)間為:

整個(gè)軌跡規(guī)劃流程如圖7 所示。

圖7 指數(shù)函數(shù)規(guī)劃流程

5 實(shí)驗(yàn)仿真

本文實(shí)驗(yàn)仿真對象是SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm)機(jī)器人，如圖8 所示。

圖8 SCARA 機(jī)器人

SCARA 機(jī)器人連桿參數(shù)分別為L1為350 mm，L2為250 mm，d3=100 mm。初始空間位置為(600 mm，0 mm，-100 mm，0°)，目標(biāo)空間位置(-60 mm，388 mm，-350 mm，240°)?，F(xiàn)要從初始位置運(yùn)動(dòng)到目標(biāo)位置，經(jīng)逆解可得SCARA 機(jī)器人各關(guān)節(jié)需要運(yùn)動(dòng)位移如表1 所示。

表1 SCARA 機(jī)器人各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)位移

機(jī)器人4 個(gè)關(guān)節(jié)機(jī)械物理限制條件如表2所示。

表2 SCARA 機(jī)器人物理約束條件

由推導(dǎo)公式可知時(shí)間增益為:

為方便計(jì)算，這里取時(shí)間增益為整數(shù)，即αmax=4。

由式(9)得Td1=0.5 s，Td2=0.625 s，Td3=0.39 s，Td4=0.8 s。

因此，4 個(gè)關(guān)節(jié)指數(shù)函數(shù)速度曲線分別為:

為方便說明本文所設(shè)計(jì)的軌跡規(guī)劃方法的有效性，采用S 形速度曲線規(guī)劃方法作對比分析。S 形速度曲線的詳細(xì)設(shè)計(jì)過程請參考文獻(xiàn)［16］。

4 個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)時(shí)間對比分析如表3 所示。仿真結(jié)果如圖9～圖12 所示。

表3 4 個(gè)關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)總時(shí)間 s

圖9 第1 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

圖10 第2 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

圖11 第3 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

圖12 第4 關(guān)節(jié)S 形速度曲線規(guī)劃

通過以上4 個(gè)關(guān)節(jié)的時(shí)間對比可以看出，在各關(guān)節(jié)不同約束條件下，S 形速度曲線規(guī)劃比指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃用時(shí)短，兩者時(shí)間相差近似為固定值0.15 s，可以認(rèn)為指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法和S形速度曲線規(guī)劃方法運(yùn)行時(shí)間接近，這種規(guī)劃方法也是近似時(shí)間最優(yōu)的。圖13 給出指數(shù)函數(shù)曲線最后末端位移運(yùn)動(dòng)曲線，由此可知末端可以運(yùn)動(dòng)到給定目標(biāo)點(diǎn)并且誤差很小。從4 個(gè)關(guān)節(jié)圖中的加速度曲線和加加速度曲線對比可以得出，指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法規(guī)劃出的曲線明顯要比S 形速度曲線平滑;S 形速度曲線規(guī)劃方法其加加速度曲線會出現(xiàn)突變，而指數(shù)函數(shù)速度規(guī)劃方法的加加速度曲線是連續(xù)平滑的。除此之外，指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法規(guī)劃方法計(jì)算量小、公式簡單，只需要控制2 個(gè)參數(shù):增益α 和延時(shí)Td，即可確定規(guī)劃的軌跡;而S形速度曲線的表達(dá)式是分段函數(shù)形式的，需要先計(jì)算各分段時(shí)間點(diǎn)和根據(jù)總的運(yùn)動(dòng)位移判斷曲線由幾段組成，計(jì)算量大，公式相對復(fù)雜［16］。因此，綜合兩者的性能比較可以確定，指數(shù)函數(shù)速度曲線規(guī)劃方法比S 形速度曲線規(guī)劃方法更有優(yōu)勢。

圖13 末端位移曲線

6 結(jié)束語

在高速輕載機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中，如果機(jī)器人運(yùn)動(dòng)軌跡的速度、加速度和加加速度曲線突變或者不連續(xù)將導(dǎo)致機(jī)器人運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)振動(dòng)現(xiàn)象，這將嚴(yán)重影響機(jī)器人的使用壽命和對位精度。本文為此提出基于指數(shù)函數(shù)的速度軌跡規(guī)劃方法，曲線輪廓和S 形速度曲線相似，但是加加速度卻是連續(xù)、平滑的，而且本文方法和S 形曲線規(guī)劃方法相比，具有公式簡單、計(jì)算量小的優(yōu)點(diǎn)，只需要控制2 個(gè)參數(shù):時(shí)間增益α 和延時(shí)Td，即可確定規(guī)劃軌跡。為了提高軌跡規(guī)劃運(yùn)算速度，可以離線計(jì)算3 次指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，制作成一張表格供在線規(guī)劃時(shí)查表。本文方法是針對SCARA 機(jī)器人的PTP 運(yùn)動(dòng)軌跡，不適用于需要規(guī)劃連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡的笛卡爾空間，因此，下一步的研究是將此方法擴(kuò)展到笛卡爾空間連續(xù)運(yùn)動(dòng)軌跡中。

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