S－分布時滯隨機(jī)競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定性*

張 燕，楊 彬，王林山

（1.中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東 青島 266100；2.青島大學(xué)，山東 青島 266071）

0 引言

競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在模式識別、信號處理、優(yōu)化計(jì)算和控制理論中有著廣泛應(yīng)用。從生物學(xué)角度出發(fā)，人類記憶分為短期記憶（STM）和長期記憶（LTM），STM描述網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)瞬時變化的動力學(xué)行為；LTM描述網(wǎng)絡(luò)受外部刺激而誘發(fā)的無師指導(dǎo)下突觸緩慢變化的動力學(xué)行為。由此，文獻(xiàn)［1］提出如下一類具有不同時間尺度的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

由于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在運(yùn)行過程中，神經(jīng)元之間的突觸反應(yīng)不可避免地出現(xiàn)時間延遲效應(yīng)，因此人們研究了含有離散時滯和分布時滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力行為［2－4］。特別是，包含離散時滯和分布時滯的S－ 分布時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動力行為的研究更加引人注目［5－7］。另外，網(wǎng)絡(luò)在信號傳輸過程中易受噪聲干擾，噪音往往影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性［8－10］，因此，研究S－ 分布時滯隨機(jī)競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動力學(xué)行為不僅是應(yīng)用的需要，而且理論上也有重要意義。本文研究了一類S－分布時滯隨機(jī)競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的適定性和全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定性。給出了易于驗(yàn)證的穩(wěn)定性判據(jù)，推廣了文獻(xiàn)［15-16］中的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

考慮如下S-分布時滯隨機(jī)競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型：

定義 1設(shè)x＝（x1，x2，…，xN）T，φ（θ）＝（φ1（t），φ2（t），…，φN（t））∈C（ （－ ∞，0］，RN）和D＝（dij）N×N，則其范數(shù)分別定義為：

定義2［12］設(shè)＝（0，0）T，i＝1，2，…，N為系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)，對于任意的有界的初始函數(shù)φ（θ）＝（φ1（θ），…，φN（θ））T，ψ（θ）＝（ψ1（θ），…，ψN（θ））T∈C（（－ ∞，0］，RN），zi（t）＝（xi（t），Si（t））T是系統(tǒng)（2）滿足條件（t）＝（φi（t），ψi（t））T，i＝1，2，…，N，－∞ ＜t≤0，的解。若存在常數(shù)λ＞0，K＞0，使得

則稱系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)＝（0，0）T，i＝1，2，…，N是全局均方指數(shù)穩(wěn)定的。

定義3［13］如果對每個A∈Al，B∈Bl，C∈Cl，D∈Dl，M∈Ml，且系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T是全局均方指數(shù)穩(wěn)定的，則稱系統(tǒng)（2）在均方意義下是全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定的。

引理1［14］考慮完備概率空間 （Ω，｛Ft｝，Ρ） 上的自治泛函微分方程：

其中：

若f，G滿足Lipschitz條件：

則系統(tǒng)（5）在［t0，T］上存在唯一連續(xù)的全局解。

引理2［11］（It定理）令u＝u（t，x1，x2，…，xd）是定義在［t0，T］×Rd上的連續(xù)函數(shù)且存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)ut，uxi，uxixj，i，j＝1，2，…，d，若d維隨機(jī)過程xi（t）在［t0，T］滿足：

則隨機(jī)過程u＝u（t，x1（t），x2（t），…，xd（t））的隨機(jī)微分為：

引理3［14］若系統(tǒng)的平衡點(diǎn)在均方意義下是全局指數(shù)穩(wěn)定的，那么網(wǎng)絡(luò)是幾乎必然一致指數(shù)穩(wěn)定。

2 主要結(jié)果

定理1 假設(shè)下列條件成立：

（H1）：存在常數(shù)lj＞0，ξij＞0，i，j＝1，2，…，N，使得對任意x，y∈RN有：

（H2）存在常數(shù)μ＞0，使得

為證明方便，將系統(tǒng)（1）可化為：

由條件（H1）可以證明系統(tǒng)（14）等式右端系數(shù)滿足Lipschitz條件，證明如下：

設(shè)

顯然，由條件（H1），（15）和（16）可得

由（17）和引理1知系統(tǒng)（2）存在唯一滿足初值條件xi（θ）＝φi（θ），Si（θ）＝ψi（θ），i＝1，2，…，N，θ∈（－ ∞，0］解Z（t）＝（X（t），S（t））T，且以概率1連續(xù)。再證：平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T在均方意義下全局指數(shù)穩(wěn)定。

定義映射：

則由條件（H3）得：

定義Lyapunov泛函

根據(jù)引理2得：

由H（u）≥0，得

因此LV（t，x（t），S（t））≤0。

又因LV（t，x（t），S（t））≤0，所以有：

則根據(jù)定義3，系統(tǒng)（2）的平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T在均方意義下是全局指數(shù)穩(wěn)定的，并且對每個A∈Al，B∈Bl，C∈Cl，D∈Dl，M∈Ml，系統(tǒng)（1）在均方意義下是全局指數(shù)魯棒穩(wěn)定的，依據(jù)引理3，平衡點(diǎn)z＊＝（0，0）T也是幾乎必然指數(shù)一致穩(wěn)定的。即網(wǎng)路幾乎必然指數(shù)穩(wěn)定。注：由文獻(xiàn)［5］知，S-分布時滯的系統(tǒng)包含了離散時滯和分布時滯的系統(tǒng)，反之不成立。因此，文獻(xiàn)［2-4］研究的問題是本文研究問題的特例，本文推廣了這些文獻(xiàn)中的有關(guān)結(jié)果。另外，S-分布時滯還包含了無窮分布時滯［18］的情形。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮如下S－分布時滯隨機(jī)競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（N＝2）：

其 中fj（xj（t））＝sin（xj（t）），σij（xj）＝sin（xj（t）），ηj（t）＝，λj＞0，i，j＝1，2，

取pi＝1，i＝1，2，則滿足定理1中的條件，從而系統(tǒng)在均方意義下是全局指數(shù)穩(wěn)定的。

取初值條件 （2，－1，－3，2） 得仿真圖像：

圖1 初值取 （2，－1，－3，2）T時系統(tǒng)的仿真結(jié)果Fig．1 The simulation results of the system at initial value （2，－1，－3，2）T

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