一類新的多變量灰色MNGM（1，n，k）模型及其優(yōu)化

曾 亮

（廣東理工學院 基礎教學部，廣東 肇慶526100）

0 引 言

自灰色系統(tǒng)理論提出以來，GM（1，1）模型是受到關注最多、應用最廣泛的模型，應用范圍涉及了工業(yè)、農業(yè)、金融、水利、交通和能源等眾多領域［1］，它主要是針對單變量序列的建模和預測.MGM（1，n）模型［2］是從系統(tǒng)的角度對各變量統(tǒng)一描述，能較好地反映系統(tǒng)中各變量間相互制約、相互促進的的關系，它是GM（1，1）模型在元變量情況下的自然推廣，不是GM（1，1）模型的簡單組合，文獻［2］已經通過實例證明了多變量MGM（1，n）預測模型比多個GM（1，1）預測模型的預測效果要更好.

自多變量灰色MGM（1，n）模型提出以來，已有國內外大量學者對其改進做了深入研究，取得了一系列的研究成果，如文獻［3-8］通過優(yōu)化背景值和初始值等方式顯著提高了預測精度.雖然MGM（1，n）模型及其改進模型在預測應用中取得的效果值得認可，但它們主要是針對具有準指數(shù)規(guī)律的原始序列矩陣，對近似非齊次指數(shù)規(guī)律的序列矩陣的預測效果并不理想［9］.

文獻［9］針對原始序列為近似非齊次指數(shù)規(guī)律，首次提出了單變量NGM（1，1，k）模型，有效拓展了傳統(tǒng)GM（1，1）模型的應用范圍，但其仍存在形式固定、應用范圍有限等缺陷［10］.為此，文獻［10］和文獻［11］分別進行了改進，取得了明顯成效.本文在文獻［2］和文獻［9-11］的基礎上繼續(xù)改進及推廣，針對近似服從非齊次指數(shù)增長律的原始序列矩陣，首次提出了多變量灰色MNGM（1，n，k）模型，并通過一系列數(shù)學推導得到了模型的時間響應式，拓寬了灰色系統(tǒng)的應用范圍.為達到更高的預測精度，對新模型的背景值進行了優(yōu)化，最后通過算例證明了其有效性.

1 多變量灰色MNGM（1，n，k）模型

1.1 模型的建立

為多變量灰色MNGM（1，n，k）模型.

則稱一階微分方程

為多變量灰色MNGM（1，n，k）模型的白化形式.

定理1 MNGM（1，n，k）模型之白化形式的解為

若以X（1）（1）為初始值，則MNGM（1，n，k）模型的連續(xù)時間響應式為

證明 由式（2）變形得

其中

從而可得參數(shù)矩陣A，參數(shù)向量B和C的辨識值分別為

則MNGM（1，n，k）模型的響應式為

還原值為

由于篇幅的原因，證明過程在此省略.

1.2 模型的分析

當n=1時，MNGM（1，n，k）模型退化為NGM（1，1，k）模型；當B=0時，MNGM（1，n，k）模型退化為傳統(tǒng)MGM（1，n）模型.由此可知，MNGM（1，n，k）模型是傳統(tǒng)MGM（1，n）模型和NGM（1，1，k）模型的擴展.

結合式（6）和（7）可得MNGM（1，n，k）模型時間響應式的還原值為

從式（8）和式（9）可以看出，MNGM（1，n，k）模型時間響應式的還原值為非齊次指數(shù)矩陣形式，而傳統(tǒng)MGM（1，n）模型為齊次指數(shù)矩陣形式.因此，在利用傳統(tǒng)MGM（1，n）模型對非齊次指數(shù)矩陣序列進行建模預測時，由于數(shù)據序列的分布特性并不一致，導致預測效果并不理想，甚至會出現(xiàn)較大誤差.從理論分析可知，本文提出的MNGM（1，n，k）模型在一定程度上彌補了以上缺陷，這為后面的實際應用提供了理論依據.

2 多變量灰色MNGM（1，n，k）模型的優(yōu)化

為能進一步提高預測精度，達到更好的預測效果，下面基于背景值的優(yōu)化對模型做相應改進.

在區(qū)間［k-1，k］上，將方程（2）對應的n個白化方程兩邊同時取積分，可得

對比式（1）和式（10）可發(fā)現(xiàn)，所有變量的背景值的計算公式近似代替了1，2，…，n），即用直角梯形面積近似代替了曲邊梯形的面積，而這正是誤差的來源.因此，為提高模型的模擬預測精度，可以從優(yōu)化背景值入手，直接利用作為第i個變量的背景值.

由式（4）可看出，MNGM（1，n，k）模型的一階累加生成時間序列的響應式具有部分指數(shù)、部分線性的形式，為了盡可能消除由背景值帶來的誤差，不妨設

式中：αi，βi，γi，δi為待定常數(shù)，且滿足

則

由式（15）可解得

將αi值代入式（14）可得

結合式（13）～（15），可得

又

將δi值代入式（20），可得

式中：αi，βi和γi的計算分別對應式（16）～（18），且記

利用優(yōu)化后的背景值公式ˉz（1）i（k）替換式（1）的z（1）i（k），然后依據相同的理論與方法可得到優(yōu)化后 的MNGM（1，n，k）模 型（下 面 簡 稱 優(yōu) 化MNGM（1，n，k）模型）.

3 算例分析

為 了 驗 證MNGM（1，n，k）模 型 和 優(yōu) 化MNGM（1，n，k）模型的模擬預測效果，本文參照文獻［7］中的數(shù)據設計算例進行模擬分析.取x1（0）（k）=e0.3k+2和x2（0）（k）=e0.6k+3，令k=1，2，3，4，5，6，得兩變量的原始數(shù)據序列分別為：

下面針對原始序列X（0）1和X（0）2分別建立傳統(tǒng)的MGM（1，2）模型、本文提出的MNGM（1，2，k）模型和優(yōu)化MNGM（1，2，k）模型進行比較分析.在建模過程中，取原始序列的前5個數(shù)據來建模，后1個數(shù)據用來檢驗模型預測的效果.經編程計算，得到兩序列的MGM（1，2）模型之白化形式為

兩序列的MNGM（1，2，k）模型之白化形式為

兩序列的優(yōu)化MNGM（1，2，k）模型之白化形式為

三種模型對序列X（0）1和X（0）2的模擬值、預測值和相對誤差的比較結果見表1和表2.

由表1和表2可以看出，傳統(tǒng)MGM（1，2）模型、MNGM（1，2，k）模型和優(yōu)化MNGM（1，2，k）模型對序列的模擬的平均相對誤差分別為0.98%，0.72%和0.18%，對序列的模擬的平均相對誤差分別為4.97%，4.70%和1.84%，均依次遞減.另外，對原始序列的一步預測的相對誤差也有相同趨勢.以上說明了MNGM（1，2，k）模型的模擬預測精度比傳統(tǒng)MGM（1，2）模型高，對近似非齊次指數(shù)增長律的序列矩陣有更好的模擬預測效果，同時，MNGM（1，2，k）模型經優(yōu)化后，模擬預測精度有顯著提升.

表1 三種模型對序列X（0）1 的模擬值和相對誤差比較 Tab.1 Comparing the simulation values and relative errors of the sequence X（0）1 among three models

表2 三種模型對序列X（0）2 的模擬值和相對誤差比較 Tab.2 Comparing the simulation values and relative errors of the sequence X（0）2 among three models

4 結 論

灰色預測模型是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，多變量灰色模型能較好地反映系統(tǒng)內部各變量之間相互影響、相互制約的關系，比單變量灰色模型具有更廣的應用范圍和更高的預測精度.本文針對近似非齊次指數(shù)規(guī)律的原始序列矩陣，首次定義并使用多變量灰色MNGM（1，n，k）模型進行建模預測，與傳統(tǒng)MGM（1，n）模型相比較，具有更好的預測效果.然而MNGM（1，n，k）模型不能完全代替?zhèn)鹘y(tǒng)MGM（1，n）模型，它是MGM（1，n）模型的擴展和補充.經背景值優(yōu)化后的MNGM（1，n，k）模型比原始MNGM（1，n，k）模型能顯著提高預測精度，更具實用性.

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