二階差分方程組周期解的多重性

郭 娟，陳 麗，張建明

（1.山西工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，山西 太原030006；2.太原理工大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，山西 太原030024）

1 引言及主要結(jié)果

眾所周知，非線性差分方程（組）已廣泛應(yīng)用于研究計(jì)算機(jī)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、生態(tài)學(xué)及控制論等學(xué)科中出現(xiàn)的離散模型.因此，關(guān)于差分方程的可解性、穩(wěn)定性、周期性及振動(dòng)性等問(wèn)題的研究被許多學(xué)者所關(guān)注.就非線性共振差分方程的可解性而言，人們主要利用Morse理論和變分方法等來(lái)研究差分方程解的存在性與多重性［1-8］.

本文主要討論下列二階差分方程組周期解的多重性.這里的λ是一個(gè)實(shí)參數(shù)，A是R2上的對(duì)稱矩陣，T≥2是一個(gè)給定的整數(shù)，當(dāng)a，b∈Z且a≤b時(shí)，Z［a，b］=｛a，a+1，…，b｝，△是向前差分算子，即△z（t）=z（t+1）-z（t），△2z（t）=△（△z（t）），V∈C2（Z［1，T］×R2，R）且滿足下列條件：

（V0）V（t，0）=0，V′x（t，0）=0，V″x（t，0）=0，t∈Z［1，T］.

（V∞）存在ˉR＞0，α＞2使得當(dāng)‖x‖＞ˉR，t∈Z［1，T］時(shí)，0＜αV（t，x）≤（V′x（t，x），x）.

（V01）存在ε＞0，使得當(dāng)0＜‖x‖＜ε時(shí)，V″x（t，x）＞0，t∈Z［1，T］.

（V02）存在ε＞0，使得當(dāng)0＜‖x‖＜ε時(shí)，V″x（t，x）＜0，t∈Z［1，T］.

（V）對(duì)任意的p＞α，存在M＞0使得當(dāng)x∈R2，t∈Z［1，T］時(shí)，|V（t，x）|≤M（1+‖x‖p）.

其中，（·，·）和‖·‖分別為R2上的內(nèi)積和范數(shù).對(duì)任意兩個(gè)R2上的對(duì)稱矩陣B和C，當(dāng)B-C是一個(gè)正定矩陣時(shí)，記為B＞C.

由V′x（t，0）=0可知，對(duì)任意的λ∈R，z≡0是（P）λ的解，本文主要是尋找（P）λ的非平凡周期解.令λ1＜λ2＜…＜λm是（P）λ相應(yīng)的線性問(wèn)題的所有互異特征值.記主 要 結(jié) 果 如下：

定理1 假設(shè)V滿足（V0）-（V01）和（V），i∈Z［1，m-1］，則存在δ＞0，使得當(dāng)M-≤δ，λ∈（λi-δ，λi）時(shí)，（P）λ至少有三個(gè)非平凡周期解.

定理2 假設(shè)V滿足（V0），（V∞），（V02）和（V），i∈Z［1，m-1］，則存在δ＞0，使得當(dāng)M-≤δ，λ∈（λi，λi+δ）時(shí)，（P）λ至少有三個(gè)非平凡周期解.

2 預(yù)備知識(shí)

ap‖z‖≤‖z‖p≤bp‖z‖，z∈E.（1）記C=B-A?IT，其中

則J∈C2（E，R）.且對(duì)任意z1，z2，z3∈E，有

所以問(wèn)題（P）λ的解等價(jià)于泛函J在E上的臨界點(diǎn).

對(duì)任意的i∈Z［1，m］，定義

則E=Ei⊕E⊥i.記pi=dim E（λi），qi=dim Ei=設(shè)z0∈E是J的一個(gè)臨界點(diǎn)，記μ（z0）和ν（z0）是J在z0處的Morse指數(shù)和零化度.

定義1 設(shè)E是一個(gè)Banach空間且J∈C1（E，R），若對(duì)任意｛zn｝?E，｛J（zn）｝有界且J′（zn）→0（n→∞）蘊(yùn)含｛zn｝有收斂子列，則稱泛函J在E上滿足（PS）條件.

定義2［9-10］設(shè)E是Hilbert空間且J∈C2（E，R）滿足緊性條件（PS），z0是J的一個(gè)孤立臨界點(diǎn)且J（z0）=c，U是只包含臨界點(diǎn)z0的鄰域，則Cq（J，z0）=Hq（Jc∩U，（Jc＼z0）∩U），q∈N∪｛0｝，稱為J在點(diǎn)z0處的第q個(gè)臨界群，其中Jc=｛z∈E|J（z）≤c｝，Hq（A，B）為帶有整系數(shù)的拓?fù)鋵?duì)（A，B）的第q個(gè)奇異相對(duì)同調(diào)群.

命題1［11］設(shè)E是一個(gè)Hilbert空間，Φ∈C2（E，R），且▽?duì)担▃）=Lz+H（z），其中L∈L（E，E）是對(duì)稱的，且當(dāng)‖z‖→0時(shí)，H（z）=o（‖z‖）.考慮如下等式

令μ∈σ（L）是一個(gè)有限孤立特征值，則下列結(jié)論之一成立.

（i）（μ，0）不是式（2）在μ×E上的一個(gè)孤立解.

（ii）存在一個(gè)μ的一側(cè)的鄰域Λ，使得對(duì)任意的λ∈Λ＼｛μ｝，式（2）至少有兩個(gè)不同的非平凡解.

（iii）存在一個(gè)μ的領(lǐng)域Λ，使得對(duì)任意的λ∈Λ＼｛μ｝，式（2）至少有一個(gè)非平凡解.

命題2［10-12］設(shè)E是一個(gè)實(shí)的Banach空間，E=X⊕Y，l=dim X＜∞.若J∈C1（E，R）滿足（PS）條件，且滿足

（J1）存在ρ＞0，γ＞0，使得當(dāng)z∈Sρ=Y∩?Sρ時(shí)，J（z）≥γ，其 中Sρ=｛z∈E|‖z‖≤ρ｝；

（J2）存在R＞ρ＞0和e∈Y，且‖e‖=1，使得當(dāng)z∈?Q時(shí)，J（z）＜γ，其中Q=｛z=u+se|‖z‖≤R，u∈X，0≤s≤R｝.

則J有一個(gè)臨界點(diǎn)z0，滿足J（z0）=c0≥γ，且Cl+1（J，z0） 0，這里的Sρ和?Q是關(guān)于直和分解E=X⊕Y的一個(gè)同調(diào)環(huán)繞.

3 主要結(jié)果的證明

引理1 假設(shè)V滿足（V∞），則對(duì)任意λ∈R，泛函J滿足（PS）條件.

證明 設(shè)｛zn｝?E滿足|J（zn）|≤M1（n∈N），且J′（zn）→0（n→∞），只需證明｛zn｝有界.取由假設(shè)，存在N∈N，則當(dāng)n＞N時(shí)，有

M1+β‖zn‖≥J（zn）-β〈J′（zn），zn〉.由（V∞）及連續(xù)性，存在M＞0，使得

V（t，x）≥M‖x‖α-M，t∈Z［1，T］，x∈R2. （3）

又V∈C2（Z［1，T］×R2，R），故存在D＞0使得

因此，由式（1），（3）和（4），當(dāng)n＞N時(shí)，有

由于α＞2，β∈（α ，2），則｛zn｝是有界的.

引理2 假設(shè)V滿足（V0），（V∞）和（V），則對(duì)任意固定的i∈Z［1，m-1］，存在ρi＞0，γi＞0，使得當(dāng)λ＜λi+1時(shí)，有

J（z）≥γi，z∈E⊥i，‖z‖=ρi. （5）證明 由（V0）和（V），對(duì)任意的ε＞0，存在Mε＞0，使得

當(dāng)z∈E⊥i時(shí)。由式（1）可知

引理3 假設(shè)V滿足（V∞），i∈Z［1，m-1］，則存在R＞0，0＜δ＜min｛λi-λi-1，λi+1-λi｝和σ∈R，使得當(dāng)M-≤δ時(shí)，對(duì)任意固定的λ∈（λi-δ，λi+δ），有

這里λ0=0，Qi=｛z∈Ei⊕span｛φi+1｝|‖z‖≤R，z=u+sφi+1，u∈Ei，s≥0｝，φi+1是（P）相應(yīng)于特征值λi+1的特征函數(shù)，且‖φi+1‖=1.

證明 對(duì)任意z∈Ei⊕span｛φi+1），有z=u+v，其中u∈Ei-1，v∈E（λi）⊕span｛φi+1｝，s≥0，由式（1）和（3）可得

由于α＞2，所以存在R＞0使得

J（z）≤0，z∈Ei⊕span｛φi+1｝，

對(duì)任意的u∈Ei，‖u‖≤R，有u=w+v，其中w∈Ei-1，v∈E（λi）.當(dāng)λ∈（λi-1，λi+1）時(shí)，有

定理3 設(shè)V滿足（V0），i∈Z［1，m］，則存在δ＞0，當(dāng)V滿足（V01）且λ∈（λi-δ，λi）或V滿足（V02）且至少存在兩個(gè)非平凡周期解，且解zλ的Morse指數(shù)和零化度滿足

證明 利用命題1（ii）來(lái)證明解的存在，只證明V滿足（V01）且λ∈（λi-δ，λi）的情形，另一種情形的證明是類似的.因?yàn)閂滿足（V0），（P）的每個(gè)特征值λi導(dǎo)致（P）λ的一個(gè)分歧點(diǎn)（λi，0）［11］.令接近（λi，0）的一個(gè)解，且滿足

由（V0）有

在假設(shè)條件下，由（V01）可知V″x（t，ηz（t））＞0，t∈Z［1，T］，則有A+V″x（t，ηz（t））＞A，t∈Z［1，T］.現(xiàn)在考慮線性方程組

記μ1（z）＜μ2（z）＜…＜μjz（z），z≠0為式（13）的所有互異特征值，根據(jù)條件（V0），若令z=0，則對(duì)每個(gè)k∈Z［1，j0］存在n∈Z［1，m］使得μk（0）=λn，因此式（13）的特征值μk（z）小于方程（P）相應(yīng)的第n個(gè)特征值λn，并且當(dāng)z→0時(shí)，μk（z）→λn，z∈E，由式（11）和（12）可知，z是式（13）的一個(gè)解，特征值為λ，且λ＜λi.

下面估計(jì)Morse指數(shù).令zλ是（P）λ的一個(gè)分歧解，當(dāng)λ→λi時(shí)，‖zλ‖→0.對(duì)任意z1∈E有

因此，當(dāng)Z1∈Ei-1時(shí)有

當(dāng)z2∈E⊥i時(shí)有

通過(guò)V0可知 存在δ＞0使得0＜|λ-λi|＜δ時(shí)，

定理4 假設(shè)V滿足（V0），（V∞），（V），i∈Z［1，m］，則存在δ＞0，使得當(dāng)M-≤δ時(shí)，對(duì)第一個(gè)λ∈（λi-δi，λi+δ），（P）λ有一個(gè)非平凡周期解zλ，并且

由引理1可知，J滿足（PS）條件.當(dāng)R＞ρi＞0，Sρi和?Qi是關(guān)于直和分解E=Ei⊕E⊥i的一個(gè)同調(diào)環(huán)繞時(shí)，由命題2可知J有一個(gè)臨界點(diǎn)zλ滿足式（14）.

定理1的證明 由定理3以及Gromoll-Meyer定理［10，13］可得到（P）λ有兩個(gè)非平凡周期解它們的Morse指數(shù)滿足

并且

由定理4可知當(dāng)λ∈（λi-δ，λi）時(shí)，（P）λ有一個(gè)非平凡周期解zλ滿足

定理2的證明 與定理1的證明類似，λ∈（λi，λi+δ）時(shí)，應(yīng)用定理3以及定理4可證得結(jié)論.

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