高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究

張衛(wèi)華

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031）

高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究

張衛(wèi)華

（西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，成都610031）

根據(jù)高速鐵路結(jié)構(gòu)和技術(shù)特點(diǎn)，把高速列車以及與之相關(guān)并影響其動(dòng)力學(xué)性能的線路、氣流、供電和接觸網(wǎng)等耦合系統(tǒng)作為一個(gè)統(tǒng)一的大系統(tǒng)，通過建立高速列車、線路、弓網(wǎng)及供電等子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，以及輪軌、弓網(wǎng)、流固和機(jī)電等耦合關(guān)系模型，形成高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)高速列車運(yùn)行模擬要求，給出基于循環(huán)變量方法的列車動(dòng)力學(xué)建模及計(jì)算方法、基于滑移模型的車線耦合計(jì)算方法、基于松弛因子的流固耦合計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真。

高速鐵路；高速列車；動(dòng)力學(xué)；耦合關(guān)系；仿真計(jì)算

1　前言

中國(guó)高速鐵路的蓬勃發(fā)展，不僅給世界帶來了一個(gè)驚喜，高鐵走出去戰(zhàn)略的實(shí)施，也帶動(dòng)了世界高速鐵路的發(fā)展。高速鐵路的發(fā)展，給動(dòng)力學(xué)研究帶來了新的課題和挑戰(zhàn)。為了設(shè)計(jì)高速動(dòng)車組的動(dòng)力學(xué)性能，優(yōu)化高速列車與線路、受電弓與接觸網(wǎng)之間的匹配關(guān)系，掌握氣流作用對(duì)高速列車運(yùn)行及其弓網(wǎng)接觸受流等擾動(dòng)影響。2007年原鐵道部制訂《時(shí)速300～350公里高速動(dòng)車組總體技術(shù)方案》[1]時(shí)（1公里=1 km），在本文作者的倡議下，把“發(fā)展和應(yīng)用高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論”作為高速動(dòng)車組的創(chuàng)新要點(diǎn)，通過國(guó)家支撐計(jì)劃項(xiàng)目“中國(guó)高速列車關(guān)鍵技術(shù)研究及裝備研制”課題一“共性基礎(chǔ)及系統(tǒng)集成技術(shù)”的實(shí)施，這一創(chuàng)新要點(diǎn)取得很好的進(jìn)展，形成了《高速列車耦合大系統(tǒng)理論與實(shí)踐》一書。本文將介紹其理論部分的工作。

2　高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是以高速列車為核心，把高速列車以及與之相關(guān)并影響其動(dòng)力學(xué)性能的線路、氣流、供電和接觸網(wǎng)等耦合系統(tǒng)作為一個(gè)統(tǒng)一的大系統(tǒng)，研究高速列車動(dòng)力學(xué)行為，以實(shí)現(xiàn)全局仿真、優(yōu)化和控制的科學(xué)。因此，高速列車耦合大系統(tǒng)基本的子系統(tǒng)包括車輛系統(tǒng)、線路系統(tǒng)、弓網(wǎng)系統(tǒng)、供電系統(tǒng)以及影響列車動(dòng)力學(xué)性能的氣流。不同系統(tǒng)的響應(yīng)是相互影響、相互關(guān)聯(lián)的，而兩兩之間存在著特有的耦合關(guān)系，其中包含了傳統(tǒng)的列車內(nèi)部的車間耦合關(guān)系、車線之間的輪軌耦合關(guān)系、受電弓與接觸網(wǎng)之間的弓網(wǎng)耦合關(guān)系、供電系統(tǒng)與列車之間的機(jī)電耦合關(guān)系、列車與環(huán)境（氣流）之間的流固耦合關(guān)系，見圖1。

圖1　高速列車耦合大系統(tǒng)Fig.1　The coupled systems in high-speed train

圖2是更加具體化的高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)關(guān)系圖。首先是列車，列車由動(dòng)車或者拖車編組而成，每節(jié)車是基本單元，即傳統(tǒng)車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的對(duì)象，在列車中需要考慮車與車之間的耦合作用力。受電弓安裝在列車中某個(gè)車輛上，受電弓的底座隨該車輛頂部的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，受電弓與接觸網(wǎng)之間，通過受電弓頂部的滑板與接觸網(wǎng)下部的接觸線實(shí)現(xiàn)滑動(dòng)接觸，實(shí)現(xiàn)弓網(wǎng)相互作用力和電的耦合和傳動(dòng)。列車與線路是通過輪軌相互作用來實(shí)現(xiàn)力的傳遞。線路有鋼軌、無(wú)砟軌道板和路堤或高架橋等組成部分，它們之間也將通過力的傳遞建立耦合關(guān)系。最后是氣流，高速氣流作用到列車上，不僅影響到列車運(yùn)動(dòng)姿態(tài)，也會(huì)影響弓網(wǎng)系統(tǒng)的振動(dòng)?？梢钥吹剑藱C(jī)電耦合，其他系統(tǒng)都是直接用力耦合形成大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)。而機(jī)電耦合，通過電能和機(jī)械能的相互轉(zhuǎn)換，用電機(jī)的扭矩來驅(qū)動(dòng)（或制動(dòng)）車輪，最終在輪軌接觸點(diǎn)上產(chǎn)生牽引力（或制動(dòng)力），使得列車加速、減速或者恒速運(yùn)行。

圖2　高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.2　Dynamics model for coupled systems in high-speed train

基于子結(jié)構(gòu)方法，分別建立車輛系統(tǒng)、軌道系統(tǒng)、弓網(wǎng)系統(tǒng)、氣流、供電系統(tǒng)和牽引傳動(dòng)系統(tǒng)的系統(tǒng)模型，再建立基于列車動(dòng)力學(xué)的車間、弓網(wǎng)、輪軌、機(jī)電和流固等耦合模型，最終形成高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，具體的介紹見筆者的專著[2]。

2.1車輛系統(tǒng)剛?cè)狁詈辖?/p>

車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模采用多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法，而車輛系統(tǒng)與一般多體系統(tǒng)的主要區(qū)別之一就是車輛系統(tǒng)沿特定軌道運(yùn)動(dòng)，因此發(fā)展出基于軌道坐標(biāo)系車輛系統(tǒng)建模方法[3]，如圖3所示。假設(shè)整個(gè)車輛系統(tǒng)定義在同一個(gè)絕對(duì)坐標(biāo)系（全局慣性坐標(biāo)系）OXYZ中，引入一個(gè)軌道坐標(biāo)系OtXtYtZt，該坐標(biāo)系X軸與曲線相切指向車輛前進(jìn)方向，Z軸垂直于水平面向上，Y軸垂直XOZ平面向左，軌道坐標(biāo)系跟隨車輛系統(tǒng)一起沿軌道中心線運(yùn)動(dòng)，軌道坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)用軌道弧長(zhǎng)s唯一確定。每個(gè)運(yùn)動(dòng)體（剛體或柔性體）擁有一個(gè)體坐標(biāo)系，假設(shè)圖中車體i，其體坐標(biāo)系為OiXiYiZi，車體i在全局慣性坐標(biāo)系中的位置用其體坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量Ri表示，假設(shè)車體上任意一點(diǎn)P在其體坐標(biāo)系中的位置矢量為p，在絕對(duì)坐標(biāo)系下該矢量為up，考慮在軌道坐標(biāo)系中的慣性體的彈性變形，體坐標(biāo)系相對(duì)全局慣性坐標(biāo)系的方位矩陣為Ai，車體上P的位置矢量可以表示為：

圖3　柔性體描述Fig.3　Flexible body description

式(1)中,Ri為車體在軌道坐標(biāo)系中的位置矢量，Ri= [0 yizi]；Rt=Rt（s）為軌道坐標(biāo)系在總體坐標(biāo)中的位置矢量；At=At(ψ（s）,θ（s）,?（s）)為軌道坐標(biāo)系相對(duì)總體坐標(biāo)系的變換矩陣,采用歐拉角坐標(biāo)系描述;ψ（s）, θ（s）,?（s）分別為軌道的搖頭角、點(diǎn)頭角和側(cè)滾角，當(dāng)s確定時(shí)Rt和At為已知量。

令

柔性體i的廣義坐標(biāo)包括模態(tài)坐標(biāo)，即：

則公式（3）可以簡(jiǎn)化為：

采用多剛體同樣的推導(dǎo)方式可得到彈性體質(zhì)量矩陣：

式（8）中，mRR為柔性體平動(dòng)慣量；mRθ為平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)的慣性耦合項(xiàng)；mRf為平動(dòng)與變形的慣性耦合項(xiàng)；mθθ為轉(zhuǎn)動(dòng)慣性張量；mθf(wàn)為轉(zhuǎn)動(dòng)與變形的慣性耦合項(xiàng)；mff為體彈性變形的慣性。

與剛體相比，除了存在廣義外力外，柔性體還存在結(jié)構(gòu)變形彈性力和阻尼力，阻尼矩陣D和剛度矩陣K可表示為：

式(10)中，ωi為柔性體第i階固有頻率；ζi為等效粘性阻尼比。車體i的廣義慣性力為：

考慮到約束，車體的剛?cè)狁詈戏匠炭梢詫懗桑?/p>

式(12)中，λ為拉格朗日乘子；Qv為與速度二次項(xiàng)相關(guān)的廣義慣性力；Qe為一般力元廣義外力；Qwr為輪軌力廣義力；Cp為約束方程雅克比矩陣；C(p,t)為約束方程，包含了歐拉參數(shù)的約束條件。對(duì)于整個(gè)車輛系統(tǒng)可以分別建立每個(gè)慣性體的動(dòng)力學(xué)方程，采用矩陣組裝的方式形成整個(gè)車輛系統(tǒng)的微分代數(shù)方程組，車輛系統(tǒng)剛?cè)狁詈蟿?dòng)力學(xué)方程與式（12）形式相同。

與位移模態(tài)疊加法類似，采用應(yīng)力和應(yīng)變模態(tài)進(jìn)行疊加，可計(jì)算出結(jié)構(gòu)的應(yīng)力和應(yīng)變。假設(shè)結(jié)構(gòu)屬于線性小變形，在進(jìn)行有限元模態(tài)分析時(shí)同時(shí)計(jì)算出各階振型對(duì)應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變，這些應(yīng)力和應(yīng)變結(jié)果稱為應(yīng)力模態(tài)和應(yīng)變模態(tài)。根據(jù)有限元應(yīng)力和應(yīng)變計(jì)算公式可以得到下式內(nèi)容：

式（13）、式（14）中，B為應(yīng)變矩陣；Ε為彈性矩陣；Φε和Φσ分別為應(yīng)變和應(yīng)力模態(tài)與位移模態(tài)相似。

2.2高速無(wú)砟軌道建模

采用無(wú)砟軌道是高速鐵路發(fā)展趨勢(shì)，傳統(tǒng)的有砟軌道建模方法日趨成熟[4]，無(wú)砟軌道也有學(xué)者進(jìn)行研究[5]。由于高速鐵路無(wú)砟軌道分在路堤段和高架橋路段，建模方法也有所不同，這里以高架橋路段模型為例。

橋梁段無(wú)碴軌道模型中，軌道被視為由鋼軌，扣件系統(tǒng)，軌道板，CA砂漿層以及橋梁組成。其中，左右鋼軌被視為連續(xù)彈性離散點(diǎn)支撐基礎(chǔ)上的Timoshenko梁，并考慮鋼軌的垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，軌道板用三維實(shí)體有限元單元模擬，鋼軌扣件和CA砂漿層用周期性離散的粘彈性單元代替，橋梁采用梁?jiǎn)卧M?？紤]地震的橋梁段無(wú)砟軌道系統(tǒng)模型如圖4所示[5，6]。

圖4　高架橋段無(wú)碴軌道動(dòng)力學(xué)模型Fig.4　The dynamic model of slab track on embankment elevation

為簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)Timoshenko梁支座兩端及其中間軌下支撐處的地震激勵(lì)是一致的，則地震作用下鋼軌的運(yùn)動(dòng)方程可簡(jiǎn)化，利用模態(tài)疊加法，模態(tài)廣義坐標(biāo)下的鋼軌運(yùn)動(dòng)二階常微分方程為：

鋼軌橫向運(yùn)動(dòng)方程

鋼軌垂向運(yùn)動(dòng)方程

鋼軌扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程

式（15）～式（17）中，qyk(t)、qzk(t)、qTk(t)分別為鋼軌的橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)正則坐標(biāo)；wyk(t)、wzk(t)分別為鋼軌橫向和垂向振動(dòng)時(shí)，鋼軌截面轉(zhuǎn)角的正則坐標(biāo)；ρ為鋼軌的單位長(zhǎng)度密度；m為鋼軌單位長(zhǎng)度質(zhì)量；E為鋼軌彈性模量；G為鋼軌剪切模量；GK為鋼軌抗扭轉(zhuǎn)剛度；A為鋼軌截面面積；Iy和Iz分別為鋼軌截面對(duì)y、z軸的慣性矩；I0為鋼軌截面的極慣性矩；κy和κz分別為鋼軌橫、垂向截面的剪切因子；Yk(x)、Zk(x)和Φk(x)分別對(duì)應(yīng)鋼軌橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)的正則振型函數(shù)；下標(biāo)k為鋼軌的第k階模態(tài)，NMY、NMZ、NMT為鋼軌橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)在數(shù)值計(jì)算中考慮的模態(tài)階數(shù)；ltim為鋼軌的計(jì)算長(zhǎng)度；Rzi和Ryi分別為第i支點(diǎn)垂向、橫向支反力；Fwrzj和Fwryj分別為第j位車輪作用于鋼軌的垂向、橫向荷載；Msi和MGj分別為第i支點(diǎn)處鋼軌支反力矩和第j位車輪作用于鋼軌的力矩；Rzi(t)和Ryi(t)分別為軌下支承的垂向、橫向反力；Yg(t)、Zg(t)分別為作用在鋼軌兩端和各軌下支撐地基處的地震波橫、垂向位移激勵(lì)。

軌道板采用有限元方法進(jìn)行建模，CA砂漿層被視為平面連續(xù)的彈簧阻尼系統(tǒng)。軌道板在全局坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程可表示為：

式(18)中，[M]、[C]、[K]分別為軌道板的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；下標(biāo)i為鋼軌下軌道板的標(biāo)號(hào)軌道板總個(gè)數(shù)Nslab；{x}i為第i軌道板的位移列陣；{Frs}i和{Fg}i分別為鋼軌對(duì)軌道板的作用力和地基與軌道板之間作用力列陣。

式(19)、式(20)中，Kp、Cp和KCAM、CCAM分別為鋼軌扣件系統(tǒng)和CA砂漿層的剛度和阻尼；{xg}i為第i軌道板下的地震激勵(lì)位移列陣。

對(duì)于橋梁結(jié)構(gòu)的建模，可以采用數(shù)值方法（有限元）和解析法進(jìn)行。采用三維實(shí)體建模方法，只需按照橋梁結(jié)構(gòu)（包括橋面和橋墩）的實(shí)際尺寸、材料屬性和結(jié)構(gòu)特性，用有限元法建模即可，這里不再介紹。對(duì)解析法，可采用Euler-Bernoulli梁來模擬橋梁的彎曲振動(dòng)，軌道板對(duì)橋梁的作用通過軌道板支座反力以均布力的形式施加在橋梁上。

基于連續(xù)梁正則振型的正交性，采用模態(tài)疊加法將橋梁的四階偏微分方程整理為關(guān)于正則振型坐標(biāo)的二階常微分方程：

橫向

式（21）～（23）中，qbyk(t)、qbzk(t)、qbTk(t)分別為橋梁的橫向、垂向和扭轉(zhuǎn)正則坐標(biāo)；mb為橋梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度質(zhì)量；ρb為橋梁材料的密度；lb為橋梁長(zhǎng)度；Eb為橋梁彈性模量；Ab為鋼軌截面面積；GbKb為橋梁結(jié)構(gòu)的抗扭轉(zhuǎn)剛度；Iby和Ibz分別為橋梁截面對(duì)y、z軸的慣性矩；Ib0為橋梁截面的極慣性矩。Yg(t)、Zg(t)分別為作用在橋梁支座處的地震波橫、垂向位移激勵(lì)；py(x，t)、pz(x，t)和Mb(x，t)分別為軌道板通過CA砂漿作用于橋梁的垂向、橫向和扭轉(zhuǎn)力矩均布荷載，其中py(x，t)、pz(x，t)可表示為：

式(24)、式(25)中，kyCAM、kzCAM、cyCAM、czCAM分別為CA砂漿層的橫向、垂向均布的剛度和阻尼；Ys(x，t)、Zs(x，t)分別為作用在橋梁支座下方路基的橫向和垂向位移；而yb(x，t)、zb(x，t)分別為作用在橋梁支的橫向和垂向位移；·為對(duì)運(yùn)動(dòng)變量求導(dǎo)。

聯(lián)合求解公式（15）～（25），即可得到橋梁段無(wú)砟軌道系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。

2.3受電弓模型

受電弓的動(dòng)力學(xué)模型已經(jīng)發(fā)展很多，包括：多剛體模型、歸算質(zhì)量模型、剛?cè)峄旌夏Ｐ鸵约叭嵝泽w模型等，如圖5所示。

圖5　受電弓模型Fig.5　Pantograph model

盡管受電弓已經(jīng)發(fā)展到了可以采用全柔性全空間模型，但是傳統(tǒng)受電弓歸算質(zhì)量模型也較為常用，如圖5（b）所示。

對(duì)于多剛體受電弓模型[7]，根據(jù)受電弓空氣動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算得到的氣動(dòng)阻力和升力，按照受電弓氣動(dòng)抬升力計(jì)算方法，計(jì)算得到前后滑板的氣動(dòng)抬升力Fa1和Fa2，由此，弓頭前后滑板的運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為：

式(28)、式(29)中，kh、ch分別為弓頭與框架間剛度、阻尼；ld為前、后滑板距離之半；θh為平衡臂與水平間夾角。

為了簡(jiǎn)化框架非線性運(yùn)動(dòng)微分方程，得到框架的歸算參數(shù)，需在某一工作高度對(duì)框架部分的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化[8]，線性化后的框架部分的運(yùn)動(dòng)微分方程，如下式：

式(30)中，F(xiàn)0為靜態(tài)接觸壓力。式（26)～式(30)就是傳統(tǒng)的受電弓三質(zhì)量塊模型。為了進(jìn)一步考慮受電弓框架中上臂桿的彈性變形，將受電弓框架部分等效為兩個(gè)集中質(zhì)量塊，如圖6所示，質(zhì)量塊m3的運(yùn)動(dòng)微分方程（30）只需將右端置為零，而m4的運(yùn)動(dòng)微分方程，可寫成如下的形式。

圖6　四質(zhì)量塊模型Fig.6　Four lumped mass model

隨著受電弓運(yùn)行速度的不斷提升，弓網(wǎng)相互作用引起的高頻振動(dòng)成分不斷增加，以及強(qiáng)氣流引發(fā)的流致振動(dòng)的影響，使得受電弓弓頭滑板以及框架臂桿等關(guān)鍵部件的柔性變形日益顯著。為此，建立起剛?cè)峄旌希踔寥嵝允茈姽Ｐ褪亲罱茈姽５姆较?。剛?cè)峄旌虾腿嵝允茈姽７椒ㄟ@里不再介紹，詳見文獻(xiàn)[9]。

2.4接觸網(wǎng)建模

筆者曾采用Fourier展開和模態(tài)技術(shù)進(jìn)行接觸網(wǎng)建模的方法[10，11]，也是當(dāng)今應(yīng)用較多的一種建模方法，圖7是簡(jiǎn)單鏈型接觸網(wǎng)的計(jì)算模型，由承力索、接觸線、吊弦、支柱和限位器組成。由于這一模型已經(jīng)誕生多年，已為他人所熟悉，不再介紹。

圖7　簡(jiǎn)單鏈型接觸網(wǎng)模型Fig.7　Model of simple catenary

由于采用模態(tài)疊加方法來獲得接觸網(wǎng)運(yùn)動(dòng)方程存在模態(tài)截?cái)嗾`差，為此，近十年多采用直接積分方法來研究弓網(wǎng)關(guān)系。直接建模方法即是通過解析或數(shù)值方法，定義接觸網(wǎng)各部件在空間的幾何位置、拓?fù)潢P(guān)系及受力狀況，從而建立接觸網(wǎng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，得到其數(shù)學(xué)模型。

將接觸網(wǎng)的接觸導(dǎo)線假設(shè)為伯努利-歐拉梁，接觸線的張力為Tc，線密度為ρc，抗彎剛度為EIc，由此可建立接觸線的運(yùn)動(dòng)微分方程為[12]：

式(32)中，yc（x，t）為接觸線的振動(dòng)位移；kdi為第i根吊弦的剛度；ymi為第i根吊弦處承力索的振動(dòng)位移；yci為第i根吊弦處接觸線的振動(dòng)位移；xci為第i根吊弦的x方向坐標(biāo)；第Fc為弓網(wǎng)接觸壓力；v為受電弓運(yùn)行速度。

類似的，將接觸網(wǎng)的承力索假設(shè)為伯努利-歐拉梁，承力索的張力為Tm，線密度為ρm，抗彎剛度為EIm。這里考慮高架線路、列車和弓網(wǎng)耦合的模型見圖8。

圖8　高架橋上弓網(wǎng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型Fig.8　Dynamic model of pantograph-catenary in viaduct

考慮橋梁振動(dòng)引發(fā)的接觸網(wǎng)支柱振動(dòng)的影響時(shí)，假設(shè)接觸網(wǎng)支柱為剛性體，ys為橋梁的振動(dòng)位移，由此也可以建立承力索的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

式(33)中，ksj為第j個(gè)承力索座的支撐剛度；ymj為第j個(gè)承力索座處承力索的振動(dòng)位移；ysj為橋梁振動(dòng)引起的第j個(gè)承力索座的位移；xsj為第j個(gè)承力索座的x方向坐標(biāo)。

另外，風(fēng)對(duì)接觸網(wǎng)振動(dòng)影響很大，但式（32）和式（33）僅是接觸網(wǎng)垂向振動(dòng)方程，無(wú)法考慮風(fēng)的影響，但可以采用有限元法建立三維接觸網(wǎng)模型進(jìn)行考慮，具體可在節(jié)點(diǎn)載荷向量加入風(fēng)載荷，從而考慮風(fēng)產(chǎn)生的氣動(dòng)影響。

就高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)而言，理論上還需考慮其牽引供電系統(tǒng)相對(duì)而言，牽引供電和傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能主要對(duì)列車的縱向動(dòng)力學(xué)有較大影響，與車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性、運(yùn)行平穩(wěn)性和安全性關(guān)系度相對(duì)較小。因此，具體的狀態(tài)方程推導(dǎo)略，詳細(xì)內(nèi)容可見文獻(xiàn)[2]。

2.5耦合模型

前面建立了車輛系統(tǒng)、線路、弓網(wǎng)等子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，接下來就要建立各子系統(tǒng)的耦合關(guān)系，形成高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。

1）車間耦合模型。高速列車的車端連接裝置主要包括密接式車鉤緩沖裝置、車間減振器（如有）、內(nèi)外風(fēng)擋及空氣、電氣連接設(shè)備，而其中對(duì)列車動(dòng)力學(xué)性能產(chǎn)生重要影響的有車鉤緩沖裝置、車間減振器及密接式風(fēng)擋裝置。采用的建模方法是力元建模方法，其中密接式車鉤緩沖裝置簡(jiǎn)化成彈簧-阻尼并聯(lián)力元模型，風(fēng)擋簡(jiǎn)化成一個(gè)萬(wàn)向-摩擦力元模型，車間減振器就直接用阻尼器模型，或者也可以考慮車間減振器兩端的連接剛度，簡(jiǎn)化成彈簧-阻尼-彈簧串聯(lián)力元模型。

2）輪軌耦合模型。輪軌接觸在基于多體動(dòng)力學(xué)的車輛系統(tǒng)模型中可以作為一種特殊的力元處理，但與一般力元相比，輪軌接觸力元要復(fù)雜的多，這是車輛系統(tǒng)與一般多體系統(tǒng)的主要區(qū)別。

輪軌力主要分為輪軌接觸法向力和輪軌蠕滑力，輪軌法向力的計(jì)算主要有約束反力法和非線性赫茲彈簧法，輪軌蠕滑力的計(jì)算有很多相對(duì)成熟的輪軌蠕滑理論，如Vermeulen-Johnson[13]、Kalker簡(jiǎn)化理論(FASTSIM)[14]、沈氏理論[15]、Polach非線性接觸理論[16]和Kalker三維精確理論（CONTACT）[17]等。由于這里僅僅引用前人得到的結(jié)果，不再贅述。

3）弓網(wǎng)耦合模型。受電弓滑板和接觸網(wǎng)的接觸線是相對(duì)滑動(dòng)接觸。目前的弓網(wǎng)動(dòng)力學(xué)研究一般不考慮空間運(yùn)動(dòng)，僅僅考慮垂向振動(dòng)的點(diǎn)接觸模型，筆者在文獻(xiàn)[9]提出了要考慮接觸形貌的空間弓網(wǎng)接觸。這時(shí)，弓網(wǎng)接觸點(diǎn)的接觸壓力為Fc，可采用傳統(tǒng)的非線性接觸剛度計(jì)算方法；而弓網(wǎng)接觸點(diǎn)的摩擦力Fμ為摩擦系數(shù)乘接觸壓力，此時(shí)，接觸線對(duì)受電弓滑板的作用力為：

4）流固耦合模型。高速列車與普速列車最大不同就是受氣流的影響，因此，高速列車均采用流線型設(shè)計(jì)。高速列車運(yùn)行時(shí)，氣流作用包括阻力、升力和側(cè)向力（或力矩）。鑒于流固耦合計(jì)算的復(fù)雜性，在流固耦合計(jì)算時(shí)大體采用兩種不同的耦合計(jì)算模式：離線耦合仿真和在線聯(lián)合仿真。

離線耦合仿真方法是傳統(tǒng)的列車空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算方法，僅僅適用于對(duì)計(jì)算精度要求不高的空曠條件下穩(wěn)態(tài)氣流作用時(shí)的列車空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算。將列車運(yùn)行姿態(tài)變化甚至車體等變形造成的氣動(dòng)力變化，實(shí)時(shí)地反映在高速列車動(dòng)力學(xué)計(jì)算中，實(shí)現(xiàn)真正的流固耦合計(jì)算，是會(huì)車、隧道通過和脈動(dòng)風(fēng)作用等動(dòng)態(tài)過程仿真的唯一選擇。結(jié)合列車動(dòng)力學(xué)方程和流體控制方程，高速列車聯(lián)合仿真的表達(dá)式如下[19]：

式(35)中，ρ為流體密度；t為時(shí)間變量；v為速度矢量；grad為梯度算子；Γ為擴(kuò)散系數(shù)；S為源項(xiàng)；φ為流場(chǎng)變量；ρ為氣流密度；V為該有限控制體的體積；A為該控制體的表面面積；n為控制體表面外法向方向矢量；P為列車剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)動(dòng)力學(xué)計(jì)算中的車體表面節(jié)點(diǎn)映射到流體計(jì)算中的車體表面節(jié)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)函數(shù)；氣動(dòng)力（矩）Fa為關(guān)于流場(chǎng)變量φ的積分函數(shù)H。

2.6高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

有了高速列車各子系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以及耦合關(guān)系的模型，就構(gòu)建成了高速列車（耦合）大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。圖9是以高速列車為核心，考慮線路系統(tǒng)、供電系統(tǒng)、弓網(wǎng)系統(tǒng)以及氣流等子系統(tǒng)的模型框圖，通過車車、輪軌、弓網(wǎng)、流固和機(jī)電耦合形成高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型。在大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中，體現(xiàn)了多體、多態(tài)耦合的復(fù)雜性，但由于采用了考慮耦合關(guān)系的子結(jié)構(gòu)方式，這不僅使得建模時(shí)可以依托不同專業(yè)進(jìn)行建模，更重要的是在仿真計(jì)算時(shí)，可以根據(jù)耦合和研究的需要，靈活實(shí)現(xiàn)不同子系統(tǒng)之間的耦合。

圖9　高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模Fig.9　Dynamics model for coupled system of high-speed train

3　高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)耦合仿真方法

有了數(shù)學(xué)模型就可以編程，形成仿真軟件。但是，仿真計(jì)算除了模型，還需要計(jì)算方法的支撐，特別是高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，不僅要處理多體、多態(tài)的復(fù)雜系統(tǒng)，還要考慮耦合大系統(tǒng)和運(yùn)行仿真所帶來的龐大的計(jì)算和儲(chǔ)存量問題，同時(shí)還要處理由于車車耦合、車線耦合和流固耦合等帶來的耦合計(jì)算問題。下面先針對(duì)車車耦合、車線耦合和流固耦合，先介紹一些特殊的計(jì)算處理方法。

3.1車車耦合計(jì)算方法

傳統(tǒng)的列車動(dòng)力學(xué)建模和積分方法，是把全列車的各自由度運(yùn)動(dòng)微分方程全部寫出，組成整列車自由度的龐大矩陣進(jìn)行同步計(jì)算，此方法存在建模復(fù)雜且工作量大，解題規(guī)模大的弊端。根據(jù)列車僅由幾種類型的機(jī)車車輛組成的情況，如圖10所示，筆者在文獻(xiàn)[6，18]中提出了循環(huán)變量方法，把一節(jié)車看成一個(gè)基本的積分單元，這樣新的積分方法不像傳統(tǒng)的積分方法那樣，需要在每一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)一次計(jì)算出列車系統(tǒng)中所有變量的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而是，先計(jì)算第一節(jié)車，再計(jì)算第二節(jié)車，這樣一節(jié)車、一節(jié)車逐個(gè)進(jìn)行計(jì)算，直到計(jì)算出尾車的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，再進(jìn)入下個(gè)積分步長(zhǎng)。在新的積分計(jì)算方法中，由于式（9）和變量被重復(fù)使用，因此，新的積分方法可稱之為循環(huán)變量法；由于在積分中從第一節(jié)車開始計(jì)算，后面車的計(jì)算用到前面已算出的新運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，達(dá)到遞推的效果，所以也稱遞推積分方法。

圖10　列車編組Fig.10　Train formation

3.2考慮車線耦合的長(zhǎng)大復(fù)合結(jié)構(gòu)線路計(jì)算方法

高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)仿真，需要模擬移動(dòng)的列車在線路系統(tǒng)上運(yùn)行，這就要求系統(tǒng)模型中有足夠長(zhǎng)的線路模型，這樣不僅導(dǎo)致計(jì)算精度低，而且計(jì)算工作量大。實(shí)際上，由于振動(dòng)的衰減，當(dāng)列車在線路上運(yùn)行時(shí)，只有接近列車前后區(qū)域的軌道參與振動(dòng)，就可以采用筆者在文獻(xiàn)[6]提出的滑移窗口建模和計(jì)算，僅僅把參與車線耦合振動(dòng)的線路模型放到系統(tǒng)里計(jì)算，線路模型隨著車的運(yùn)行而移動(dòng)，實(shí)現(xiàn)計(jì)算模型窗口的滑移。

圖11是高架無(wú)砟軌道線路考慮車線耦合的滑移窗口計(jì)算模型，由于橋梁、軌道板、枕木的離散和邊界條件的不統(tǒng)一，導(dǎo)致表示橋梁、軌道板和鋼軌的窗口不統(tǒng)一，而且依次覆蓋（見圖11），其中橋墩以鉸支座為窗口邊界、軌道板以軌道板邊緣為窗口邊界、軌道以枕木為窗口邊界分別劃定各自計(jì)算窗口，顯然，這些計(jì)算窗口在滑移時(shí)是跳躍前進(jìn)的，而且被覆蓋的窗口不能躍出覆蓋窗口，這就要求鋼軌滑移窗口的長(zhǎng)度確定不僅僅要考慮到振動(dòng)的衰減，還要考慮橋梁和軌道板窗口跳躍前進(jìn)不躍出窗口。

圖11　滑移窗口示意圖Fig.11　Sliding window

對(duì)于橋梁和軌道板，可對(duì)窗口內(nèi)的每一個(gè)橋梁或者軌道板進(jìn)行完整建模，并假設(shè)滑進(jìn)或者滑出的橋梁或者軌道板的振動(dòng)為零，因此，滑移計(jì)算沒有問題。由于高速鐵路鋼軌采用的是無(wú)縫鋼軌，沒有邊界，因此鋼軌的窗口是人為設(shè)置的簡(jiǎn)支梁。圖12中，滑移窗口內(nèi)的鋼軌為AB，滑移到下個(gè)窗口為A′B′，這時(shí)在兩個(gè)窗口的共同區(qū)域（虛線框內(nèi)），里面鋼軌的振動(dòng)位移一定是相同的。應(yīng)用模態(tài)疊加法，Zrk(x)、qrzk(t)和Z′rk(x′)、q′rzk(t)分別是滑移前后兩個(gè)窗口的鋼軌模態(tài)和模態(tài)變量，這時(shí)的AB和A′B′窗口內(nèi)的振動(dòng)位移Zr(x，t)和Z′r(x′，t)可表達(dá)為：

圖12　鋼軌的滑移窗口Fig.12　Sliding window of rail

由于兩個(gè)窗口共同區(qū)的振動(dòng)必須一致（共同區(qū)外的振動(dòng)視為零），設(shè)考慮計(jì)算的鋼軌模態(tài)為nz階，滑移前窗口AB為t0時(shí)刻，窗口AB在共同區(qū)的位移已知，xk取nz個(gè)點(diǎn)。由于滑移后A′B′窗口在共同區(qū)的位移一致，就有：

從而得到滑移后A′B′鋼軌在t0時(shí)刻的振動(dòng)模態(tài)q′rzk(t)，這樣就實(shí)現(xiàn)了窗口AB和窗口A′B′的滑移。

3.3基于松弛因子的高速列車流固耦合聯(lián)合仿真計(jì)算方法

高速列車流固耦合動(dòng)力學(xué)中存在一個(gè)關(guān)鍵問題：列車空氣動(dòng)力學(xué)和列車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)之間迭代的耗散問題。為了盡可能降低列車空氣動(dòng)力學(xué)和列車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)之間迭代的耗散，研究團(tuán)隊(duì)提出了一種基于松弛因子的高速列車流固耦合聯(lián)合仿真方法[19]，如圖13所示?；谒沙谝蜃拥母咚倭熊嚵鞴恬詈下?lián)合仿真方法的關(guān)鍵之處在于：第i+1時(shí)刻（即第i+1個(gè)耦合迭代步）空氣動(dòng)力學(xué)求解器傳遞給車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)求解器的氣動(dòng)力不是第i時(shí)刻的氣動(dòng)力，而是由第i時(shí)刻以及第i-1時(shí)刻等的氣動(dòng)力信息預(yù)測(cè)校正而得到。

圖13　基于松弛因子的高速列車流固耦合聯(lián)合仿真Fig.13　Fluid-structure co-simulation method with a relaxation factor

假設(shè)第i-1時(shí)刻和第i時(shí)刻列車空氣動(dòng)力學(xué)求解器計(jì)算得到的列車氣動(dòng)力分別為fi-1和fi，并且列車空氣動(dòng)力學(xué)求解的時(shí)間迭代步長(zhǎng)為Δt，那么第i時(shí)刻的列車氣動(dòng)力的一階導(dǎo)數(shù)近似可以表述如下：

由于時(shí)間迭代步長(zhǎng)Δt量級(jí)比較小，故預(yù)測(cè)第i+1時(shí)刻的列車氣動(dòng)力近似為

通過引入松弛因子λ對(duì)第i+1時(shí)刻的列車氣動(dòng)力進(jìn)行修正，則第i+1時(shí)刻空氣動(dòng)力學(xué)求解器傳遞給車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)求解器的氣動(dòng)力表達(dá)式為：

當(dāng)λ=0時(shí)，第i+1時(shí)刻空氣動(dòng)力學(xué)求解器傳遞給車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)求解器的氣動(dòng)力為fi，即是傳統(tǒng)的流固聯(lián)合仿真方法。

研究結(jié)果表明[19]：當(dāng)松弛因子λ選取0.5時(shí)，列車空氣動(dòng)力學(xué)和列車系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)之間迭代的耗散最小，這樣既保證計(jì)算精度，也提高了計(jì)算效率。

有了高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和特殊的計(jì)算方法，就可以構(gòu)成高速列車耦合大系統(tǒng)仿真平臺(tái)，實(shí)現(xiàn)列車在無(wú)限長(zhǎng)度線路上的運(yùn)行模擬。

4　結(jié)語(yǔ)

本文提出進(jìn)行高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論，考慮列車與線路、受電弓、接觸網(wǎng)、牽引供電系統(tǒng)以及氣流等對(duì)高速列車運(yùn)行的影響。在高速列車不斷提高速度的今天，考慮系統(tǒng)耦合的精確建模與仿真是十分必要的，也是傳統(tǒng)的車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論的發(fā)展。高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)，不僅僅是簡(jiǎn)單的系統(tǒng)增大，而且系統(tǒng)變得很復(fù)雜，要考慮多體、多態(tài)，而且也不再是單純的動(dòng)力學(xué)這樣的力學(xué)問題，而是有了應(yīng)力、電、甚至熱的問題。因此，高速列車耦合大系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)理論是研究的廣義動(dòng)力學(xué)問題，它的提出，不僅僅是研究方法進(jìn)步，更是車輛系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)學(xué)科的發(fā)展。筆者相信，這一理論會(huì)在高速鐵路的發(fā)展中，特別是高速列車的性能提升和安全保障方面，將發(fā)揮越來越重要的作用。

[1]中華人民共和國(guó)鐵道部文件.CRH2/CRH3型時(shí)速300～350公里高速動(dòng)車組總體技術(shù)方案[Z].2007.

[2]張衛(wèi)華.高速列車耦合大系統(tǒng)理論與實(shí)踐[M].北京：科學(xué)出版社，2013.

[3]Recuero A M，Escalona J L，Chamorro R.A dynamic formulation for railroad vehicles using trajectory coordinates[C]//Proceedings of the First International Conference on Railway Technology，Research，Development and Maintenance.Spain：Civil-Comp Press，2012.

[4]翟婉明.車輛-軌道耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)（第二版）[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2003.

[5]Xiao X B，Jin X S，Wen Z F.Effect of earthquake on high speed railway vehicle running safety[C]//Proceedings of the IAVSD’09.Sweden：Stockholm，2009，16-20..

[6]Zhang W，Shen Z，Zeng J.Study on dynamics of coupled systems in high-speed trains[J].Vehicle System Dynamics，2013，51(7)：966-1016.

[7]黃標(biāo).基于虛擬樣機(jī)技術(shù)的受電弓／接觸網(wǎng)系統(tǒng)研究[D].成都：西南交通大學(xué)，2004.

[8]張衛(wèi)華，沈志云.受電弓動(dòng)力學(xué)研究[J].鐵道學(xué)報(bào)，1993，15 (1)：23-30.

[9]Zhou Ning，Zhang Weihua，Li Ruiping.Dynamic performance of a pantograph-catenary system with the consideration of the appearance characteristics of contact surfaces[J].Journal of Zhejiang University Science A，2011，12(12)：913-920.

[10]張衛(wèi)華，沈志云.接觸網(wǎng)動(dòng)態(tài)研究[J].鐵道學(xué)報(bào)，1991，13（4）：26-33.

[11]Zhang W H，Mei G M，Wu X J，et al.Hybrid simulation of dynamics for the pantograph-catenary system[J].Vehicle System Dynamics，2002，38(6)：393-414.

[12]Park Tong-Jin，Han Chang-Soo，Jang Jin-Hee.Dynamic sensitivity analysis for the pantograph of a high-speed rail vehicle [J].Journal of Sound and Vibration，2003，266(2)：235-260.

[13]Vermeulen J K，Johnson K L.Contact of non-spherical bodies transmitting tangential forces[J].J Appl Mech，1964，31：338-340.

[14]Kalker J J.Simplified Theory of Rolling Contact.Delft Progress Report 1[M].Netherlands：Delft University Press，1973：1-10.

[15]Shen Z Y，Hedrick J K，Elkins J A.A comparison of alternative creep-force models for rail vehicles dynamic analysis[C]// Proceedings of the 8th IAVSD Symposium.USA：CRC Press，1983，591-605.

[16]Polach O.Creep forces in simulations of traction vehicles running on adhesion limit[J].Wear，2005(258)：992-1000.

[17]Kalker J J.Three-dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact [M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1990.

[18]張衛(wèi)華.機(jī)車車輛動(dòng)態(tài)模擬[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，2006.

[19]Li T，Zhang J Y，Zhang W H.An improved algorithm for fluidstructure interaction of high-speed trains under crosswind[J]. Journal of Modern Transportation，2011，19(2)：75-81.

Study on dynamics of coupled systems in high-speed trains

Zhang Weihua
(State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China)

According to the structure and technical features of high-speed railway，the highspeed train，rail line，air flow，power supply and catenary which are relevant to the high-speed train and have an effect on the dynamic behavior of the high-speed train are coupled as a unified system.The dynamic model of coupled systems in high-speed trains are created by establishing the dynamic models of high-speed train，rail line，pantograph-catenary and power supply and the coupled interaction models of wheel-rail，pantograph-catenary，liquid-solid and electro-mechanical.For the high speed train operation simulation requirements，this paper studied the train dynamics modeling and calculation method based on cyclic variable parameters method，the train-line coupled calculation method based on the slip model and the liquid-solid coupled calculation method based on the relaxation factor.the simulation of coupled systems in highspeed trains are realized.

high-speed train；service performance；train detection；tracking test；performance evolution

U270.11

A

1009-1742(2015)04-0012-41

2015-01-07

國(guó)家自然科學(xué)重點(diǎn)基金項(xiàng)目(U1234208)

張衛(wèi)華，1961年出生，男，江蘇宜興市人，教授，博士，研究方向?yàn)闄C(jī)車車輛動(dòng)力學(xué)；E-mail：tpl@home.swjtu.edu.cn