一種基于AUSM思想的通量分裂方法

李馨東，胡宗民，張德良，姜宗林

（中國科學(xué)院力學(xué)研究所高溫氣體動力學(xué)國家重點實驗室，北京 100190）

文章編號：1001?246X（2015）01?0001?12

一種基于AUSM思想的通量分裂方法

李馨東，胡宗民，張德良，姜宗林

（中國科學(xué)院力學(xué)研究所高溫氣體動力學(xué)國家重點實驗室，北京 100190）

根據(jù)對流迎風(fēng)分裂（AUSM）思想提出一種通量分裂方法，稱為K?CUSP格式.它與傳統(tǒng)H?CUSP和E?CUSP格式的最大差異在于總能量的分裂：K?CUSP格式將無粘守恒通量中所有的運動學(xué)量分裂到對流項，所有的熱力學(xué)量分裂到壓力項，即總能量被分裂成動能和靜焓.對于壓力項的數(shù)值通量，采用一種新的界面構(gòu)造方法.數(shù)值測試表明：①K?CUSP格式繼承了FVS格式的簡單性和穩(wěn)健性.在激波后不易出現(xiàn)壓力過沖，在膨脹區(qū)域沒有振蕩，優(yōu)于AUSM和WPS格式；②K?CUSP格式繼承了FDS格式的分辨率.激波間斷的分辨率和H?CUSP、E?CUSP格式基本相同，接觸間斷的分辨率高于FVS格式，低于Roe、AUSM和WPS格式.AUSM和WPS格式在計算運動接觸間斷時，速度存在很大振蕩，而新格式不存在振蕩.

通量分裂；混合迎風(fēng)格式；AUSM格式；CUSP格式

0 引言

隨著計算流體力學(xué)的廣泛研究和應(yīng)用，理想的數(shù)值方法應(yīng)具有間斷分辨率高、計算效率高、穩(wěn)健性好、適合并行運算和易于推廣到其它守恒律方程組的特點.自二十世紀(jì)八十年代起，迎風(fēng)格式因其清晰的物理意義和高分辨能力，至今仍是空間離散的主要方法之一.第一類迎風(fēng)格式是通量矢量分裂（FVS），如：Steger?Warming分裂［1］和Van Leer分裂［2］，這類格式簡單易用、計算量小，激波前后不易發(fā)生非物理振蕩，但是數(shù)值耗散大，間斷分辨率和黏性分辨率低，對邊界層內(nèi)的壓力和溫度預(yù)測不準(zhǔn)，求解剪切流動的精度較低.為了降低Van Leer分裂格式的數(shù)值耗散，Hanel、Schwane［3－4］和Coirier、Van Leer［5］先后進(jìn)行了改進(jìn)，使得剪切層的分辨率得到了提高.第二類迎風(fēng)格式是通量差分分裂（FDS），如：Roe分裂［6］、Osher分裂［7］和HLLC分裂［8］，這類格式數(shù)值耗散小、間斷分辨率和黏性分辨率很高，但是穩(wěn)健性較差，高速流動下容易出現(xiàn)“Carbuncle”現(xiàn)象［9－11］，而且計算效率也較低.近年來出現(xiàn)了一種新的混合迎風(fēng)格式，該格式綜合了兩類迎風(fēng)格式各自的優(yōu)點，繼承了FVS格式的計算效率、穩(wěn)健性和FDS格式的分辨率，在平衡/非平衡流、湍流、多相流和磁流體力學(xué)等領(lǐng)域得到了應(yīng)用.

目前應(yīng)用最廣的一種混合迎風(fēng)格式是Liou的AUSM（Advection upstream splittingmethod）類格式［11－16］，其基本思想是：對流和聲波是兩個不同的物理過程應(yīng)該分別處理，即將無黏守恒通量分裂成對流項和壓力項兩個部分.AUSM類格式與FVS/FDS格式的數(shù)值通量相比，其數(shù)值耗散項的系數(shù)不是矩陣而是標(biāo)量，既保留了FVS格式的簡單性又提高了計算效率.雖然AUSM格式［11］和AUSM＋格式［13－16］沒有“Carbuncle”現(xiàn)象，但激波后存在過沖和壁面附近存在振蕩的缺陷，而AUSMDV［12］格式?jīng)]有壓力過沖和振蕩卻存在“Carbuncle”現(xiàn)象.為了兼具二者的優(yōu)點，Kim相繼提出AUSMPW格式［17］和AUSMPW＋格式［18－19］，其引入基于壓力函數(shù)的權(quán)函數(shù)能較地好地抑制過沖和振蕩.與AUSM格式相似的混合迎風(fēng)格式還有Jameson的CUSP（Convective upwind and split pressure）格式［20－21］和Edwards的LDFSS格式［22－23］，它們的主要差異在于界面馬赫數(shù)的定義不同，相同點是對流項的總能量均為總焓，故統(tǒng)稱為H?CUSP格式［21，30］.

另一種CUSP格式是E?CUSP格式［24－34］，它從特征分析出發(fā)，將雅可比矩陣的特征值u±a分裂成對流速度u和聲速±a，得到相應(yīng)的對流項和壓力項，此時對流項的總能量是總能.Zha［24－31］的E?CUSP格式在界面構(gòu)造時借鑒了LDFSS格式的方法.Halt和Agarwal［32－33］通過分析對流項和壓力項的特征值，認(rèn)為WPS （Wave/particle splitting）格式的通量分裂比AUSM格式更合理地表征了對流和聲波的流動特征，且該格式能從Boltzmann方程推導(dǎo)而來.Deshpande等［34］從分子動理論出發(fā)解釋了WPS格式所代表的物理意義，認(rèn)為流體微團(tuán)具有粒子行為和波動行為二象性，對流項表示流體微團(tuán)的對流輸運，而壓力項表示流體微團(tuán)因膨脹和壓縮產(chǎn)生向外傳播的壓力波.不過E?CUSP格式在高超聲速流動領(lǐng)域的應(yīng)用較少.

在此基礎(chǔ)上，我們認(rèn)為將對流和聲波兩個物理過程分開處理的思想是有一定物理意義的，但是這思想并沒有給出唯一的處理原則，通過分析和比較兩類傳統(tǒng)CUSP格式的異同，本文提出一種具體的分裂原則，得到了一種新的通量分裂方法.第1部分提出新格式，將它與E?CUSP、H?CUSP格式的異同進(jìn)行說明，并闡釋了其物理意義，在數(shù)值界面構(gòu)造上采用不同的處理方式.第2部分是數(shù)值測試，對三種CUSP格式和FVS/FDS格式的計算結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)地比較和分析.第3部分是全文的結(jié)論.

1 一種新的CUSP格式

1.1 控制方程

為了引出新格式，考慮量熱完全氣體的一維無黏Euler方程組

其中U＝（ρ，ρu，ρE）T，F(xiàn)＝（ρu，ρu2＋p，ρHu）T，E＝e＋u2/2＝H－p/ρ，其中e，E，H分別是單位質(zhì)量的內(nèi)能，總能和總焓.下面先給出兩種傳統(tǒng)CUSP格式的分裂形式

H?CUSP格式

E?CUSP格式

H?CUSP格式表示無黏通量F在物理上由對流項和壓力項兩個部分組成，而E?CUSP格式將雅可比矩陣的特征值u±a分裂成u和±a后，推導(dǎo)出相應(yīng)的對流項和壓力項（具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)［24］）．（2）式的，和（3）式的，分別表示H?CUSP分裂、E?CUSP分裂下的對流項和壓力項.

從對流迎風(fēng)分裂思想［11］的角度來看，為了將F分裂成表征宏觀運動的對流項和以聲速傳播擾動波的壓力項，H?CUSP格式僅把動量守恒量中的靜壓分裂到壓力項，E?CUSP格式則把能量守恒量中的靜壓也分裂到壓力項，對流項中的能量不再是總焓ρH而是總能ρE.現(xiàn)在將總焓的表達(dá)式重新寫為

1.2 K?CUSP格式的物理意義

從等式（2）、（3）和（5）可以看出，三種CUSP格式的區(qū)別在于總能量的分裂不同，為了說明三者的物理意義有

整理為

1.3 K?CUSP格式的數(shù)值通量構(gòu)造

K?CUSP格式的數(shù)值通量分裂為

界面的速度和壓力采用文獻(xiàn)［11］的構(gòu)造方法，

其中a為聲速，M為馬赫數(shù)，等式（14）分別指壓力分裂關(guān)于（M±1）的一階和二階多項式展開．在網(wǎng)格界面處理（ρhu）1/2時，本文發(fā)現(xiàn)采用類似E?CUSP格式對（pu）1/2的處理方式并不適合，因此重新構(gòu)造了等式（12）的分裂方法，取得了較好結(jié)果.

2 結(jié)果與分析

為了更好地體現(xiàn)和比較三種CUSP格式和FDS/FVS格式的基本特性，采用了一維、一階的顯式格式測試了多個激波管問題，其理由是：可以避免隱式格式產(chǎn)生的不確定因素；一維流動簡化了多維復(fù)雜流動中出現(xiàn)的問題，能夠更清楚地了解數(shù)值格式失敗的原因.計算域為x∈［－0.5，0.5］，網(wǎng)格數(shù)為100，WL＝［ρL，uL，pL］，WR＝［ρR，uR，pR］，量熱完全氣體的比熱γ＝1.4．其中FDS類格式采用無熵修正的Roe格式，F(xiàn)VS類格式采用Steger?Warming格式和Van Leer格式，H?CUSP類格式采用AUSM格式，E?CUSP類格式采用兩種格式，包括Zha的E?CUSP格式（簡稱Zha格式［26］）和Halt?Agarwal的WPS格式.后文給出了K?CUSP格式的幾個二維算例.

2.1 高超聲速碰撞流動問題

初始條件WL＝［0.1，15，0.1］T，WR＝［0.1，－15，0.1］T，CFL＝0.8，計算時間T＝0.04，M＝15.0．結(jié)果見圖1.

圖1 高超聲速碰撞流動的密度分布Fig.1 Density distribution of hypersonic colliding flow

算例中兩道強激波以馬赫數(shù)為15的速度對向傳播，目的是考察格式捕捉激波的單調(diào)性［16］.FDS格式對激波間斷的分辨率比FVS格式更好，Roe格式只需兩到三個網(wǎng)格點就能捕捉到激波.三種CUSP格式的分辨率與FDS格式相當(dāng)，但是AUSM和WPS格式在激波后存在強烈的振蕩，實際上AUSM＋格式也存在壓力過沖的問題［13－14，35］，Zha格式振蕩稍小，而K?CUSP格式振蕩最小，有了較大改善.

2.2 后退流動問題

初始條件WL＝［1.0，－2，1.0］T，WR＝［1.0，－2，1.0］T，CFL＝0.8，T＝0.1，M＝2.0．結(jié)果見圖2.

這個算例是為了考察格式的正則性［16］，兩道對稱的稀疏波背向傳播，中間區(qū)域接近于真空.Roe格式不滿足熵條件沒有得到計算結(jié)果，三種CUSP格式對低壓區(qū)密度的計算結(jié)果與FVS格式相當(dāng)，但在中間點存在一個很小的跳躍，其中AUSM格式最為明顯.對于速度的計算結(jié)果，AUSM和WPS格式在中間區(qū)域都存在波動，Zha格式和K?CUSP格式?jīng)]有出現(xiàn)，且比FVS格式的分辨率高些.

2.3 靜止的接觸間斷

初始條件WL＝［10.0，0.0，1.0］T，WR＝［1.0，0.0，1.0］T，CFL＝0.8，計算時間T＝0.1，M＝2.0．結(jié)果見圖3.

圖2 后退流動的密度和速度分布Fig.2 Density and velocity distribution of receding flow

圖3 靜止接觸間斷的密度分布Fig.3 Density distribution of stationary contact discontinuity

容易看出AUSM和WPS格式可以非常精確地捕捉到靜止的接觸間斷，與Roe格式的結(jié)果完全相同.Zha格式和K?CUSP格式數(shù)值耗散大些，對間斷的捕捉需要5～6個點，但明顯好于FVS格式，其數(shù)值耗散最大.

2.4 運動的接觸間斷

初始條件WL＝［0.125，0.3aR，1.0］T，WR＝［10.0，0.3aR，1.0］T，CFL＝0.8，計算步數(shù)nstep≈2 000，M ＝0.3．結(jié)果見圖4.

圖4 運動接觸間斷的密度和速度分布Fig.4 Density and velocity distribution of slowlymoving contact discontinuity

從密度的計算結(jié)果來看，AUSM和WPS格式精度最高，與Roe格式相當(dāng)，而Zha格式和K?CUSP格式精度稍低一些，兩種FVS格式的精度最差.從速度的計算結(jié)果來看，Roe格式與精確解完全重合，但Steger?Warming格式和Van Leer格式出現(xiàn)劇烈振蕩，AUSM和WPS格式也出現(xiàn)了很大振蕩，而Zha格式和K?CUSP格式都沒有出現(xiàn)振蕩，結(jié)果相當(dāng).

2.5 靜止的激波間斷

初始條件WL＝［1.0，29.58，1.0］T，WR＝［5.95，4.97，729.0］T，CFL＝0.8，T＝0.1．結(jié)果見圖5.

從圖5可以看出Roe格式的精度最高，僅需要兩個相鄰點就能捕捉到激波間斷，三種CUSP格式和Van Leer格式的分辨率相當(dāng)，比Roe格式的結(jié)果稍差但好于Steger?Warming格式，說明CUSP類格式對靜止激波具有較高的分辨率.

2.6 運動的激波間斷

初始條件WL＝［5.714，－1.952，116.5］T，WR＝［1.0，－11.71，1.0］T，CFL＝0.8，計算時間T＝1.2，M ＝3.0．結(jié)果見圖6.

這是考察格式對運動激波間斷的分辨率［14，22－23，36］.雖然Roe格式的分辨率很高，但是激波后的壓力和密度都存在較大的振蕩，F(xiàn)VS格式雖然沒有振蕩但耗散很大.三種CUSP格式對運動激波間斷的分辨率都較高，但是ASUM格式在激波后仍存在過沖，WPS格式顯得更為嚴(yán)重，且激波后的密度還存在一定的振蕩；Zha格式和K?CUSP格式在激波后都不存在壓力和密度過沖.

圖5 靜止激波間斷的密度分布Fig.5 Density distribution of stationary shock discontinuity

圖6 運動激波間斷的密度和壓力分布Fig.6 Density and pressure distribution of slowlymoving shock discontinuity

2.7 聲速點的分辨率

初始條件WL＝［0.158 7，－5.680 9，0.585 3］T，WR＝［1.205，0.0，10.0］T，CFL＝0.8，T＝0.05．結(jié)果見圖7.

圖7 帶聲速點的稀疏波的密度分布Fig.7 Density distribution of rarefaction wave with a sonic point

計算結(jié)果表明無熵修正Roe格式在聲速點附近出現(xiàn)很大的跳躍，Van Leer格式在聲速點比Steger?Warming格式稍差些，三種CUSP格式在聲速點附近的結(jié)果基本相同.在頂部膨脹區(qū)，F(xiàn)VS格式存在最大的圓抹角，Zha格式和 K?CUSP格式稍有所改善，AUSM和 WPS格式最接近精確解；在底部膨脹區(qū)，Steger?Warming、AUSM、Zha和K?CUSP格式的結(jié)果都出現(xiàn)了一點凹陷，Zha格式在左端還略帶凸起，Van Leer和WPS格式?jīng)]有出現(xiàn)這些情況.

2.8 激波管的Sod問題

初始條件WL＝［1.0，0.0，1.0］T，WR＝［0.125，0.0，0.1］T，CFL＝0.65，計算時間T＝0.2．結(jié)果見圖8.

從圖8可看出Roe格式精度最高，Van Leer格式次之，Steger?Warming格式最差.采用等式（14）壓力分裂的一階格式，三種CUSP格式的計算結(jié)果沒有太大的差異，本文計算AUSM和WPS格式的最大CFL為0.65，而文獻(xiàn)［24］用AUSM格式計算時發(fā)現(xiàn)最大CFL為0.4，Zha格式和K?CUSP格式的CFL可取到0.8，為了便于比較上述的所有結(jié)果均取CFL＝0.65.然而，當(dāng)采用壓力的二階格式時，AUSM和WPS格式在膨脹波段出現(xiàn)一個較大的下降，而Zha格式和K?CUSP格式不存在這樣的問題，所以AUSM格式對CFL數(shù)的要求很高，穩(wěn)定性比E?CUSP和K?CUSP較差，這也是AUSM格式激波后存在壓力過沖的原因.另外，在膨脹區(qū)K?CUSP格式的精度略高于Zha格式.

圖8 激波管Sod問題的密度分布Fig.8 Density distribution of Sod shock tube problem

2.9 二維Riemann問題

下面是K?CUSP格式模擬的兩個二維Riemann問題，時間和空間精度均為一階，計算結(jié)果見圖9、10.

圖9 二維Riemann問題Fig.9 Two?dimensional Riemann problem：（a）density contours；（b）pressure contours

第一個問題的初始條件見文獻(xiàn)［37］，采用400×400的網(wǎng)格數(shù)，計算時間T＝0.2，黎曼解由兩個接觸間斷、一個稀疏波和一個激波組成，如圖9所示.可以清晰地看到激波和稀疏波，雖然為一階但兩個接觸間斷仍能較清楚地辨認(rèn)出來，在這復(fù)雜的波系下K?CUSP格式可以較好地捕捉到接觸間斷和激波間斷.第二個是徑向?qū)ΨQ的黎曼問題，見文獻(xiàn)［38］，網(wǎng)格數(shù)仍為400×400，計算時間T＝0.13，初始時刻在半徑為0.13的范圍內(nèi)為高壓靜止氣體，此后的流動是各向同性的，激波形狀為一個二維圓，中心區(qū)域為低壓，如圖10所示，可以看到密度等值線和壓力等值線的分布光滑勻稱.

圖10 徑向?qū)ΨQ的Riemann問題Fig.10 A radially symmetric Riemann problem：（a）density contours；（b）pressure contours

2.10 后臺階激波衍射

最后一個算例是超聲速氣流繞90°后臺階的衍射問題［14］，采用一階精度的K?CUSP格式，計算結(jié)果如圖11所示.初始來流馬赫數(shù)為5.09，400×400的網(wǎng)格數(shù)，CFL取0.5，計算時間約為0.15，從密度和壓力的等值線可以看到清晰尖銳的弧形激波，特別是拐角點處的膨脹氣流過渡光滑，沒有出現(xiàn)虛假的膨脹激波.

圖11 后臺階激波衍射Fig.11 Shock diffraction around a corner：（a）density contours；（b）pressure contours

3 結(jié)論

根據(jù)對流迎風(fēng)分裂思想提出了一種K?CUSP格式，其構(gòu)造出發(fā)點、物理意義、界面處理與H?CUSP格式、E?CUSP格式都存在不同，三類CUSP格式最大的差異在于總能量的分裂方法不同.通過一系列測試計算，詳細(xì)比較分析了K?CUSP和H?CUSP、E?CUSP、FDS/FVS這幾類迎風(fēng)格式的間斷分辨率和穩(wěn)健性.

1）K?CUSP格式為了處理對流和聲波兩個不同的物理過程，將總能量（即總焓）中所有的運動學(xué)量和所有的熱力學(xué)量完全分裂到相應(yīng)的對流項和壓力項.因此與AUSM格式相比，除了分裂動量守恒量外，K?CUSP格式的能量守恒量也進(jìn)行了相應(yīng)的分裂.

2）H?CUSP格式的總焓沒有分裂，E?CUSP格式將總焓分裂為總能和靜壓能，而K?CUSP格式將總焓分裂為動能和靜焓.

3）在處理網(wǎng)格界面的數(shù)值通量時，K?CUSP格式采用了一種新的分裂方法，取得了較好結(jié)果.

4）計算發(fā)現(xiàn)：①K?CUSP格式繼承了FVS格式的簡單性和穩(wěn)健性，在激波后不易出現(xiàn)壓力過沖，優(yōu)于H?CUSP格式（AUSM格式）和E?CUSP格式（Zha和WPS格式），在膨脹區(qū)域沒有振蕩，穩(wěn)健性優(yōu)于AUSM格式和WPS格式.②K?CUSP格式也繼承了FDS格式的分辨率，激波間斷的捕捉精度和H?CUSP、E?CUSP格式相當(dāng)，接觸間斷的捕捉精度遠(yuǎn)高于FVS格式，與Zha格式相當(dāng)，但低于Roe、AUSM和WPS格式.不過對于運動接觸間斷后的速度，AUSM和WPS格式存在很大的振蕩，而K?CUSP格式?jīng)]有振蕩.

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A Flux Splitting Scheme Based on AUSM

LIXindong，HU Zongmin，ZHANG Deliang，JIANG Zonglin
（State Key Laboratory ofHigh Temperature Gas Dynamics，Institute ofMechanics，Chinese Academy of Sciences，Beijing 100190，China）

According to advection upstream splitting method，a flux splitting method called K?CUSP is proposed.The greatest difference between K?CUSP and two traditional CUSP schemes，namely H?CUSP and E?CUSP，is splitting of total energy：All kinematic quantities and thermodynamic quantities should be separately split into convective term and pressure term by K?CUSP scheme.Numerical tests indicate that：① K?CUSP scheme inherits the simplicity and robustness of FVS scheme.It is less prone to pressure overshoot after shock and no oscillations in expansion area，which is better than AUSM and WPS schemes.② K?CUSP scheme also inherits resolution of FDS scheme.Shock resolution is almost the same with H?CUSP and E?CUSP schemes.Contact discontinuity resolution is better than FVS schemes，a little worse than Roe，AUSM and WPS schemes.However，velocity of contact discontinuity in AUSM and WPS schemes exist large oscillation，while our scheme does not.

flux splitting；mixing upwind scheme；AUSM scheme；CUSP scheme

O35

A

2014－01－06；

2014－04－04

李馨東（1988－），男，博士生，從事計算流體力學(xué)研究，E?mail：lixindong＠imech.ac.cn

Received date： 2014－01－06；Revised date： 2014－04－04