概率型Cauchy-Schwarz不等式的一個推廣

雷國梁，岳田

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院理學(xué)院，湖北十堰442002）

上述不等式在近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的各個分支中都扮演著重要的角色，比如Hilbert 空間理論、古典實分析、復(fù)分析、數(shù)值分析、概率統(tǒng)計、微分方程定性理論中都有其廣泛的應(yīng)用。近年來，對于離散型Cauchy-Schwarz不等式的推廣與改進(jìn)相關(guān)方面的研究成為一個熱點(diǎn)問題，并取得了豐富的成果[2-5]。本文中給出不等式（2）的一個概率型推廣，并對其一種特殊情形進(jìn)行研究，這樣將一些離散型Cauchy-Schwarz不等式的經(jīng)典結(jié)論推廣到了概率空間。

1 Cauchy-Schwarz不等式(2)基于4個自由參數(shù)的推廣

定理1對于2個隨機(jī)變量X、Y，若存在，且有4個參數(shù)p,q,r,s ∈R，則有以下不等式成立：

其中系數(shù)由矩陣方程給出：

不等式（3）等價于

由此可見，當(dāng)不等式（3）在Aj=Bj=Cj=0的特殊情況下，則Cauchy不等式（2）即為不等式（3）的一個推論。在式（3）中等號成立條件為

證明設(shè)非負(fù)二次多項式Q(x;p,q,r,s)（滿足映射Q∶R→R）如下：

其中p,q,r,s ∈R。由此經(jīng)過計算得出

則多項式Q的判別式Δ 一定非正，即

所以用式（8）～（10）中各式對式（7）進(jìn)行替換，則定理1的第1部分結(jié)論成立。

下面證明第2 部分（換言之，等號成立條件），假定Y=νX，且將其在式（3）中進(jìn)行替換，則得到：

經(jīng)過一些計算，以上等式導(dǎo)出下面的非線性系統(tǒng)：

顯然Aj=Bj=Cj(j=1,2,3)和ν=1為方程組（12）的一組解。

注定理1存在各種不同的子情形。然而，由于頁面的局限性，這里只考慮不等式（3）的一種特殊情形并探究其子情形。自然地對于其他特殊情形可以類似進(jìn)行研究。

2 當(dāng)B1=C1=0時的特殊情形

對于不等式(3)當(dāng)B1=C1=0時，一共有4種情形發(fā)生：1）

2.1 在式(3)中當(dāng)q=r=0,且p,s ∈R的情形

在這種情況下，有B1=C1=A2=C2=A3=B3=0且不等式（3）被簡化成如下形式：

不等式（13）的一些較有意義的子情形如下所述。

2.1.1 情形1∶p=s ∈R(-2,0)（Wagner不等式的推廣）

下面的不等式即著名的Wagner不等式的概率形式：設(shè)隨機(jī)變量X和Y，若E(X2)和E(Y2)存在，且w≥0，則有

由結(jié)論推出式（14），足以假定在式（13）中有

對p=s ∈R(-2,0) 而言這顯然成立，且當(dāng)w=p×(p+2)≥0時，很容易得出Wagner不等式(14)。

若在式(13)中設(shè)p(p+2)≤0 且s(s+2)≤0，則有

2.1.2 情形2∶p=s ∈[-2,0]（Cauchy不等式的改進(jìn)）

假設(shè)在不等式(13)中p=s ∈[-2,0]且 令p(p+2)=u，因此u ∈[-1,0]。由此假設(shè)可得Cauchy不等式的一個改進(jìn)。首先考慮下面的不等式，它可直接通過代數(shù)計算來進(jìn)行證明：

而且有

因此，參照不等式（13）和式（16），可得推論1。

推論1對于2個隨機(jī)變量X和Y，若E(X2)和E(Y2)存在，且有α ∈[0,1]，則有

此不等式等價于：

2.1.3 情形3

式中令p=s=-2，即為Cauchy不等式（2）。

2.2 在式(3)中當(dāng)r=0,s=-1且p,q ∈R的情形

在這種情況下，有B1=C1=A3=B3=0，則不等式（3）可簡化為如下形式：

然而，由于

故在式（21）中當(dāng)p=-1，q=0時即為最佳選擇。此外注意到第3）種情況即p=-1，q=0 且r,s ∈R，將給出與式（21）同樣的結(jié)果。

2.3 在式（3）中當(dāng)p=s=-1且r,q ∈R的情形

這種情況下，則有B1=C1=A2=A3=0，且不等式（3）可簡化為如下形式：

在式（23）中當(dāng)q=r=1時，將出現(xiàn)一個有意義的情形。即導(dǎo)出如下不等式：

[1]Cauchy A L.Cours D′analyse de L′ Ecole Royale Polytechnique Part1∶Analyse Algbrique[M].Paris：Guthier-Villars,1821.

[2]Masjed-Jamei M.A Functional Generalization of the Cauchy-Schwarz Inequality and Some Subclasses[J].Appl.Math.Lett.,2009,22∶1335-1339.

[3]Masjed-Jamei M,Dragomir S S,Srivastava H M.Some Generalizations of the Cauchy- Schwarz and the Cauchy-Bunyakovsky Inequalities Involving Four Free Parameters and Their Applications[J].Math.Comput.Model.,2009,49∶1960-1968.

[4]Masjed- Jamei M.A Generalization of the Cauchy-Schwarz Inequality with Eight Free Parameters[J].J.Inequal.Appl.,2010∶Article 705168.

[5]Masjed-Jamei M,Hussain N.More results on a functional generalization of the Cauchy-Schwarz inequality[J].J.Inequal.Appl.,2012∶Article 239.