轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性

劉 月

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轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性

劉 月

（鐵嶺師范高等?？茖W(xué)校理學(xué)院 遼寧鐵嶺 112000）

研究了具有 Markov 跳躍和區(qū)間時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。此類Markov跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣元素部分未知，因而更具有一般性。通過建立新穎的增廣Lyapunov泛函和應(yīng)用反凸組合技術(shù)，得到了含有轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定準(zhǔn)則。提出的方法不需要知道轉(zhuǎn)移概率矩陣中未知元素的任何信息，增加了結(jié)果的使用范圍。同時(shí)，得到的穩(wěn)定性準(zhǔn)則依賴于時(shí)滯的上下界。最后, 通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了所得結(jié)果的正確性。

轉(zhuǎn)移率部分未知 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)Markov 跳變 反凸組合技術(shù)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域，比如：聯(lián)想記憶、圖像處理、組合優(yōu)化、模式識別[1,2]，因此受到人們的廣泛關(guān)注。由于時(shí)滯對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性有很大的影響，因此，與變時(shí)滯相關(guān)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)穩(wěn)定性問題受到廣泛的研究。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于模型誤差、外部擾動、參數(shù)變化等因素?zé)o法消除，系統(tǒng)常常受到各種隨機(jī)因素的干擾，從而使隨機(jī)系統(tǒng)的研究得到了廣泛關(guān)注。關(guān)于馬爾科夫系統(tǒng)問題的相關(guān)研究中，大多假設(shè)轉(zhuǎn)移概率完全已知[3,4]，然而在實(shí)際工程應(yīng)用中，完全得到轉(zhuǎn)移概率的全部信息十分困難，因此，對轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 系統(tǒng)的研究是十分必要的。目前，大多數(shù)研究是針對轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 線性系統(tǒng)的，然而，轉(zhuǎn)移概率部分未知隨機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究不多。文獻(xiàn)[5]研究了轉(zhuǎn)移概率部分未知的不確定 Markov 跳變線性系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定問題。文獻(xiàn)[6]和[7]分別應(yīng)用不同的方法研究了轉(zhuǎn)移率矩陣含有部分信息隨機(jī) Markov 跳躍系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。以上這幾個(gè)文獻(xiàn)，雖然系統(tǒng)跳躍過程的轉(zhuǎn)移概率為部分未知的，但是這些系統(tǒng)都是線性的。另外，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)過程中，由于放大器切換速度的影響，會有時(shí)滯產(chǎn)生[8]。然而，時(shí)滯的存在可能會引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定性[9]。因此，研究時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是很有必要的。文獻(xiàn)[10]分析了一類具有時(shí)變時(shí)滯和不確定性的細(xì)胞神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)全局漸近穩(wěn)定性問題.。文獻(xiàn)[11]通過建立合適的Lyapunov泛函，研究了具有時(shí)變時(shí)滯的模糊雙曲神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題。這幾個(gè)文獻(xiàn)研究了時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題，沒有考慮隨機(jī)現(xiàn)象。文獻(xiàn)[12]研究了轉(zhuǎn)移率矩陣完全已知的 Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的魯棒穩(wěn)定性問題。文獻(xiàn)[13]研究了轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定性和同步問題。文獻(xiàn)[14]研究了含有轉(zhuǎn)移率部分未知的Markov 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時(shí)間有界性問題。雖然這兩個(gè)文獻(xiàn)研究了轉(zhuǎn)移率部分未知神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)問題，然而還有很大的提升空間。不同于以上方法，在本文中給出了新穎的增廣Lyapunov泛函和應(yīng)用反凸組合技術(shù)，得到了新的穩(wěn)定性的準(zhǔn)則。

基于以上研究成果，本文研究了一類具有轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 跳變時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的隨機(jī)穩(wěn)定問題，通過構(gòu)造新的增廣的Lyapunov泛函，利用反凸組合技術(shù)，給出了系統(tǒng)均方漸近穩(wěn)定的準(zhǔn)則，所得結(jié)果與以往相比更具有一般性和實(shí)用性，仿真實(shí)例證明了結(jié)果的可行性和有效性。

1 模型描述和預(yù)備知識

考慮如下具有時(shí)變離散時(shí)滯和分布時(shí)滯的Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)：

在文中，Markov 跳變的轉(zhuǎn)移概率為部分未知的，且系統(tǒng) (1) 的N個(gè)模態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣表示為：

引理2[17]Rm→R在開子集有正值，且R，則定義在上，f的反凸組合滿足下面式子：

2 主要結(jié)果

(6)

其中，

由式(16)和引理1，可得(17)

根據(jù)引理2中的反凸組合技術(shù)，可以得到，

根據(jù)假設(shè)1，可以的到下面這些不等式。

聯(lián)合(10)~ (21)，我們可以得到

注１：與文獻(xiàn)[1,2,8,10－15]相比，本文研究了時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性問題，不但考慮了隨機(jī)現(xiàn)象，而且還考慮了轉(zhuǎn)移率部分未知的情況，從而擴(kuò)展了在實(shí)際生產(chǎn)中的使用范圍，具有更小的保守性。此外，利用增廣的Lyapunov泛函，增加了線性矩陣不等式解的靈活性。同時(shí)，利用反凸組合技術(shù)減少了保守性。

3 數(shù)值仿真

考慮具有三個(gè)模態(tài)連續(xù)Markov跳變的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)：

轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

其中，“？”表示轉(zhuǎn)移概率矩陣中無法獲得的轉(zhuǎn)移率。

假設(shè)初始值：

同時(shí)根據(jù)假設(shè)1，可以得到：

通過MATLAB中的LMI工具箱，求解定理1，我們可以得到如下可行解

圖１為 Markov跳變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的三個(gè)模態(tài)跳變曲線，圖２為Markov跳變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)曲線圖，我們可以看到系統(tǒng)收斂到原點(diǎn)。仿真圖形如下。

圖1 系統(tǒng)(23)式的三個(gè)模態(tài)跳變曲線

圖2 Markov跳變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(23)的狀態(tài)響應(yīng)曲線

4 結(jié)語

通過建立增廣的Lyapunov泛函和應(yīng)用反凸組合技術(shù)，得到了含有轉(zhuǎn)移概率部分未知的 Markov 跳變神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定準(zhǔn)則。目前，具有轉(zhuǎn)移率部分未知Markov 跳變區(qū)間時(shí)變時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)穩(wěn)定性的研究相應(yīng)成果較少，與已有的轉(zhuǎn)移概率完全已知的文獻(xiàn)相比，本文的方法增加了系統(tǒng)在實(shí)際中的運(yùn)用范圍，更加接近于實(shí)際存在的系統(tǒng)模型。數(shù)值仿真說明了方法的可行性和有效性。

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