基于旋轉(zhuǎn)變換的二值形態(tài)算子的研究

段 汕，樊金東，賴國琴，賈夢真，黃 珍

(中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，武漢430074)

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)是一門圖像處理與分析的學(xué)科，其基本思想是利用一個稱之為結(jié)構(gòu)元素的“探針”在圖像內(nèi)部移動，探測收集圖像的信息.在二值形態(tài)學(xué)中，將圖像視為集合，結(jié)構(gòu)元素以平移變換的方式在圖像內(nèi)部移動，對于圖像內(nèi)部信息的收集則是通過集合的包含關(guān)系(序關(guān)系)和集合的交、并、余等運(yùn)算為主要工具建立的二值形態(tài)算子實現(xiàn)的［1-4］.這樣意義的二值形態(tài)算子也稱為平移形態(tài)算子.

本文在文獻(xiàn)［5］的基礎(chǔ)上，將結(jié)構(gòu)元素移動的方式通過平面旋轉(zhuǎn)變換來實現(xiàn)，建立稱之為旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子的相關(guān)理論，引入了基于旋轉(zhuǎn)變換的二值形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子，并對其性質(zhì)進(jìn)行了較為詳盡地研究.

1 預(yù)備知識

考慮E2=R2{0}，其上的點(diǎn)用極坐標(biāo)(r，θ)表示，其中r＞0是極徑，θ是以2π為模的角度(0≤θ＜ 2π)，在 E2上定義點(diǎn)乘運(yùn)算(r，θ)·(r'，θ')=(rr'，θ+θ')，顯然該運(yùn)算滿足交換律.對于集合A?E2進(jìn)行(r，θ)的旋轉(zhuǎn)變換及其逆變換，分別表示為:

旋轉(zhuǎn)變換的全體 T={τr，θ|r ＞ 0，0≤ θ＜ 2π}構(gòu)成一個Abel群.在文獻(xiàn)［5］中，給出了基于T的腐蝕和膨脹:

其中A，B?E2.對于集合A進(jìn)行關(guān)于b=(r，θ)的旋轉(zhuǎn)變換 τr，θ(A)及其逆變換 τ－1r，θ(A)也可以用點(diǎn)乘運(yùn)算表示:

2 基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕、膨脹算子的表示及性質(zhì)

基于旋轉(zhuǎn)的腐蝕、膨脹定義(1)是通過集合的交并運(yùn)算來描述的，可以證明這種定義方式具有如下的等價代數(shù)表示形式.

性質(zhì)1

性質(zhì)2

對二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)而言，腐蝕與膨脹是其基本運(yùn)算，利用(2)、(3)式可以推導(dǎo)出與平移形態(tài)算子類似的性質(zhì).

利用平面點(diǎn)乘運(yùn)算的可交換性，可得出基于旋轉(zhuǎn)變換的二值膨脹滿足交換律.

性質(zhì)3 A⊕B=B⊕A.

性質(zhì)4 ①A⊕(B⊕C)=(A⊕B)⊕C，②AΘ(B⊕C)=(AΘB)ΘC.

證明 只證②:對?x∈(AΘB)ΘC，有?c∈C，x·c∈AΘB，對?b∈B，有(x·c)·b∈ A，所以x·(b·c)∈ A，x∈ AΘ(B ⊕ C)，故(AΘB)ΘC ?AΘ(B⊕C);

對 ?x1∈AΘ(B ⊕ C)，有 ?b1∈ B，c1∈ C，x1·(b1·c1)∈ A.所以(x1·c1)·b1∈ A，x∈(AΘB)ΘC，故 AΘ(B ⊕ C)? (AΘB)ΘC，② 式成立.

由性質(zhì)4可以看出基于旋轉(zhuǎn)變換的二值膨脹滿足結(jié)合律.

性質(zhì)5 ①(AΘB)c=Ac⊕，②(A⊕ B)c=AcΘ，其中={|b∈ B}.

證明 ①(AΘB)c={x|x·b∈A，?b∈B}c={x|B·x?A}c={(B·x)∩Ac=?}c={x|B·x∩Ac≠?}.A⊕B={x|x=a·b，a∈A，b∈ B}={x|x·∈A，b∈B}={x|x·∩A≠?，b∈B}={x|(·x)∩A≠?}.所以Ac⊕={x|(B·x)∩Ac≠ ?}，即(AΘB)c=Ac⊕.

②(A⊕B)c={x|(·x)∩A≠?}c={x|(·x)∩A=?}={x|(·x)?Ac}，又AΘB={x|B·x? A}，故{x|(·x)? Ac}=AcΘ，即(A ⊕ B)c=AcΘ.

該性質(zhì)表明基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕與膨脹滿足對偶性.

性質(zhì)6 ①(A·x)⊕B=(A⊕B)·x，②(A·x)ΘB=(AΘB)·x.

證明 ①(A·x)⊕B=(A⊕{x})⊕B=(A⊕B)⊕{x}=(A⊕B)·x.

② ?y∈(A·x)ΘB，對?b∈B，有y·b∈A·x，則 ?a ∈ A，使得 y·b=a·x，即 y=(a·)·x，所以 y=(a·)·x∈ (AΘB)·x，故(A·x)ΘB ?(AΘB)·x;?y1∈(AΘB)·x，?b1∈ B，有(y1·)·b1∈A，所以(y1·b1)·∈A，y1∈ (A·x)ΘB，故(AΘB)·x? (A·x)ΘB，即(A·x)ΘB=(AΘB)·x.

此性質(zhì)說明了基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕、膨脹關(guān)于目標(biāo)對象滿足旋轉(zhuǎn)不變性，也可以說，關(guān)于目標(biāo)對象，基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕、膨脹運(yùn)算與點(diǎn)乘運(yùn)算是可以交換的.

性質(zhì)7 ① A⊕ (B·x)=(A⊕ B)·x，②AΘ(B·x)=(AΘB)·.

證明 ①A⊕(B·x)=(B·x)⊕A=(A⊕B)·x.

② AΘ(B·x)=AΘ(B ⊕ {x})=AΘBΘ{x}=∩ {AΘB·|x∈ {x}}=(AΘB)·.

該性質(zhì)表明基于旋轉(zhuǎn)變換的二值膨脹關(guān)于結(jié)構(gòu)元素也滿足旋轉(zhuǎn)不變性.

·x)Θ(B·x)=AΘB，其中 x∈ E2.

基于旋轉(zhuǎn)變換的二值膨脹運(yùn)算，目標(biāo)對象與結(jié)構(gòu)元素相反方向的旋轉(zhuǎn)不會改變膨脹運(yùn)算的結(jié)果，而基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕運(yùn)算的結(jié)果不會因目標(biāo)對象與結(jié)構(gòu)元素的同向旋轉(zhuǎn)而改變.

性質(zhì)9 若單位元(1，0)∈B?E2，則 ①AΘB?A，②A?A⊕B.

證明 ①對?x∈AΘB，有?b∈B，x·b∈A，又因為(1，0)∈B，所以 x·(1，0)∈ A，即x∈A，故AΘB?A.

② 對?a∈A，b∈B，有a·b∈A⊕B，又因為(1，0)∈B，所以a·(1，0)∈A⊕B，即a∈A⊕B，故A?A⊕B.

從該性質(zhì)看出當(dāng)單位元屬于結(jié)構(gòu)元素時，基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕是非擴(kuò)展的，即目標(biāo)對象經(jīng)過腐蝕運(yùn)算后變小，而基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕是滿足擴(kuò)展性的，即膨脹運(yùn)算會使目標(biāo)對象變大，這與基于旋轉(zhuǎn)變換的腐蝕、膨脹的定義相對應(yīng).

性質(zhì)10 如果A?B，則 ①A⊕C?B⊕C，② AΘC?BΘC.

證明 ①對?x∈A⊕C，則?a∈A，c∈C，使得x=a·c，又A?B，所以有a∈B，x∈B⊕C，故A⊕C?B⊕C.

② 對?x∈AΘC，?c∈C，有x·c∈A，又A?B，所以有 x·c∈ B，x∈ BΘC .故 AΘC ?BΘC.

此性質(zhì)說明了基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕、膨脹關(guān)于目標(biāo)對象滿足遞增性.

性質(zhì)11 如果B?C，則①A⊕B?A⊕C，②AΘC?AΘB.

證明 ①A⊕B=B⊕A?C⊕A=A⊕C.

②對?x∈AΘC，?c∈C，有x·c∈A，故對?b∈B，因為B?C，所以b∈C，故x·b∈A.又因為b∈B，所以 x∈ AΘB.故 AΘC? AΘB.

此性質(zhì)說明基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕與膨脹關(guān)于結(jié)構(gòu)元素也滿足遞增性.

性質(zhì)12 ① (B∩C)ΘA=(BΘA)∩(CΘA)，②AΘ(B∪C)=(AΘB)∩(AΘC)，③A⊕(B∪C)=(A⊕B)∪(A⊕C).

證明 ① 對 ?x∈ (B∩ C)ΘA，?a∈ A，有x·a∈B∩C，即x·a∈B且x·a∈C，所以x∈BΘA且x∈CΘA，即x∈(BΘA)∩(CΘA)，所以(B∩C)ΘA?(BΘA)∩(CΘA).

對?x∈(BΘA)∩(CΘA)，有a1∈A，x∈BΘA且x∈CΘA，使得x·a1∈B∩C即x∈(B∩C)ΘA，所以(BΘA)∩ (CΘA)? (B∩ C)ΘA，即(B∩C)ΘA=(BΘA)∩(CΘA).

②對?x∈AΘ(B∪C)，對?y∈B∪C有x·y∈A，y∈B或y∈C.對?y∈B，x·y∈A，可知x∈AΘB.對?y∈C，x·y∈A，可知x∈AΘC.故x∈(AΘB) ∩ (AΘC)，AΘ(B ∪ C) ? (AΘB)∩(AΘC).

對 ?x∈(AΘB)∩(AΘC)，有x∈AΘB且x∈AΘC.對 ?b∈ B，c∈ C，有x·b∈A，x·c∈A，所以{x·b}∪{x·c}=x·{b∪c}∈A，因為b∪c∈B∪ C，所以 x∈ AΘ(B∪ C)，得(AΘB)∩(AΘC)?AΘ(B∪C)，即AΘ(B∪C)=(AΘB)∩(AΘC).

③ A⊕(B∪C)=∪{A·x|x∈B∪C}=［∪{A·x|x∈B］∪［∪{A·x|x∈C}］=(A⊕B)∪(A⊕C).

此性質(zhì)說明對基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕運(yùn)算，目標(biāo)對象求交集運(yùn)算滿足可分解性，對于基于旋轉(zhuǎn)的二值腐蝕、膨脹，結(jié)構(gòu)元素關(guān)于求并運(yùn)算是可分解的.對目標(biāo)對象或結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行分解，能簡化運(yùn)算對象，提高運(yùn)算效率［6］.

性質(zhì)13 ①(AΘC)∪(BΘC)?(A∪B)ΘC，② (AΘB)∪(AΘC)?AΘ(B∩C).

證明① 對?x∈(AΘC)∪(BΘC)有x∈AΘC或x∈BΘC.由x∈AΘC和A?A∪B有x∈(A∪B)ΘC，所以(AΘC)∪(BΘC)?(A∪B)ΘC.

② 對?x∈(AΘB)∪(AΘC)，有x∈AΘB或x∈AΘC.由x∈AΘB知:對?b∈B，有x·b∈A，由x∈AΘC知:對?c∈C，有x·c∈A.即對?y∈B∩C，有x·y∈A，所以x∈AΘ(B∩C)，故(AΘB)∪(AΘC)?AΘ(B∩C).

性質(zhì)14A⊕(BΘC)?(A⊕B)ΘC.

證明 對?x∈ A⊕ (BΘC)，有 a∈ A，y∈BΘC，使得 x=a·y.對 ?c∈ C，有 y·c∈ B，所以(y·c)·a∈A⊕B，即(y·a)·c∈A⊕B.故y·a∈(A⊕B)ΘC，即x∈(A⊕B)ΘC，所以A⊕(B⊕C)?(A⊕B)ΘC.

性質(zhì)15 A?BΘC?A⊕C?B.

證明 對?x∈A⊕C，有a∈A，c∈C，使得x=a·c.又A?BΘC，所以a∈BΘC，故對?c∈C，有 a·c∈B.又c∈C，所以a·c∈B，即x∈B，從而A⊕C?B.

對于?a1∈A，c1∈C，有a1·c1∈A⊕C，又A⊕C?B，所以 a1·c1∈ B，又 c1∈ C，所以 a1∈BΘC，故 A? BΘC.

該性質(zhì)表明基于旋轉(zhuǎn)變換的腐蝕和膨脹構(gòu)成一對附益算子.

3 基于旋轉(zhuǎn)變換的二值開、閉算子的表示及性質(zhì)

在E2中，給定集合A，B，將B對A先腐蝕后膨脹的運(yùn)算稱為B對A的開運(yùn)算，記為A·B，即A·B=(AΘB)⊕B.將B對A先膨脹后腐蝕的運(yùn)算稱為B對A的閉運(yùn)算，記為A·B，即A·B=(A⊕B)ΘB.利用前面已證明的性質(zhì)，可以推導(dǎo)出以下基于旋轉(zhuǎn)變換的開、閉算子的基本性質(zhì).

性質(zhì)16 A·B=∪{B·x|B·x?A}，其中x∈AΘB.

證明 對?y∈(AΘB)⊕B，?x∈AΘB，b∈B，使得 y=x·b，對 ?b1∈ B，有x·b1∈ A，又 b∈B，所以 x·b∈A，即y=x·b∈A，y∈∪{b·x，b∈B}，y∈∪{B·x|B·x?A}，即(A·B)?∪{B·x|B·x?A}.

對 ?y∈∪{B·x|B·x?A}，有y∈B·x?A，所以對 ?b∈B，有b·x∈A，所以x∈AΘB.又?y∈∪{B·x|B·x?A}，?b1∈B，使得y=b1·x，所以y∈(AΘB)⊕B，即y∈A·B，所以∪{B·x|B·x?A}?(A·B)，即A·B=∪{B·x|B·x?A}.

目標(biāo)對象A作基于旋轉(zhuǎn)的開運(yùn)算后所得的集合是其本身的子集.由此性質(zhì)可以直觀地理解基于旋轉(zhuǎn)的開運(yùn)算的效果:B·x就是相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)元素，將結(jié)構(gòu)元素B放入集合A當(dāng)中，不斷地旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)元素B，結(jié)構(gòu)元素B所能達(dá)到的所有區(qū)域的并集就是利用結(jié)構(gòu)元素B對集合A作開運(yùn)算的結(jié)果.此性質(zhì)提供了一種實現(xiàn)基于旋轉(zhuǎn)的開運(yùn)算的算法［7］.

性質(zhì)17 (A·B)c=Ac·，(A·B)c=Ac·，其中={|b∈B}.

證明 由性質(zhì)5有:

(A·B)c=［(AΘB)⊕B］c=(AΘB)cΘ=(Ac⊕)Θ=Ac·.

(A·B)c=［(A⊕ B)ΘB］c=(A⊕ B)c⊕=(AcΘ)⊕=Ac·.

基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕、膨脹滿足對偶性.二值開、閉是腐蝕、膨脹的復(fù)合運(yùn)算，因此基于旋轉(zhuǎn)變換的二值開、閉也滿足對偶性.

性質(zhì)18(A·x)·B=(A·B)·x，(A·x)·B=(A·B)·x，其中 x ∈ E2.

證明 由性質(zhì)6有:

(A·x)·B=［(A·x)ΘB］⊕B=［(AΘB)·x］⊕B=［(AΘB)⊕ B］·x=(A·B)·x.

(A·x)·B=［(A·x)⊕ B］ΘB=［(A⊕ B)·x］ΘB=［(A ⊕ B)ΘB］·x=(A·B)·x.

該性質(zhì)表明基于旋轉(zhuǎn)變換的二值開、閉運(yùn)算關(guān)于目標(biāo)對象滿足旋轉(zhuǎn)不變性，即關(guān)于目標(biāo)對象，基于旋轉(zhuǎn)變換的二值開、閉運(yùn)算與旋轉(zhuǎn)運(yùn)算是可交換的.

性質(zhì)19A·(B·x)=A·B，A·(B·x)=A·B，其中 x∈ E2.

證明 A·(B·x)=［AΘ(B·x)］⊕(B·x)=［(AΘB)·］⊕(B·x)=(B·x)⊕［(AΘB)·］=B⊕(AΘB)=(AΘB)⊕B=A·B.

A·(B·x)=［A⊕(B·x)］Θ(B·x)=［(A⊕ B)·x］Θ(B·x)={［(A ⊕ B)·x］ΘB}·={［(A⊕B)ΘB］·x}·=A·B.

此性質(zhì)說明在旋轉(zhuǎn)變換下，結(jié)構(gòu)元素的位置變化不會對開運(yùn)算或閉運(yùn)算的結(jié)果產(chǎn)生影響.只要結(jié)構(gòu)元素的類型和大小一定，不管結(jié)構(gòu)元素的位置，開、閉運(yùn)算的結(jié)果都是確定的.這與腐蝕和膨脹的運(yùn)算不一樣，腐蝕和膨脹的運(yùn)算結(jié)果和結(jié)構(gòu)元素的位置有密切的關(guān)系.結(jié)構(gòu)元素是否包含單位元，腐蝕和膨脹的結(jié)果是不一樣的［8］.

性質(zhì)20 A·B?A，A?A·B.

證明 對?x∈(AΘB)⊕B，?x1∈AΘB，b1∈ B，使得 x=x1·b1.對 ?b∈ B，有 x1·b∈ A，又b1∈ B，所以 x1·b1∈A，即x∈ A，故 A·B ?A.

對?a∈A，b∈B，有a·b∈A⊕B，又b∈B，有a∈(A⊕B)ΘB，即a∈A·B，故A?A·B.

這個性質(zhì)表明基于旋轉(zhuǎn)變換的二值形態(tài)開運(yùn)算是非擴(kuò)展的，而基于旋轉(zhuǎn)的二值閉運(yùn)算是擴(kuò)展的.

性質(zhì)21 如果A?B，則A·C?B·C，A·C?B·C.

證明 因為A?B，由性質(zhì)11有AΘC?BΘC，(AΘC)⊕C?(BΘC)⊕C，即A·C?B·C.

因為A?B，由性質(zhì)11有A⊕C?B⊕C，(A⊕C)ΘC?(B⊕C)ΘC，即A·C?B·C.

該性質(zhì)說明基于旋轉(zhuǎn)變換的二值開、閉運(yùn)算關(guān)于目標(biāo)對象滿足遞增性.

性質(zhì)22AΘB=(A·B)ΘB=(AΘB)·B.

證明 令A(yù)1=AΘB，A2=A1⊕B，A3=A2ΘB.由A1=AΘB可知A1?AΘB，由性質(zhì)A?BΘC?A⊕C ?B，有A1⊕B?A，即A2?A.由A2=A1⊕B有A1⊕B?A2，同時有A1?A2ΘB，即A1?A3.由A2?A和性質(zhì)11可得A2ΘB?AΘB，即A3?A1，所以有A1=A3，即 AΘB=A2ΘB=(A1⊕ B)ΘB=［(AΘB)⊕B］ΘB=(A·B)ΘB.

AΘB=［(AΘB)⊕Β］ΘB=(AΘB)⊕BΘB=(AΘB)·B.

此性質(zhì)給出了基于旋轉(zhuǎn)變換的二值腐蝕的兩種等價運(yùn)算.

性質(zhì)23A⊕B=(A⊕B)·B=(A·B)⊕B.

證明 令A(yù)1=A⊕B，A2=A1ΘB，A3=A2⊕B.由A1=A⊕ B可知 A⊕ B? A1，由性質(zhì) A?BΘC?A⊕C?B得A?A1ΘB，即A?A2.由A2=A1ΘB有 A2? A1ΘB.同時有 A2⊕ B ? A1，即 A3?A1.又A?A2和性質(zhì)11可得A⊕B?A2⊕B，即A1? A3，所以有A1=A3，故A⊕B=A2⊕B，A⊕B=(A1ΘB)⊕B=(A·B)⊕B，即A⊕B=(A⊕B)·B=(A·B)⊕B.

該性質(zhì)給出了基于旋轉(zhuǎn)變換的二值膨脹的兩種形式.

性質(zhì) 24A·B=(A·B)·B，A·B=(A·B)·B.

證明 由性質(zhì)22得(AΘB)⊕ B=［(A·B)ΘB］⊕B，即A·B=(A·B)·B.

由性質(zhì)23得A⊕B=(A·B)⊕B，(A⊕B)ΘB=［(A·B)⊕ B］ΘB，即 A·B=(A·B)·B.

該性質(zhì)表明了基于旋轉(zhuǎn)變換的二值開、閉運(yùn)算滿足等冪性，即用同一個結(jié)構(gòu)元素對原集合作兩次(或兩次以上)的開運(yùn)算(或閉運(yùn)算)得到的結(jié)果與用此結(jié)構(gòu)元素作一次運(yùn)算的結(jié)果相同.

4 結(jié)束語

本文從二值形態(tài)學(xué)入手，將結(jié)構(gòu)元素移動的方式通過平面旋轉(zhuǎn)變換來實現(xiàn)，給出基于旋轉(zhuǎn)變換下的二值形態(tài)腐蝕、膨脹、開、閉算子的等價表示形式，并研究了旋轉(zhuǎn)變換下的相關(guān)性質(zhì).研究結(jié)果表明:旋轉(zhuǎn)形態(tài)算子保留了平移形態(tài)算子諸如對偶性、等冪性、附益性等基本性質(zhì).

［1］崔 屹.圖像處理與分析數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2000:1-86.

［2］唐常青，呂宏伯，黃 錚.數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)方法及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，1990:1-31.

［3］向朝森，段 汕.基于二值形態(tài)學(xué)的形態(tài)變換方法及應(yīng)用［D］.武漢:中南民族大學(xué)，2011.

［4］段 汕，梅建新.基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的圖像處理方法［J］.中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2003，22(4):67-70.

［5］Heijmans H.Morphological image operators［M］.Boston:Academic Press，1994:147-149.

［6］段 汕，向朝森.本影變換與灰值形態(tài)變換［J］.中南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2010(1):111-114.

［7］段 汕，梅建新，秦前清.基于不同代數(shù)結(jié)構(gòu)的圖像形態(tài)濾波［J］.湖北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2003(4):283-286.

［8］王 坤，高立群，郭 麗，等.多尺度結(jié)構(gòu)元素的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)邊緣檢測新方法［J］.東北大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2008(4):473-476.