基于Nuttall 窗-五點變換的改進FFT 介質(zhì)損耗角測量算法

金 濤 陳毅陽 游勝強

（福州大學電氣工程與自動化學院 福州 350116）

0 引言

電力系統(tǒng)設備的重要組成部分之一就是電容型設備。若電容型設備發(fā)生設備故障，則在很大程度上能影響到電力系統(tǒng)的正常運行。而在所有的電容型設備故障中，很大一部分是由于絕緣問題引發(fā)的，所以有必要對其絕緣狀態(tài)進行監(jiān)測。其中，最關鍵的測試參量就是用于表征電容型設備絕緣狀態(tài)的介質(zhì)損耗角δ[1,2]。通過對電容型設備的介質(zhì)損耗角δ的監(jiān)測以及對其變化趨勢的分析，能對電容型設備絕緣材料的性能、使用年限等進行有效的評估和預測[3,4]。

介質(zhì)損耗角的測量方法主要可以分為硬件測量法和軟件計算法。硬件法主要以過零檢測為代表，通過硬件電路檢測設備電信號的過零時刻，從而得到介質(zhì)損耗角的值。軟件法主要以諧波分析法為代表，通過對電壓、電流信號進行處理而得到介質(zhì)損耗角[5,6]?？焖俑道锶~變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）具有處理速度快、不易受諧波干擾等特點，因此在軟件法中常用FFT 來計算容性設備的介質(zhì)損耗角。FFT 算法在同步采樣下精度較好，但在非同步采樣的情況下很容易由于頻譜泄漏效應而產(chǎn)生計算誤差[7,8]。為了減小非周期采樣和數(shù)據(jù)截斷所導致的頻譜泄漏，采用Hanning 窗、Blackman 窗、Kaiser窗、三角自卷積窗等的加窗FFT 優(yōu)化算法相繼被提出，并在抑制頻譜泄漏方面取得了較好的效果[9-11]。文獻[12]提出了基于Hanning 自卷積窗的改進算法，該算法運算量小、易實現(xiàn)且計算精度高。文獻[13]提出了基于Kaiser 窗的雙譜線插值算法，得到了比漢寧窗更高的計算精度。文獻[14]提出了將Blackman-Harris 窗與插值法相結合的改進的FFT 算法，有效地降低了介質(zhì)損耗角的測量誤差。文獻[15]提出了萊夫-文森特窗函數(shù)三譜線插值算法及其修正公式，提高了FFT 算法的計算精度。如何同時在頻域和時域進行改進而進一步提高介質(zhì)損耗角的檢測精度，是一個值得研究的問題。

為了進一步提高介質(zhì)損耗角精度，本文對FFT在非周期采樣和數(shù)據(jù)截斷下的頻譜泄漏現(xiàn)象進行分析，在加時域Nuttall 窗方法的基礎上，對頻域FFT輸出序列進行五點加權變換進一步抑制頻譜泄漏，從而提出基于Nuttall 窗-五點變換的改進FFT 算法。計算機仿真和實驗結果表明，本文所提算法能有效消除諧波和直流分量的干擾，減少頻譜泄漏效應并提高介質(zhì)損耗角的測量精度。

1 介損測量算法及其誤差來源分析

1.1 介質(zhì)損耗角的定義

電介質(zhì)實際等效原理圖及其電壓電流相量圖如圖1 所示，其中φ 為圖中電介質(zhì)等效RC 并聯(lián)電路的功率因素角，φ 的余角δ 則為介質(zhì)損耗角[16]。由圖1 可得介質(zhì)損耗角計算公式為

圖1 電介質(zhì)等效原理圖與相量圖Fig.1 The equivalent circuit and phasor of dielectric

式（1）為介損角的理論計算公式，實際上采用離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform，DFT）進行介損角的測量時，對流經(jīng)電介質(zhì)的電流和電介質(zhì)兩端的電壓進行傅里葉分解，其表達式為

進一步分析可得介損角的測量值為

式中，δu、δi分別為電壓、電流相角。

由上述對介損角的分析可知:介質(zhì)損耗角與電壓頻率有關，二者之間呈反比例關系；電容性設備的電壓、電流瞬時值，通過FFT 可以分離出電壓、電流信號的基波及各次諧波幅值、頻率、相位信息，從而可以較高精度地求得介質(zhì)損耗角。

1.2 FFT 的頻譜泄漏效應

理論上傅里葉變換是對無限長的時域信號進行變換，而工程實際上FFT 則是對有限長的時域信號進行變換，相當于對原來無限長的信號進行截斷。截斷后的信號相當于時域上在原無限長信號的基礎上乘以一個矩形窗。由于時域上的乘積運算可以寫成頻域上的卷積運算，因此信號截斷后會使得最后計算得到的信號頻譜產(chǎn)生失真，最終得到的結果為矩形窗頻譜和實際信號頻譜的卷積而不是實際信號的真實頻譜[17,18]。設電容性設備電壓電流檢測信號為

采樣時所用長度為T 的矩形窗為

則其傅里葉變換的結果為

因此，在同步采樣情況下，工程實際上通過快速傅里葉算法可以得到對應于分析頻率 fAnl=mfs/N 的離散譜線圖（其中m=0,···,N-1，fs為采樣頻率，N 為采樣點數(shù)）。

令被測信號頻率為 f=kfAnl，則可由FFT 算法得到頻譜序列

但是由于電網(wǎng)頻率是不斷波動的，導致了實際在采用FFT 分析時很難滿足同步采樣的條件。假設 被 測 信 號 的 實 際 頻 率 f '=（k+Δk ）f，其 中0＜Δk ≤1，則信號的頻譜序列為

其中，當n=k 時

2 基于五點變換的改進FFT 相位分析方法

2.1 五點變換的FFT 算方法

由第1 節(jié)分析可知可計算FFT 輸出序列 X（n）中第n 點的幅值為

為了增加第n 點主頻點附近譜線的衰減速率，通過加權平均，便能得到新的傅里葉輸出序列。采用式（12）對第n 條譜線及其附近5 個頻點的譜線進行處理。

式中，n=1,2,…,N。特別地，把式（12）中不存在的項用 0 代替。此時，新的傅里葉序列輸出頻譜序列為

2.2 基于Nuttall 窗-五點變換的介損角分析法

為了減少應用FFT 對介質(zhì)損耗角進行分析時頻譜泄漏所帶來的影響，本文在時域采用較小旁瓣峰值電平且具有較大旁瓣衰減速率的Nuttall 窗函數(shù)加窗的方式對信號進行截斷[19,20]。式（14）為四階Nuttall 窗的時域表達式。

圖2 Nuttall 窗時域幅頻特性Fig.2 The spectrum of Nuttall window in the time domain

圖3 Nuttall 窗頻域幅頻特性Fig.3 The spectrum of Nuttall window in the frequency domain

圖2 和圖3 給出了Nuttall 窗的時域和頻域下的幅頻特性，可以看出Nuttall 窗具有良好的旁瓣性能。設頻率為f=mfanl的電壓和電流信號u(n)和i(n)，以采樣頻率 fs對其離散化后得到的離散信號序列xi(n)和xu(n)為

式中， Inoise（n ）、Unoise（n ）為信號中的隨機噪聲；ki和ku為信號中的直流分量；H 為信號所含諧波分量個數(shù)、δhu和δhi為第h 次電壓電流諧波信號的初相角、Uh和Ih為第h 次電壓電流諧波信號的幅值。采用式（14）中的Nuttall 窗對電壓電流信號進行加窗截斷，可得輸出序列Xi(n)和Xu(n)為

根據(jù)式（12）對Xi(n)和Xu(n)進行五點變換，最后得到FFT 輸出序列Xi5(n)和Xu5(n)，則容性設備的介質(zhì)損耗角δ 可表示為

3 仿真分析

為了驗證所提出的基于Nuttall 窗-五點變換介質(zhì)損耗角的測量改進算法的有效性和精度，在多種干擾條件下對該改進算法進行了仿真研究。

絕緣介質(zhì)的模型采用了電阻與電容并聯(lián)模型，其電阻值為5kΩ，電容值為100μF，電壓信號模型為

式中，A1為基波的幅值；A3為三次諧波的幅值；ω1為基波的角頻率；θ1為基波的初相角；θ3為三次諧波的初相角；k 為直流分量的幅值；Random(t)為隨機噪聲函數(shù)；l 為隨機噪聲的幅值。

3.1 諧波的影響

在實際電力系統(tǒng)中，電信號通常會含有諧波成分，其中最常見并且幅值最大的是三次諧波。因此，選取三次諧波作為干擾進行介損角測量誤差的研究。表1 為基波頻率為50Hz、初相角為40°時的三次諧波干擾下介質(zhì)損耗角測量的結果，其中 A3/A1表示三次諧波幅值與基波幅值之比。

表1 基波50Hz 時諧波對介質(zhì)損耗角測量的影響Tab.1 Influence of harmonic component when the fundamental frequency is 50Hz

從表1 可以看出，在三次諧波干擾的情況下，Nuttall 窗-五點加權算法能有效抑制諧波對于介質(zhì)損耗角測量結果的影響。因此，Nuttall 窗-五點加權改進算法在有諧波干擾的情況下仍然能進行介質(zhì)損耗角的精確測量。

3.2 頻率波動的影響

電網(wǎng)的頻率實際上是緩慢動態(tài)變化的，其標準值為 50Hz。正常情況下，電力系統(tǒng)的頻率允許±0.2Hz 的波動，對于容量較小的系統(tǒng)，頻率波動范圍可以允許到49.5～50.5Hz。

表2 為考慮電網(wǎng)頻率波動的極限情況時采用本文算法所測得的介質(zhì)損耗角。可以看出，本文的算法能有效消除頻率波動導致的測量誤差，測量結果絕對誤差小于 0.5 ×10-6。

表2 頻率波動對介質(zhì)損耗角測量的影響Tab.2 Influence of frequency fluctuation on measurement of dielectric loss angle

3.3 采樣點數(shù)的影響

固定采樣頻率為500Hz，采樣點數(shù)從500 點取至600 點。表3 為當采樣點數(shù)從500 增加至600 時所測得的介質(zhì)損耗角。從表3 可以看出:隨著采樣點數(shù)的增加，介質(zhì)損耗角的測量精度并沒有顯著提高，而且當采樣點數(shù)不滿足整周期采樣時介質(zhì)損耗角精度有所下降。因此，在滿足整周期采樣的情況下應盡可能減少采樣點數(shù)以減小FFT 運行時間，以加快計算速度。

表3 采樣點數(shù)對介質(zhì)損耗角測量的影響Tab.3 Influence of changing the number of sampling points on measurement of dielectric loss angle

3.4 直流分量的影響

電力系統(tǒng)中，由于硬件電路的溫度特性等原因，測得的電信號可能產(chǎn)生零點漂移現(xiàn)象，也就是在電信號中產(chǎn)生了直流分量。表4 為在不同直流分量值的影響下測得的介質(zhì)損耗角，其中k/A1為直流分量與基波幅值之比。可以看出，隨著直流分量的增大，測量結果依然保持相當高的精度，其相對誤差小于5×10-6。

表4 直流分量對于介質(zhì)損耗角測量的影響Tab.4 Influence of direct current component on measurement of dielectric loss angle

3.5 隨機噪聲的影響

隨機噪聲對于介質(zhì)損耗角的影響見表5，其中l(wèi)/A1表示隨機噪聲與基波幅值之比?？梢钥闯?，隨機噪聲與基波的幅值比在0.1～0.9 變化時，介質(zhì)損耗角的測量結果精度仍然較高。

表5 隨機噪聲對介質(zhì)損耗角測量的影響Tab.5 Influence of random noise on measurement of dielectric loss angle

4 實驗驗證與分析

為了驗證所提出的理論和算法，本文在實驗室搭建硬件實驗電路進行了相關實驗。在實際的容性設備電器工作的過程中，由于開關操作等原因會產(chǎn)生10MHz 左右的高頻干擾，這些高頻噪聲干擾會降低測量結果的精確度，因此，必須采用低通濾波器對信號中的高頻干擾進行抑制。根據(jù)工程實際經(jīng)驗，低通濾波器的截止頻率通常選擇為基波頻率的 10倍。由于實際監(jiān)測介質(zhì)損耗角時更加關注的是多路信號之間的相位差的穩(wěn)定性，本文采用濾波器的傳遞函數(shù)為

圖4 設計的低通濾波器幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristic diagram of designed low pass filter

通過設計如圖5 所示的傳感器電路、信號調(diào)理電路利用標準容性設備進行檢測，并通過數(shù)據(jù)采集卡PCIE1816H 把采集的信號傳遞到上位機，分別采用傳統(tǒng)FFT 算法及本文所提算法進行介質(zhì)損耗角的求解，然后改變信號的頻率、噪聲幅值、直流分量幅值以及采樣點數(shù)后采集電壓和電流信號數(shù)據(jù)，來驗證本文所提方法的先進性。

圖5 實驗用硬件電路Fig.5 Hardware diagram of experiments

4.1 頻率變化時的實驗結果

為了驗證本文提出的基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法在被測信號基波頻率波動情況下的計算精度的有效性，將信號源中電壓基波頻率分別設定為49.5、49.7、50、50.2、50.5Hz，在其余參數(shù)不變的情況下通過介質(zhì)損耗因數(shù)監(jiān)測平臺進行介質(zhì)損耗因數(shù)的測量并與基于傳統(tǒng)FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法進行比較，實驗分析結果如圖6 所示。

圖6 基波頻率變化時不同算法相對誤差對比Fig.6 Relative error comparison of different algorithms when the fundamental frequency changed

從圖6 可以看出:在基波頻率50Hz 附件時，兩種算法的介質(zhì)損耗角分析精度基本相同，但在基波頻率偏移工頻50Hz 的情況下，基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法的計算精度要高于傳統(tǒng)FFT 算法；并且相對于傳統(tǒng)FFT，隨著基波頻率與50Hz 之間偏移量的增加，本文所提算法的計算誤差波動要遠小于傳統(tǒng)FFT 算法的計算分析結果，這說明本文算法能更好地抑制頻率波動帶來的計算誤差。

4.2 噪聲幅值變化時的實驗結果

為了驗證基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法在被測信號含有噪聲情況下的計算精度的有效性，將信號源產(chǎn)生的電壓信號的噪聲幅值從0 增加至1(pu)，其中步長為0.1(pu)，在其余參數(shù)不變的情況下通過介質(zhì)損耗因數(shù)監(jiān)測平臺進行介質(zhì)損耗角的計算并與基于傳統(tǒng)FFT 的介質(zhì)損耗角算法進行比較，實驗分析結果如圖7 所示。

圖7 噪聲幅值變化時不同算法相對誤差對比Fig.7 Relative error comparison of different algorithms when the noise component changed

從圖7 可以看出:隨著噪聲的增加，基于Nuttall窗-五點變換 FFT 的介質(zhì)損耗角計算方法和傳統(tǒng)FFT 方法的計算精度都在降低，但基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法的計算精度仍高于傳統(tǒng)FFT 算法，這說明本文提出的方法優(yōu)于傳統(tǒng)方法。

4.3 直流分量變化時的實驗結果

為了驗證基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法在被測信號含有直流分量情況下的計算精度的有效性，將信號源產(chǎn)生的電壓信號的直流分量（相對基波幅值）從0 增加至1(pu)（步長為0.1(pu)），在其余參數(shù)不變的情況下通過介質(zhì)損耗因數(shù)監(jiān)測平臺進行介質(zhì)損耗因數(shù)的計算并與基于傳統(tǒng)FFT 的介損因數(shù)算法進行比較，實驗結果如圖8所示。

圖8 直流分量變化時不同算法相對誤差對比Fig.8 Relative error comparison of different algorithms when the DC component changed

從圖8 可以看出:隨著直流分量幅值增加，直流分量變化時對傳統(tǒng)FFT 以及基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法的影響都較小，且本文提出的介質(zhì)損耗角測量方法具有較好的效果。

4.4 采樣點變化時的實驗結果

為了驗證基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法在采樣點數(shù)改變情況下的計算精度的有效性，將采樣點數(shù)從1 200 點增加至3 000 點，在其余參數(shù)不變的情況下通過介質(zhì)損耗因數(shù)監(jiān)測平臺進行介質(zhì)損耗因數(shù)的計算并與基于傳統(tǒng)FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法進行比較，實驗結果如圖9 所示。

圖9 采樣點數(shù)變化時不同算法相對誤差對比Fig.9 Relative error comparison of different algorithms when the number of sampling points changed

從圖9 可以看出:在窗長為非整周期的情況下，基于Nuttall 窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法和傳統(tǒng)FFT 算法的計算誤差都有所增加，但是前者誤差波動較小。因此可以得出結論:基于 Nuttall窗-五點變換FFT 的介質(zhì)損耗因數(shù)算法對于非整周期采樣下的誤差抑制能力更好。

5 結論

采用傳統(tǒng)FFT 進行介質(zhì)損耗因數(shù)的計算時，由于無法滿足整周期采樣會使得計算結果誤差較大。為了減小非整周期采樣帶來的誤差，本文提出了基于Nuttall 窗的改進五點變換FFT 算法，并通過計算機仿真及實驗驗證了上述算法的精度和有效性。本文提出的方法能有效降低非整周期采樣帶來的誤差，并且在頻率波動、直流分量變化、采樣點數(shù)變化等條件下仍能保持相當高的介質(zhì)損耗因數(shù)計算精度。

[1]段大鵬,江秀臣,孫才新,等.基于正交分解的介質(zhì)損耗因數(shù)數(shù)字測量算法[J].中國電機工程學報,2008,28(7):127-133.Duan Dapeng,Jiang Xiuchen,Sun Caixin,et al.A novel algorithm of dielectric loss measurement based on orthogonal decomposition[J].Proceedings of the CSEE,2008,28(7):127-133.

[2]徐志鈕,趙麗娟,律方成,等.傅里葉算法測量介質(zhì)損耗的誤差分析與應用[J].電網(wǎng)技術,2011,35(12):124-129.Xu Zhiniu,Zhao Lijuan,Lü Fangcheng,et al.Error analysis on dielectric loss measurement by Fourier algorithm and its application[J].Power System Technology,2011,35(12):124-129.

[3]孫鵬,楊永越.五點加權FFT 介質(zhì)損耗角測量算法的研究[J].高壓電器,2015,51(3):88-92.Sun Peng,Yang Yongyue.Five-point weighted FFT algorithm for measurement of dielectric loss angle[J].High Voltage Apparatus,2015,51(3):88-92.

[4]董爽,李天云,王永,等.在線檢測介質(zhì)損耗角的矩陣束方法[J].電工技術學報,2015,30(18):229-236.Dong Shuang,Li Tianyun,Wang Yong,et al.An on-line detection method of dielectric loss angle based on matrix pencil algorithm[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2015,30(18):229-236.

[5]張紅瑛,滕召勝,溫和,等.九點變換改進FFT 高精度諧波分析方法[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報

,2010,22(6):38-43.Zhang Hongying,Teng Zhaosheng,Wen He,et al.Nine points’ polynomial transform improved FFT for high precise harmonic analysis[J].Proceedings of the CSU-EPSA,2010,22(6):38-43.

[6]高云鵬,滕召勝,曾博,等.基于 Kaiser 窗頻譜校正的介質(zhì)損耗因數(shù)測量[J].電工技術學報,2009,24(5):203-208.Gao Yunpeng,Teng Zhaosheng,Zeng Bo,et al.Dielectric loss factor measurement based on Kaiser window spectral correction[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2009,24(5):203-208.

[7]高云鵬,李峰,陳婧,等.基于Teager-Kaiser 能量算子 Rife-Vincent 窗頻譜校正的電壓閃變測量[J].電工技術學報,2014,29(6):248-256.Gao Yunpeng,Li Feng,Chen Jing,et al.Voltage flicker measurement using the Teager-Kaiser energy operator based on Rife-Vincent window spectral correction[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2014,29(6):248-256.

[8]高云鵬,滕召勝,溫和,等.基于 Kaiser 窗的相位差校正及tanδ 測量應用[J].湖南大學學報:自然科學版,2009,36(4):48-52.Gao Yunpeng,Teng Zhaosheng,Wen He,et al.Dielectric loss factor measurement based on Kaiser window phase difference correction[J].Journal of Hunan University:Natural Sciences,2009,36(4):48-52.

[9]王劉旺,黃建才,孫建新,等.基于加漢寧窗的FFT 高精度諧波檢測改進算法[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2012,40(24):28-33.Wang Liuwang,Huang Jiancai,Sun Jianxin,et al.An improved precise algorithm for harmonic analysis based on Hanning-windowed FFT[J].Power System Protection and Control,2012,40(24):28-33.

[10]唐軼,陳奎,韓智強,等.布萊克曼函數(shù)頻域插值電力諧波計算[J].電力系統(tǒng)及其自動化學報,2013,25(3):142-146.Tang Yi,Chen Kui,Han Zhiqiang,et al.New calculation method of electric power harmonic in frequency domain interpolation of Blackman windows[J].Proceedings of the CSU-EPSA,2013,25(3):142-146.

[11]溫和,滕召勝,曾博,等.基于三角自卷積窗的介損角測量算法及應用[J].電工技術學報,2010,25(7):192-198.Wen He,Teng Zhaosheng,Zeng Bo,et al.Dielectric loss angle measurement algorithm and application based on Triangular self-convolution window[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2010,25(7):192-198.

[12]孫鵬,楊永越,劉黎明,等.基于 Hanning 卷積窗的DFT 介質(zhì)損耗角測量算法[J].電測與儀表,2014,51(16):73-77.Sun Peng,Yang Yongyue,Liu Liming,et al.A DFT dielectric loss angle measurement algorithm based on Hanning convolution window[J].Electrical Measurement &Instrumentation,2014,51(16):73-77.

[13]高云鵬,滕召勝,卿柏元.基于Kaiser 窗雙譜線插值 FFT 的諧波分析方法[J].儀器儀表學報,2010,31(2):287-292.Gao Yunpeng,Teng Zhaosheng,Qing Baiyuan.Harmonic analysis based on Kaiser window double spectrum line interpolation FFT[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2010,31(2):287-292.

[14]徐志鈕,律方成,李和明.加Blackman-Harris 窗插值算法仿真介損角測量[J].高電壓技術,2007,33(3):104-108.Xu Zhiniu,Lu Fangcheng,Li Heming.Simulation analysis of dielectric loss angle measured by the Blackman-Harris[J].High Voltage Engineering,2007,33(3):104-108.

[15]黃冬梅,龔仁喜,焦鳳昌,等.菜夫-文森特窗三譜線插值的電力諧波分析[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2014,42(2):27-34.Huang Dongmei,Gong Renxi,Jiao Fengchang,et al.Power harmonic analysis based on Rife-Vincent window and triple-spectral-line interpolation[J].Power System Protection and Control,2014,42(2):27-34.

[16]溫和,滕召勝,王永,等.頻譜泄漏抑制與改進介損角測量算法研究[J].儀器儀表學報,2011,32(9):2087-2094.Wen He,Teng Zhaosheng,Wang Yong,et al.Study on spectral 1eakage suppression and improved dielectric loss angle measurement method[J].Chinese Journal of Scientific Instrument,2011,32(9):2087-2094.

[17]郝西偉,楊大偉,劉廣艷,等.高精度FFT 算法在介損監(jiān)測中的理論與仿真研究[J].高壓電器,2009,45(2):57-61.Hao Xiwei,Yang Dawei,Liu Guangyan,et al.Theoretical and simulation study on high accuracy FFT algorithm for tanδ monitoring[J].High Voltage Apparatus,2009,45(2):57-61.

[18]溫和,滕召勝,王一,等.基于三角自卷積窗的介損角高精度測量算法[J].電工技術學報,2009,24(3):203-208.Wen He,Teng Zhaosheng,Wang Yi,et al.High accuracy dielectric loss angle measurement algorithm based on triangular self-convolution window[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2009,24(3):203-208.

[19]許珉,楊陽,陳飛,等.基于 Nuttall(Ⅰ)窗的插值FFT 算法[J].電力系統(tǒng)保護與控制,2011,39(23):44-48.Xu Min,Yang Yang,Chen Fei,et al.An interpolated FFT algorithm based on the Nuttall(I) window[J].Power System Protection and Control,2011,39(23):44-48.

[20]曾博,唐求,卿柏元,等.基于Nuttall 自卷積窗的改進 FFT 譜分析方法[J].電工技術學報,2014,29(7):59-65.Zeng Bo,Tang Qiu,Qing Baiyuan,et al.Spectral analysis method based on improved FFT by Nuttall self-convolution window[J].Transactions of China Electrotechnical Society,2014,29(7):59-65.