信息熵理論與大壩健康診斷

何金平

（1.武漢大學(xué)水利水電學(xué)院，湖北武漢，430072；2.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430072）

信息熵理論與大壩健康診斷

何金平1，2

（1.武漢大學(xué)水利水電學(xué)院，湖北武漢，430072；2.武漢大學(xué)水資源與水電工程科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢，430072）

大壩健康診斷是一個充滿不確定性的復(fù)雜非線性問題，已有的健康診斷方法難以描述其中的不確定性。針對監(jiān)測信息中存在的不確定性，在分析了監(jiān)測信息不確定性內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，將專門研究不確定性問題的信息熵理論引入到大壩健康診斷之中，利用熵的基本概念確定大壩安全綜合評價中的指標(biāo)權(quán)重（熵權(quán)），利用互信息概念識別和挖掘大壩監(jiān)測信息中蘊(yùn)含的異常狀況，利用模糊熵概念研究大壩健康診斷中的復(fù)合不確定性問題，從而為大壩健康診斷提供一些新的研究思路。

大壩；監(jiān)測；健康診斷；不確定性；信息熵

0 引言

不確定性普遍存在于大壩健康診斷之中。目前大壩健康診斷中應(yīng)用最廣泛的監(jiān)測統(tǒng)計模型、確定性模型和混合模型都將監(jiān)測效應(yīng)量與環(huán)境變量之間的關(guān)系視為一種確定的因果關(guān)系，沒有或較少考慮健康診斷中的不確定性問題[1-2]。隨著大壩健康診斷研究的深入發(fā)展，不確定性對大壩健康診斷的影響越來越受到重視，開展大壩健康診斷中不確定性問題的研究，實(shí)現(xiàn)大壩智能化健康診斷，已成為大壩安全監(jiān)控和健康診斷研究領(lǐng)域亟待解決的關(guān)鍵性科學(xué)問題和新的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題。

大壩健康診斷中的不確定性主要來源于物理不確定性、信息不確定性和模型不確定性[3-4]。大壩健康診斷以監(jiān)測效應(yīng)量為基礎(chǔ)資料和主要依據(jù)，因此信息不確定性對大壩健康診斷的不利影響最大。監(jiān)測信息的不確定性決定著對大壩健康狀態(tài)認(rèn)知的不確定性，不僅增加了健康診斷過程的復(fù)雜性和診斷結(jié)果的不確定性，降低了監(jiān)測信息的利用率和監(jiān)測在大壩安全保障中的作用，而且有可能導(dǎo)致在健康診斷時得出偏離客觀實(shí)際的結(jié)論，歪曲大壩的實(shí)際健康狀況，增加大壩的失事風(fēng)險。因此，不解決監(jiān)測信息的不確定性問題，大壩的健康診斷研究就難以深入發(fā)展，健康診斷結(jié)果也難以避免“誤診”。

現(xiàn)有的大壩安全監(jiān)測模型和經(jīng)典的數(shù)學(xué)理論難以解決大壩健康診斷中的不確定性問題，因此有必要尋找新的研究途徑和方法。信息熵理論作為一種具有智能化和信息化特性的專門研究不確定性問題的現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法，不僅奠定了隨機(jī)事件不確定性信息度量的理論基礎(chǔ)，而且在不同學(xué)科之間具有廣泛的普適性和拓展性，因而可以為大壩監(jiān)測信息不確定性問題的研究提供良好的科學(xué)工具。筆者擬將信息熵理論引入到大壩健康診斷與監(jiān)測信息不確定性問題的研究之中，一方面冀望能引起同行們對大壩監(jiān)測信息不確定性問題研究的重視，另一方面也可為大壩健康診斷與監(jiān)測信息不確定性問題的研究提供一些可資借鑒的研究思路。

1 監(jiān)測信息不確定性的內(nèi)涵

1.1 監(jiān)測信息不確定性的基本屬性

不確定性的內(nèi)涵十分廣泛，通常包含隨機(jī)性、模糊性、不完備性、不穩(wěn)定性和不一致性等5個方面，其中隨機(jī)性和模糊性是不確定性的兩種最基本屬性[5]。

監(jiān)測信息的隨機(jī)性是指由于某種或某些偶然條件及隨機(jī)因素的影響，使得監(jiān)測信息在體現(xiàn)與影響因素之間的決定性關(guān)系上存在不確定性，它反映了因果律的缺失問題。隨機(jī)性具有比較明顯的統(tǒng)計學(xué)特征，一般服從某種概率分布規(guī)律，目前主要采用隨機(jī)數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究，已取得了一些實(shí)質(zhì)性的研究成果[6-8]。不穩(wěn)定性中的隨機(jī)成分也屬于不確定性的隨機(jī)性屬性。

監(jiān)測信息的模糊性是指監(jiān)測信息在描述監(jiān)測效應(yīng)量特性和反映監(jiān)測對象健康狀態(tài)時在邊界區(qū)劃上存在的不確定性，它反映了排中律的缺失問題，即由于在質(zhì)上缺乏明確含義、在量上缺乏明確界限而導(dǎo)致概念歸屬的亦此亦彼性。除傳統(tǒng)意義上的模糊性（狹義模糊性）外，不完備性、不一致性和不穩(wěn)定性中的無序性等本質(zhì)上都屬于廣義模糊性的范疇。目前在監(jiān)測信息狹義模糊性研究方面已取得一定進(jìn)展[9-11]，但在廣義模糊性研究方面還很不充分。

隨機(jī)性和模糊性雖然是不確定性的兩個基本屬性，但兩者并非相互排斥或完全獨(dú)立，大多表現(xiàn)具有緊密的相互聯(lián)系，且常常是難以區(qū)分和獨(dú)立存在的。因此，一般將同時具有隨機(jī)性屬性和模糊性屬性的不確定性稱為復(fù)合不確定性。

1.2 監(jiān)測信息不確定性的表現(xiàn)形式

監(jiān)測信息不確定性的表現(xiàn)形式多種多樣，主要可歸納為以下幾個方面。

1.2.1 觀測條件帶來的不確定性

觀測設(shè)施、觀測環(huán)境、觀測人員等都是具有一定隨機(jī)特性的觀測條件，由此產(chǎn)生的隨機(jī)誤差是監(jiān)測信息中難以避免的現(xiàn)象，是監(jiān)測信息不確定性中隨機(jī)性屬性的重要表現(xiàn)形式。誤差的存在降低了監(jiān)測效應(yīng)量的可靠性，掩蓋了監(jiān)測效應(yīng)量的規(guī)律性，在源頭上給大壩健康診斷帶來了不確定性。

1.2.2 信息不完備帶來的不確定性

監(jiān)測信息不完備性主要指監(jiān)測信息的缺失、遺漏等現(xiàn)象，是監(jiān)測信息不確定性中廣義模糊性屬性的主要內(nèi)涵之一。監(jiān)測信息的不完備性將導(dǎo)致監(jiān)測信息不足以充分支持對大壩健康狀態(tài)作出明確判斷。

1.2.3 監(jiān)測信息與大壩健康狀態(tài)之間對應(yīng)關(guān)系的不確定性

大壩健康診斷的本質(zhì)是利用各種信息評估大壩安全狀態(tài)，其中監(jiān)測信息是最重要的基礎(chǔ)信息，評估的途徑和準(zhǔn)則是監(jiān)測信息與大壩健康狀態(tài)之間的映射關(guān)系。然而，由于監(jiān)測信息不確定性和認(rèn)知過程不確定性的存在，監(jiān)測信息與大壩健康狀態(tài)的映射關(guān)系也存在不確定性，它是監(jiān)測信息不確定性中不一致性屬性的重要表現(xiàn)。

2 信息熵理論在大壩健康診斷中的應(yīng)用

2.1 信息熵理論簡介

德國物理學(xué)家克勞修斯（R.Clausius）于19世紀(jì)60年代首次在熱力學(xué)中提出“熱力學(xué)熵”的概念，此后玻爾茲曼（L.Boltzmann）等學(xué)者對熵進(jìn)行了拓展研究。信息論的創(chuàng)始人、美國數(shù)學(xué)家申農(nóng)（C.E. Shannon）在1948年發(fā)表了著名的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》（A mathematical theory of communication），利用概率統(tǒng)計方法，把熵作為隨機(jī)事件的不確定性或信息量的度量，提出了“信息熵”的概念，從而奠定了現(xiàn)代信息論的科學(xué)理論基礎(chǔ)[12]。

設(shè)X為一個具有n種可能性的隨機(jī)事件，X={a1,a2,…,an}，各種可能性出現(xiàn)的概率分布為p=(p1,p2,…,pn)，且滿足：

則信息熵H(X)可定義為：

式（1）中k為常數(shù)，且k≥0；信息熵H(X)也稱為概率熵或Shannon熵。

信息熵是對系統(tǒng)因信息不足或混沌無序而導(dǎo)致的不確定性大小的度量。信息熵越大，表示系統(tǒng)的混亂程度或信息缺乏程度越大，即系統(tǒng)的不確定性越大。研究系統(tǒng)的信息熵，了解系統(tǒng)的不確定性，其目的在于取得適量的信息來消除系統(tǒng)的不確定性，使系統(tǒng)從無序狀態(tài)逐漸變化為有序狀態(tài)，最大限度地發(fā)揮系統(tǒng)的功能。

式（1）是信息熵的基本定義，它建立了熵與概率之間的聯(lián)系，使得熵的應(yīng)用擺脫了熱力學(xué)的局限，拓展到不同學(xué)科、不同領(lǐng)域，是熵概念泛化的標(biāo)志。由信息熵不僅演化出許多新的熵概念，還引發(fā)了許多新的交叉學(xué)科的產(chǎn)生。大壩健康診斷以監(jiān)測信息為基礎(chǔ)，將信息熵理論引入到大壩健康診斷研究之中，是合適、可行的。

2.2 基于熵權(quán)的大壩健康診斷

利用權(quán)重來融合多指標(biāo)（多測點(diǎn)、多效應(yīng)量）進(jìn)行大壩安全融合評價是大壩健康診斷的主要方法之一。信息熵理論認(rèn)為：評價指標(biāo)的波動性越大，離散程度越高，則該評價指標(biāo)在多指標(biāo)評價中所能提供的有用信息越少，所起的作用也越小。因此，基于信息熵理論所確定的熵權(quán)可為多指標(biāo)融合評價提供依據(jù)。

根據(jù)信息熵的定義，評價指標(biāo)uj的信息熵Ej按下式計算：

式（2）中aij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）是評價指標(biāo)uj（j=1，2，…，n）的第i種特性的測度值。aij構(gòu)成評價特性矩陣A。

由信息熵Ej所確定的評價指標(biāo)uj的熵權(quán)ω′按式（3）計算[13]：

熵權(quán)并不是對評價指標(biāo)重要性的測度，而是對監(jiān)測信息不確定性的反映。因此，在實(shí)際應(yīng)用中一般將熵權(quán)ω′與指標(biāo)重要性權(quán)重ω″相結(jié)合，得到綜合權(quán)重ω[14]：

其中 β為經(jīng)驗(yàn)因子，0≤β≤1，β的選取取決于決策者在評價過程中對ω′和ω″的偏好程度。

基于熵權(quán)的大壩健康診斷目前已取得了一些初步研究成果及應(yīng)用示例[14-15]，但仍有很多問題需要深入研究。

2.3 基于互信息的大壩健康診斷

互信息是熵信息熵理論中的一個重要概念，它表示兩個或多個變量之間共享的信息量，互信息越大，變量之間的相關(guān)性越強(qiáng)。大壩監(jiān)測效應(yīng)量與環(huán)境量之間通常具有相互作用性，不同監(jiān)測效應(yīng)量在相同環(huán)境量作用下通常具有協(xié)調(diào)性，當(dāng)大壩健康狀態(tài)出現(xiàn)變異時，監(jiān)測效應(yīng)量就會出現(xiàn)相應(yīng)的異常反映。利用互信息概念，可分析大壩監(jiān)測環(huán)境量與效應(yīng)量以及多個效應(yīng)量之間的相關(guān)性，為大壩健康診斷提供依據(jù)。

不失一般性，以某一環(huán)境變量與某一監(jiān)測效應(yīng)量為例，設(shè)X={x1,x2,…,xn}為環(huán)境變量數(shù)據(jù)序列，Y={y1,y2,…,ym}為監(jiān)測效應(yīng)量數(shù)據(jù)序列，其概率分布分別為p(xi)、p(yi)，則相應(yīng)的信息熵H(X)、H(Y)可按式（1）表示；設(shè)X、Y的聯(lián)合概率分布為p(xiyj)，則X與Y的聯(lián)合熵為：

X與Y的互信息為：

X向Y的有向信息傳遞指數(shù)為[12]：

有向信息傳遞指數(shù)D可有效地反映環(huán)境變量對監(jiān)測效應(yīng)量的影響程度，或者說監(jiān)測效應(yīng)量與環(huán)境變量之間的相依程度。有向信息傳遞指數(shù)D與統(tǒng)計學(xué)中的相關(guān)系數(shù)r具有相似的功能，但相關(guān)系數(shù)r只是描述了兩個變量之間的線性相關(guān)性，有向信息傳遞指數(shù)D則具有更廣泛意義，是對線性相關(guān)性和不確定性的綜合刻畫。

利用互信息I(XY)和有向信息傳遞指數(shù)D(XY)可對大壩監(jiān)測效應(yīng)量中的異常測值進(jìn)行識別診斷。如通過計算混凝土壩實(shí)測壩基揚(yáng)壓力(Y)與上游水位(X)之間的有向信息傳遞指數(shù)D(XY)，可分析壩基揚(yáng)壓力與上游水位之間是否存在關(guān)聯(lián)關(guān)系，從而分析判斷壩基防滲帷幕效果；利用不同監(jiān)測效應(yīng)量之間的有向信息傳遞指數(shù)D，可以分析監(jiān)測效應(yīng)量的協(xié)調(diào)關(guān)系，從而判斷監(jiān)測效應(yīng)量是否存在異常等。

2.4 基于模糊信息熵的大壩健康診斷

模糊性是模糊數(shù)學(xué)的主要特征，它所考慮的是元素對集合或子集對集合在從屬性方面的不確定性；信息熵是對隨機(jī)事件不確定性的度量，主要刻畫元素本身存在的不確定性或集合的整體不確定性。因此，將模糊數(shù)學(xué)和信息熵理論結(jié)合起來，構(gòu)建模糊信息熵（簡稱模糊熵），用以度量模糊集合的模糊程度，將更有利于研究既具有模糊性又具有隨機(jī)性的問題。

模糊熵的定義具有多種形式。一般而言，關(guān)于模糊集A的信息熵可認(rèn)為是一個映射[16]：

式（8）中，ξ(X)為離散論域X={x1,x2,…,xn}上所有模糊子集的集合，A∈ξ(X)。

設(shè)X為離散論域，A、B∈ξ(X)，μA(x)、μB(x)分別為x對A、B的隸屬度，并記：

則模糊集A、B的模糊熵可表示為：

式（10）、式（11）中，k為歸一化因子。

記A、B的模糊聯(lián)合熵為H(A?B)，模糊條件熵為H(A/B)，A與B的模糊交互熵為H(A?B)，則：

模糊交互熵H(A?B)度量了模糊集A與B所共有的模糊信息，在某種程度上描述了它們之間的相似性。

同理，式（7）可以定義模糊集A向模糊集B的有向信息傳遞指數(shù)D(AB)，D(AB)表示在不確定性方面模糊集A對模糊集B的影響程度。

將大壩環(huán)境量、效應(yīng)量視為不同的模糊集，利用模糊熵概念，可分析監(jiān)測效應(yīng)量與環(huán)境量之間的相關(guān)性、不同監(jiān)測效應(yīng)量之間的關(guān)聯(lián)性和協(xié)調(diào)性等，從而實(shí)現(xiàn)大壩健康診斷；將不同監(jiān)測效應(yīng)量集合的模糊性程度視為對大壩安全評價的不同影響，根據(jù)模糊熵概念，可確定評價指標(biāo)的權(quán)重問題（模糊熵權(quán)），從而實(shí)現(xiàn)大壩安全多指標(biāo)綜合評價。

除上述將模糊數(shù)學(xué)與信息熵理論結(jié)合形成的模糊熵外，將粗糙理論與信息熵理論結(jié)合形成粗糙熵，可研究不完備信息條件下的大壩健康診斷；在信息熵基礎(chǔ)上建立的云模型理論，可用于研究同時具有模糊性和隨機(jī)性的復(fù)合不確定性條件下的大壩健康診斷等。

信息熵理論不僅可用于大壩健康診斷，還可用于大壩安全監(jiān)控的很多方面，并且已經(jīng)取得了一定的研究成果。例如，利用最大信息熵原理，可實(shí)現(xiàn)大壩監(jiān)控指標(biāo)的確定[17]、監(jiān)測參數(shù)的反演[18]、監(jiān)測效應(yīng)量的預(yù)測等。

3 結(jié)語

大壩健康診斷中普遍存在著不確定性，監(jiān)測信息不確定性是大壩健康診斷不確定性的主要來源。目前基于經(jīng)典數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的健康診斷方法難以解決大壩健康診斷中的不確定性問題，因此有必要尋找新的理論支持和研究途徑。筆者將專門研究不確定性問題的現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法——信息熵理論引入到大壩健康診斷研究之中，為涉及監(jiān)測信息不確定性的大壩健康診斷研究提供了若干新的研究思路。

（1）將監(jiān)測效應(yīng)量作為大壩健康診斷指標(biāo)，利用信息熵的基本概念，對各監(jiān)測效應(yīng)量的不確定性進(jìn)行度量，并視其為多指標(biāo)綜合診斷體系中各診斷指標(biāo)對診斷結(jié)果的影響程度，從而確定大壩健康診斷中各診斷指標(biāo)的權(quán)重（即熵權(quán)）。

（2）將不同監(jiān)測效應(yīng)量（含環(huán)境量）作為具有關(guān)聯(lián)性的變量，利用信息熵理論中的互信息概念，對不同監(jiān)測效應(yīng)量之間的有向信息傳遞指數(shù)進(jìn)行度量，并視其為監(jiān)測效應(yīng)量之間的相互影響程度或依存程度，從而識別和挖掘大壩監(jiān)測效應(yīng)量信息中蘊(yùn)含的異常狀況。

（3）將信息熵理論與其他研究方法相結(jié)合，生成不同類型的熵概念，解決一些特定問題，如將不同監(jiān)測效應(yīng)量（含環(huán)境量）作為大壩安全論域中的不同模糊子集，利用信息熵理論與模糊數(shù)學(xué)相結(jié)合的模糊熵概念，研究大壩健康診斷中同時具有模糊性和隨機(jī)性的復(fù)合不確定性問題等。

信息熵理論在大壩健康診斷中的應(yīng)用十分廣泛，具有巨大的潛力。筆者涉及的只是其中的一部分，旨在起到拋磚引玉的作用，更深入的研究還有待廣大同行共同努力。 ■

[1]顧沖時,吳中如.大壩與壩基安全監(jiān)控理論和方法及應(yīng)用[M].南京:河海大學(xué)出版社,2006.

[2]何金平.大壩安全監(jiān)測理論與應(yīng)用[M].北京:中國水利水電出版社,2010.

[3]JCSS.JCSS Probabilistic Model Code[S].

[4]姚繼濤.基于不確定性推理的既有結(jié)構(gòu)可靠性評定[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

[5]李德毅,劉常昱,杜鹢.不確定性人工智能[J].軟件學(xué)報, 2004,15(11):1583-1594.

[6]胡靈芝,顧沖時.混凝土壩參數(shù)的隨機(jī)反分析方法探討[J].水電能源科學(xué),2004,22(4):81-84.

[7]陳在鐵,任青文.高拱壩安全分析中的不確定性因素研究[J].南京理工大學(xué)學(xué)報,2006,30(6):718-722.

[8]陳群,唐岷,朱分清.強(qiáng)度參數(shù)的不確定性對土石壩壩坡失穩(wěn)概率的影響[J].巖土工程學(xué)報,2008,30(11):1594-1599.

[9]李珍照,張淑麗.大壩觀測數(shù)據(jù)的模糊分析[J].大壩觀測與土工測試,1992(1):3-8.

[10]孫瑋瑋,李雷.基于模糊數(shù)學(xué)理論的大壩風(fēng)險后果綜合評價[J].水利水運(yùn)工程學(xué)報,2010(4):16-20.

[11]吳中如,徐波,顧沖時,李占超.大壩服役狀態(tài)的綜合評判方法[J].中國科學(xué):技術(shù)科學(xué),2012,42(11):1243-1254.

[12]張繼國,V.P.Singh.信息熵——理論和應(yīng)用[M].北京:中國水利水電出版社,2012.

[13]Teoh,H.J.,Cheng,C.H.,Chu,H.H.,et al.Fuzzy time series model based on probabilistic approach and rough set rule induction for empirical research in stock markets [J].Data&Knowledge Engineering,2008,67(1):103-117.

[14]施玉群,何金平.基于信息熵的大壩多效應(yīng)量聚類融合診斷模型[J].水力發(fā)電學(xué)報,2013,32(5):239-243.

[15]徐昆振,何金平,夏萬求.基于粗糙集與條件信息熵的大壩安全融合評價模型[J].武漢大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2014, 47(1):46-49.

[16]丁世飛,朱紅,許新征,等.基于熵的模糊信息測度研究[J].計算機(jī)學(xué)報,2012,35(4):796-801.

[17]楊杰,胡德秀,吳中如.基于最大熵原理的貝葉斯不確定性反分析方法[J].浙江大學(xué)學(xué)報(工學(xué)版),2006,40(5): 810-815.

[18]叢培江,顧沖時,谷艷昌.大壩安全監(jiān)控指標(biāo)擬定的最大熵法[J].武漢大學(xué)學(xué)報(信息科學(xué)版),2008,33(11):1126-1129.

作者郵箱：whuhjp@163.com

The relation between information entropy theory and dam health diagnosis

HE Jin-ping//Col?

lege of Water Resources and Hydropower,Wuhan University

Dam health diagnosis is a complicated nonlinear problem with a variety of uncertainty,and it is difficult to describe the uncertainty by the existing health diagnosis methods.Based on connotation analysis of the uncertainty in monitoring information,the information entropy,which is a specialized the?ory for uncertainty problems,is introduced to research dam health diagnosis.And some new ideas are provided,such as,the index weight(entropy weight)of dam safety comprehensive evaluation can be de?termined by the basic concept of entropy,the abnormal situation contained in the monitoring information can be recognized by the concept of mutual information,and the composite uncertainty problems in dam health diagnosis can be studied by the concept of fuzzy entropy.

dam;monitoring;health diagnosis;uncertainty;information entropy

TV698

A

1671-1092（2015）04-0001-05

2014-11-27；

2015-01-30

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目51379162，51079114

何金平（1964-），男，湖北羅田人，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事大壩安全監(jiān)控與健康診斷研究。