極限與極端思維在高中物理中的應(yīng)用

梅鑫華

摘 要：不少物理教師將極限與極端混為一談。本文試圖對(duì)此做出區(qū)分，并探尋高中物理教材中的極端與極限思維，舉例說(shuō)明兩種思維在解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：極限思維；極端思維；物理應(yīng)用

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）10-0049-3

人教版物理必修1在引出瞬時(shí)速度概念的過(guò)程中，采用了極限的思維。若把這種思維稱作極端思維，顯然有失偏頗。而在高中物理教學(xué)中，不少教師將極端與極限思維混為一談，甚至有些文獻(xiàn)也認(rèn)為“極端思維又叫做極限思維”[1]。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，極限與極端是兩種有區(qū)別的思維方法。若教學(xué)中將兩者混淆，必然不利于學(xué)生形成正確的極限概念。筆者認(rèn)為有必要對(duì)此做一區(qū)分，便于學(xué)生理解與掌握兩種思維的精髓。

1 極限思維與極端思維的區(qū)別

在數(shù)學(xué)中，如果某個(gè)變化的量無(wú)限地逼近于一個(gè)確定的數(shù)值，那么該定值就叫作變化的量的極限。這里隱含了極限思維的內(nèi)涵：無(wú)限趨近或逼近。例如，函數(shù)y=，其中x≥1。利用極限思維，使x無(wú)限趨近+∞，可得y無(wú)限逼近0，所以0是函數(shù)y在x→∞時(shí)的極限值。而極端思維類似于數(shù)學(xué)中的特殊值法，是一種“極端”的特殊。例如，上述函數(shù)在取x=1這種“極端”特殊情況下，y的值將變?yōu)?。

中學(xué)階段的極限與極端思維用數(shù)學(xué)語(yǔ)言可歸納如下：極限思維是指“使自變量趨近某一值，研究因變量無(wú)限逼近的極限值”；極端思維是指“取自變量為某些極端值，研究因變量的數(shù)值”。由于有些自變量無(wú)法直接取為極端值，如上述函數(shù)x不能直接取為0，所以需要極限思維，使x無(wú)限趨近于0，來(lái)研究因變量y的極限值。

對(duì)中學(xué)物理而言，兩種思維的區(qū)別：極端思維是將所研究的問(wèn)題直接推到極端狀態(tài)下進(jìn)行分析、討論；而極限思維則是將所研究的問(wèn)題無(wú)限趨近于極端狀態(tài)來(lái)進(jìn)行分析、討論。

2 極限思維在高中物理中的體現(xiàn)

2.1 引出瞬時(shí)物理量的概念、方向

極限思維引出瞬時(shí)物理量的概念、方向在高中物理中有很多例子，如瞬時(shí)速度、曲線運(yùn)動(dòng)速度方向、向心加速度方向，這里不再過(guò)多描述。

2.2 推導(dǎo)物理公式、規(guī)律

由于極限思維是微積分的基礎(chǔ)。高中物理教材在利用微積分思想推導(dǎo)公式、規(guī)律時(shí)，也滲透了極限的思維。

例如，勻變速直線運(yùn)動(dòng)位移公式的推導(dǎo)。首先利用微積分思想，將物體的運(yùn)動(dòng)分成幾個(gè)小段，各小段的位移在v-t圖像上近似表示為矩形面積。將這些矩形面積累加求和，即為全過(guò)程的位移。利用極限思維，使全過(guò)程無(wú)限分割，即相鄰時(shí)間間隔趨近于零，此時(shí)累加求和的值將無(wú)限逼近圖像上梯形的面積，由此得到勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式。此外，彈簧彈性勢(shì)能公式、重力做功、靜電力做功的推導(dǎo)與之類似。

3 極端思維在高中物理中的體現(xiàn)

極端思維類似于特殊值法，其主要用于解決物理問(wèn)題，而在推導(dǎo)物理公式與規(guī)律中應(yīng)用較少。因此，高中物理教材中極端思維的應(yīng)用并不多，如表1。

4 極限思維與極端思維在物理解題中的應(yīng)用

例1 （極限思維應(yīng)用）空間某一靜電場(chǎng)的電勢(shì)φ在x軸上分布如圖1所示，x軸上兩點(diǎn)B、C的電場(chǎng)強(qiáng)度在x方向上的分量分別是EBx、Ecx，下列說(shuō)法中正確的有（ ）

A.B、C兩點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小EBx

B.EBx的方向沿x軸正方向

C.電荷在O點(diǎn)受到的電場(chǎng)力在x方向上的分量最大

D.負(fù)電荷沿x軸從B移到C的過(guò)程中，電場(chǎng)力先做正功，后做負(fù)功

分析 由于B點(diǎn)斜率絕對(duì)值大于C點(diǎn)，所以EBx大于Ecx，即A選項(xiàng)錯(cuò)。沿電場(chǎng)線方向，電勢(shì)降低，所以B選項(xiàng)錯(cuò)。O點(diǎn)處的斜率為零，所以電場(chǎng)強(qiáng)度為零，電場(chǎng)力最小，即C選項(xiàng)錯(cuò)。根據(jù)W=Uq，可知D選項(xiàng)正確。

點(diǎn)評(píng) 此題φ-x圖像的斜率表示電場(chǎng)強(qiáng)度，這里隱含了極限的思維。以B點(diǎn)為例，在距B點(diǎn)右側(cè)（或左側(cè)）附近Δx處取A點(diǎn)，則A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)差Δφ與Δx的比值可近似表示B處電場(chǎng)強(qiáng)度。使A點(diǎn)無(wú)限趨近于B點(diǎn)，即Δx趨向于零，此時(shí)E=將無(wú)限逼近該處切線斜率的大小，該斜率即為B處電場(chǎng)強(qiáng)度大小。

例2 （極端思維應(yīng)用）如圖2，一根不可伸長(zhǎng)的輕繩系一個(gè)小球，將小球拉至水平位置后由靜止釋放，則小球在擺動(dòng)到最低點(diǎn)的過(guò)程中，重力對(duì)小球做功的瞬時(shí)功率（ ）

A.始終不變

B.始終增大

C.先減小后增大

D.先增大后減小

分析 在小球下落過(guò)程中，由于速度沿重力方向的分量逐漸減小，而速度逐漸增大，導(dǎo)致難以判斷下落過(guò)程中重力瞬時(shí)功率的大小變化。對(duì)此，我們進(jìn)行定量分析。

設(shè)小球下落至某一點(diǎn)處，此時(shí)繩與水平方向的夾角為θ，設(shè)繩長(zhǎng)度為R，那么該處小球重力的瞬時(shí)功率為：

P=mgvcosθ。

根據(jù)動(dòng)能定律mgRsinθ=mv2，

聯(lián)立兩式得：

P=mgcosθ=mg。

由數(shù)學(xué)計(jì)算可知，從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)，重力瞬時(shí)功率P先增大后減小，且sinθ=時(shí)，功率P達(dá)到最大值，答案選D選項(xiàng)。此題不妨應(yīng)用極端思維，考慮到最高點(diǎn)及最低點(diǎn)時(shí)的功率都為零，而中間過(guò)程功率不為零，由此推出功率必然先增大后減小。

點(diǎn)評(píng) 極端思維用于判斷物理量的變化情況時(shí)，可以幫助我們快速解決問(wèn)題，節(jié)省做題時(shí)間，應(yīng)用較為廣泛。但對(duì)于何處達(dá)到最大或最小、具體數(shù)值為多大等問(wèn)題，還需進(jìn)行嚴(yán)密的物理分析與數(shù)學(xué)計(jì)算。

5 小 結(jié)

應(yīng)用極限思維，可以引出一些瞬時(shí)物理量的概念，如瞬時(shí)速度、瞬時(shí)功率等；可以得到瞬時(shí)矢量的方向，如曲線運(yùn)動(dòng)速度方向沿切線方向、向心加速度方向；還可得到物理量在某處的大小，如電場(chǎng)強(qiáng)度大小。此外，極限思維配合微積分思想，能求解一些變力做功等問(wèn)題。

應(yīng)用極端思維，可以使我們快速、巧妙地解決物理問(wèn)題，檢驗(yàn)解題結(jié)果的正確性，對(duì)某些選擇題尤為適用。這種思維具有跳躍性、靈活性等特點(diǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]方小寧.重視極端思維在物理中的應(yīng)用[J].物理教學(xué)探討，2004，22（8）：23—25.

（欄目編輯 陳 潔）