例談高中物理競(jìng)賽中Maclaurin公式的一階和二階近似

張啟迪

摘 要：Maclaurin公式是Taylor公式的特殊形式，在中學(xué)物理競(jìng)賽和自主招生的解題中有著重要的應(yīng)用。然而，Maclaurin公式在進(jìn)行近似計(jì)算時(shí)，有時(shí)取一階近似，有時(shí)取二階近似。本文以兩道競(jìng)賽題為例，淺談在應(yīng)用該公式時(shí)，如何對(duì)階數(shù)進(jìn)行取舍。

關(guān)鍵詞：Maclaurin公式；一階近似；二階近似；物理情景；物理意義

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）10-0028-2

1 引 言

Taylor公式和Maclaurin公式是大學(xué)物理學(xué)習(xí)過(guò)程中非常常用的兩個(gè)公式，而Maclaurin公式是泰勒公式的特殊情況，即在滿足Taylor定理的前提下，當(dāng)泰勒公式中x0=0時(shí)，公式成為f（x）=

f（0）+f'（0）x+x2+…+xn+xn+1，（0<θ<1）。

在一定條件下，所有的函數(shù)都可以用Maclaurin公式展開(kāi)，由公式可以看出，展開(kāi)后分別為x的一次方到n+1次方。在物理學(xué)中，很多時(shí)候需要近似計(jì)算，當(dāng)x→0時(shí)，我們可以略去高階無(wú)窮小量，從而使函數(shù)關(guān)系變得簡(jiǎn)單，易于找到其中的物理規(guī)律。下面我們通過(guò)兩道競(jìng)賽題來(lái)看看如何對(duì)階數(shù)進(jìn)行取舍。

2 Maclaurin公式一階近似舉例

例1 新發(fā)現(xiàn)一行星，其星球半徑為6400 km，且由通常的水形成的海洋覆蓋著它的所有表面，海洋的深度為10 Km。學(xué)者們對(duì)該行星進(jìn)行探查時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)把試驗(yàn)用的樣品進(jìn)入行星海洋的不同深度時(shí)，各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變。試求此行星表面處的自由落體加速度。已知萬(wàn)有引力常數(shù)G=6.67×10-11 N·m2/kg2。

我們知道，質(zhì)量均勻分布的球殼對(duì)中間任意一點(diǎn)的萬(wàn)有引力合力為零，對(duì)樣品真正有引力作用的應(yīng)當(dāng)是內(nèi)部水球殼和星球。隨著樣品在水中不斷下降，內(nèi)部水球殼的質(zhì)量顯然在減小，那么樣品受到的萬(wàn)有引力一定在減弱，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，樣品是不可能以恒定的加速度下落的。題目中也著重強(qiáng)調(diào)，“各處的自由落體加速度以相當(dāng)高的精確度保持不變”，對(duì)此的理解應(yīng)當(dāng)是自由落體加速度肯定是變化的，但是精度要求不高的時(shí)候，近似保持不變。繼續(xù)翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，重力加速度g應(yīng)當(dāng)是關(guān)于樣品距球體深度的函數(shù)，當(dāng)要求精度不高的時(shí)候，應(yīng)當(dāng)略去x的高階小量，而保留x的一階量，又不隨x發(fā)生變化，則x前的系數(shù)應(yīng)當(dāng)為0。

首先，我們將g表示成關(guān)于深度x的函數(shù)，即

g（x）=（其中M為球體質(zhì)量，R為6400 km，ρ為水的密度），對(duì)上式化簡(jiǎn)，并略去x的二階和三階項(xiàng)得：

g（x）=，又根據(jù)二項(xiàng)式定理（1+α）n≈1+nx（其中0<α<<1），得：

g（x）=（1+）（1-）=

1+（-）x（其中，=<<1，且已略去x的二階項(xiàng)）。

要求在相當(dāng)精確度下，自由落體加速度不隨x變化，則x前的系數(shù)必為0。即

-=0，化簡(jiǎn)可得g≈=2πGρR。

依照題意，在相當(dāng)高的精度下，我們并不關(guān)心g（x）函數(shù)的整體面貌，而僅僅關(guān)心x∈（0，10） km這樣一個(gè)小范圍內(nèi)g（x）函數(shù)的形態(tài)。所以，我們應(yīng)當(dāng)舍去高階小量，僅保留一次項(xiàng)。本題中應(yīng)當(dāng)注意題目中創(chuàng)設(shè)的情景，針對(duì)所要研究的問(wèn)題，進(jìn)行相關(guān)近似。那么，在研究物理問(wèn)題，需要用Maclaurin公式做近似的時(shí)候，是不是一般都進(jìn)行一階近似呢？我們繼續(xù)看下一個(gè)例題。

3 Maclaurin公式的二階近似舉例

例2 一塊厚度為h的勻質(zhì)長(zhǎng)方形物塊，靜止地放在半徑為R的半圓柱頂面上，如圖1所示。設(shè)摩擦系數(shù)足夠大，長(zhǎng)方形物塊與柱面不發(fā)生滑動(dòng)。求此靜止位置為穩(wěn)定平衡的條件。當(dāng)θ很小時(shí)，有關(guān)系：cosθ≈1-，sinθ≈θ。

（a）

（b）

圖1 例2示意圖

物體平衡位置為穩(wěn)定平衡位置的條件是：當(dāng)此物體稍微偏離平衡位置時(shí)，將受到指向平衡位置的合力作用（平衡力），使物體回到平衡位置。換句話說(shuō)，如果物體向兩側(cè)移動(dòng)一個(gè)微小的距離，物體的重心提高了，即重力勢(shì)能增加了，則物體將在重力的作用下回復(fù)到平衡位置，為穩(wěn)定平衡，若重力勢(shì)能減小則不是穩(wěn)定平衡。以此為以下計(jì)算的依據(jù)可得：

設(shè)長(zhǎng)方形物體稍微離開(kāi)平衡位置，如圖1（b），當(dāng)θ很小，重心位置（離地面）R+，

y=（R+）cosθ+Rθsinθ≈（R+）（1-）+Rθ2=

（R+）-（R+）+Rθ2=（R+）+（R-），穩(wěn)定平衡的條件為y-（R+）>0，即（R-）>0，解得穩(wěn)定平衡條件為R>。

從上邊的解題過(guò)程中，我們可以看出，在做小角度近似時(shí)，將cosθ≈1-，sinθ≈θ，題目中給出了這個(gè)條件，但是為什么cosθ中含有小角度的二階項(xiàng)，而sinθ中僅有小角度的一階項(xiàng)呢？

我們先用Maclaurin公式對(duì)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)展開(kāi)，若用能量觀點(diǎn)去解決穩(wěn)定平衡問(wèn)題，重力勢(shì)能必須表達(dá)成關(guān)于θ2的函數(shù)，這是為什么呢？我們先來(lái)看下，在此情境中，重力勢(shì)能和回復(fù)力之間的關(guān)系。因?yàn)棣P=-FΔx，則F=-，即回復(fù)力應(yīng)當(dāng)是勢(shì)能相對(duì)于其自變量的梯度。我們知道，物體若為穩(wěn)定平衡，則必定受到一個(gè)回復(fù)力，即勢(shì)能的表達(dá)式對(duì)自變量的梯度，必須正比于自變量。在此題中，重心的縱坐標(biāo)正比于ΔEP，而當(dāng)θ很小的時(shí)候，ΔEP的自變量就是θ。根據(jù)以上分析可得，∝θ才能滿足回復(fù)力的關(guān)系。觀察表達(dá)式y(tǒng)=（R+）cosθ+Rθsinθ，只有對(duì)cosθ展開(kāi)時(shí)保留二階項(xiàng)，對(duì)sinθ展開(kāi)時(shí)保留一階項(xiàng)（sinθ前方有θ一階存在），才能保證∝θ，這樣能量的表達(dá)式才能滿足其對(duì)自變量的梯度為正比于力這樣的物理意義，形成穩(wěn)定平衡的體系。本題也可以通過(guò)力矩的觀點(diǎn)來(lái)研究，此時(shí)利用Maclaurin公式展開(kāi)，需要利用sinθ≈θ，cosθ=1的近似，這里不再贅述，請(qǐng)參閱參考文獻(xiàn)。

4 結(jié) 語(yǔ)

本文通過(guò)兩個(gè)例子，淺談了利用Maclaurin公式進(jìn)行數(shù)值近似時(shí)，要根據(jù)題目中特定的物理情景，考慮到實(shí)際的物理意義，恰當(dāng)?shù)剡x擇一階或者二階近似。我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中應(yīng)當(dāng)廣泛關(guān)注數(shù)學(xué)與物理結(jié)合的問(wèn)題，這樣才能幫助學(xué)生們?cè)谠缙陴B(yǎng)成良好的數(shù)理素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程·力學(xué)篇[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2012.

（欄目編輯 李富強(qiáng)）