微通道內(nèi)交變電場電滲流有限元分析*

張 磊

(青海大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，青海西寧 810016)

0 引言

隨著微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)的迅速發(fā)展，諸如微通道散熱器、微混合器、微生物芯片等微流體器件應(yīng)用越來越廣［1］。與宏觀系統(tǒng)不同，微通道特征尺度小，流體比表面積增加，流動雷諾數(shù)低，并且流體流動的伯克利數(shù)較大，這些特點(diǎn)都使得微流體的驅(qū)動和控制較為困難［2］。深入研究微流體流動特性，對微流體器件的設(shè)計具有重要意義。電滲驅(qū)動微流體具有結(jié)構(gòu)簡單、控制方便等優(yōu)點(diǎn)，是微流體器件中廣泛應(yīng)用的一種驅(qū)動控制方式。國內(nèi)外學(xué)者對穩(wěn)定電場作用下的電滲流進(jìn)行了大量研究，取得了眾多成果。而交變電場由于隨時間周期性變化，使得其電滲流也隨之周期性變化而不穩(wěn)定，正是這種不穩(wěn)定流動成為了提高流體輸運(yùn)速度和混合效率的有效方法［3］，近年來也受到了眾多學(xué)者的關(guān)注。

1998 年，Ramos等［4－5］首次運(yùn)用交變電場驅(qū)動微通道中的流體，并且通過計算和實(shí)驗(yàn)研究了對交變電場電滲流動產(chǎn)生影響的各種作用力，建立了一種描述交變電場電滲流的頻率相關(guān)性模型。Luo［6］等通過比較研究矩形彎道中交變與穩(wěn)定兩種電場瞬時電滲流，闡述了外加電場與橫向流場變化關(guān)系。Yang等［7］和 Marcos等［8］通過研究兩種不同矩形微通道中交變電場電滲流，發(fā)現(xiàn)主流區(qū)內(nèi)流體流速在外加電場的頻率足夠大時變化緩慢。Oddy［9］等人的研究則證明了利用交變電場驅(qū)動電滲流造成流動混亂，可以有效地提高流體的混合效率。Sasaki［10］等人針對某種特定交流電滲微混合器，進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究，經(jīng)過對比兩者結(jié)果，分析了流體混合與電場頻率、電壓以及電解液粘度的關(guān)系。

筆者在之前已深入研究了電場頻率對交變電場電滲流的影響［11］，研究發(fā)現(xiàn)，交變電場電滲流瞬態(tài)速度呈“波浪狀”分布，微通道主流區(qū)域流體速度落后于雙電層流體速度，流體越靠近通道中心，流速的滯后量越大;隨著電場頻率的增大雙電層滑移速度減小。筆者在之前研究基礎(chǔ)上，基于有限元法，數(shù)值模擬二維微通道內(nèi)交變電場電滲流，進(jìn)一步研究溶液濃度、電場強(qiáng)度和微通道高度等對交變電場電滲流的影響，為精確控制交變電場電滲流提供更多理論依據(jù)。

1 交變電場電滲流模型

1．1 物理模型

采用2D平行板微通道，其高度為2 H，長度為L，如圖1所示。

圖1 2D平行板微通道示意圖

1．2 數(shù)學(xué)模型

1．2．1 雙電層場

由靜電學(xué)理論可知，單位體積內(nèi)凈電荷密度ρe與雙電層電勢ψ之間關(guān)系可由Poisson方程得:

式中:ε0為真空介電常數(shù);εr為電解質(zhì)溶液相對介電常數(shù)。

假設(shè)電解質(zhì)溶液中單位體積內(nèi)離子濃度服從Boltzmann分布為:

式中:n0為電解質(zhì)溶液的離子濃度;e為電子所帶電荷量;zi為第i種離子的離子價;T為電解質(zhì)溶液熱力學(xué)溫度;kb為波爾茲曼常數(shù);ni為單位體積內(nèi)正、負(fù)離子濃度。

單位體積內(nèi)凈電荷密度ρe為:

對于包含兩種化學(xué)價相等、極性相反離子的電解質(zhì)溶液，式(3)可變?yōu)?

將式(4)與式(1)合并，可得Poisson－Boltzmann方程為:

由于雙電層厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于微通道高度，因此可視為微通道壁面處的雙電層電位ψ等于zeta電勢，由此，邊界條件為:

1．2．2 電滲流場

假設(shè)微通道中電解質(zhì)溶液為粘性、不可壓縮牛頓流體，考慮雙電層場和外加切向電場共同作用下引起的電場力，微通道內(nèi)流場的描述方程N(yùn)avier－Stokes方程可修正為:

式中:ρ為微通道中電解質(zhì)溶液密度;u為流體速度矢量;P為微通道外部壓力;μ為電解質(zhì)溶液的動力粘度系數(shù);FE為外加切向電場作用于雙電層所產(chǎn)生的體積力。

式中:ρe為單位體積內(nèi)凈電荷密度，可由式(4)確定;E為外加切向電場的電場強(qiáng)度，文中E為正弦交變電場。

式中:E0為正弦電場的電場強(qiáng)度振幅，ω為角頻率。

式中:f為正弦電場頻率。

根據(jù)微通道壁面處無滑移條件和通道中心對稱性要求，邊界條件為:

2 數(shù)值模擬與分析

對上述2D平行微通道交變電場電滲流數(shù)值模擬中，微通道高度為2 H=10～50μm，長度為L=100 μm，微通道兩端外加正弦電場 E(t)=E0sin(ωt)，E0=100～500 V/cm，微通道內(nèi)電解質(zhì)溶液NaCl的濃度n=10－6～10－2mol/L。其它參數(shù)為電子所帶電荷量為溶液相對介電常數(shù)為εr=80，真空介電常數(shù)為ε0=8．854×10－12C2/J·m，e=1．6×10－19C，溶液密度為 ρ=1．0×103kg/m3，溶液動力粘度為 μ=0．9×10－3N·s/m2，波爾茲曼常數(shù)為kb=1．38×10－23J/K，熱力學(xué)溫度為T=298 K。

2．1 電場強(qiáng)度的影響

當(dāng)溶液濃度為10－6mol/L，對應(yīng)壁面zeta電勢為－200 mV，f=10 000 Hz，2H=10 μm，時，電場強(qiáng)度振幅值 E0分別取 100、200、300、400 和 500 V/cm，研究交變電場電滲流與電場強(qiáng)度之間的關(guān)系。圖2所示為交變電場電滲流在不同電場強(qiáng)度時的瞬態(tài)速度分布，圖3為雙電層滑移速度與電場強(qiáng)度的關(guān)系圖。

圖2中顯示，交變電場電滲流的“波浪狀”速度流型隨電場強(qiáng)度增大波浪的起伏更為顯著，同時電滲流速度也隨之增大。速度最大值出現(xiàn)在微通道中雙電層與主流區(qū)域交界處，被定義為雙電層滑移速度［12］。圖3說明電場頻率與雙電層滑移速度成正比關(guān)系。

圖2 不同電場強(qiáng)度微通道內(nèi)電滲流速度分布(ωt=π/2)

圖3 雙電層滑移速度與電場強(qiáng)度的關(guān)系

2．2 溶液濃度的影響

由Poisson－Boltzmann方程和修正后的 Navier－Stokes方程可知，zeta電勢和溶液濃度等電滲流有著重要的影響。Li等［13］實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)了zeta電勢與溶液濃度之間的一一對應(yīng)關(guān)系。即:當(dāng)溶液濃度分別為10－6、10－5、10－4、10－3和 10－2mol/L 時，對應(yīng)微通道壁面 zeta 電勢為－0．2、－0．15、－0．1、－0．08 和－0．06 V，研究 E0=100 V/cm，f=10 000 Hz，2H=10 μm 時，交變電場電滲流和溶液濃度的關(guān)系。

微通道內(nèi)雙電層電勢分布與溶液濃度的關(guān)系，如圖4所示，隨著溶液的濃度增大，雙電層電勢分布由“塞形”逐漸趨向于“矩形”。這是由于雙電層厚度受溶液濃度的影響，溶液濃度越大則雙電層越薄，因此當(dāng)溶液濃度增大時雙電層電勢的變化就會集中在很薄的雙電層內(nèi)部，導(dǎo)致“矩形”電勢分布，并且使得電場力作用區(qū)域減小。

圖5所示為交變電場電滲流在不同溶液濃度時瞬態(tài)速度分布。由于電滲流速度受zeta電勢的影響，而zeta電勢與溶液濃度之間一一對應(yīng)，且為非線性的對應(yīng)關(guān)系，因此電滲流速度大小受溶液濃度的影響，交變電場電滲流雙電層滑移速度隨著溶液的增大呈現(xiàn)出非線性下降的趨勢，如圖6所示。并且，正如前文所述，雙電層由于溶液的濃度增大而變薄，所以受到外加交變電場作用的雙電層區(qū)域減小，使得交變電場電滲流瞬時速度流型具有更為尖銳的波峰。

圖4 不同溶液濃度微通道內(nèi)雙電層電勢分布

圖5 不同溶液濃度微通道內(nèi)電滲流速度分布(ωt=π/2)

2．3 微通道高度的影響

當(dāng) E0=100 V/cm，f=10 000 Hz，溶液濃度為10－6mol/L，對應(yīng)壁面zeta電勢為－200 mV時，取微通道高度2 H分別為10、20、30、40和50μm時，研究交變電場電滲流與微通道高度的關(guān)系。從圖7中容易發(fā)現(xiàn)，微通道高度增大時，雖然電解質(zhì)溶液的濃度不發(fā)生改變，雙電層的厚度就不會發(fā)生變化，但是雙電層相對厚度(雙電層厚度與微通道高度比值)卻在減小，因此，與溶液濃度對雙電層電勢分布的影響相似，雙電層電勢分布同樣會隨著微通道高度的增加逐漸由“塞形”向“矩形”過渡。

圖6 雙電層滑移速度和溶液濃度的關(guān)系

圖7 不同微通道高度微通道內(nèi)雙電層電勢分布

交變電場電滲流在不同微通道高度時的瞬態(tài)速度分布如圖8所示，由于微通道高度的不斷增加，造成微通道中心距離壁面或雙電層區(qū)域越來越遠(yuǎn)，中心區(qū)流體速度落后于壁面的現(xiàn)象更為嚴(yán)重，甚至出現(xiàn)微通道中心區(qū)域部分流體仍然保持靜止的情況。這主要是因?yàn)?，微通道中受切向電場作用而產(chǎn)生運(yùn)動的流體集中在雙電層內(nèi)部(壁面附近)，這部分流體運(yùn)動后通過流體間粘性力的作用“拖動”中心區(qū)域的流體產(chǎn)生運(yùn)動。而當(dāng)微通道高度增大后，這種運(yùn)動的傳遞需要更多的時間才能夠到達(dá)通道中心區(qū)域，因此，對于高度較大的微通道，只有通過減小交變電場頻率或增大交變電場強(qiáng)度的方法，才能夠完全驅(qū)動微通道內(nèi)所有區(qū)域的流體產(chǎn)生運(yùn)動。

圖8 不同微通道高度微通道內(nèi)電滲流速度分布(ωt=π/2)

3 結(jié)論

基于有限元法，應(yīng)用COMSOL Multiphysics軟件對交變電場驅(qū)動微通道內(nèi)電滲流進(jìn)行了數(shù)值模擬，研究了溶液濃度、電場強(qiáng)度和微通道高度等對交變電場電滲流的影響，得出如下結(jié)論:

(1)微通道內(nèi)交變電場電滲流速度隨著電場強(qiáng)度的增大而增大，并且電場強(qiáng)度與雙電層滑移速度成正比。

(2)微通道內(nèi)電滲流速度和雙電層滑移速度均隨溶液濃度的增大而非線性減小，并且雙電層相對厚度會隨著溶液濃度和微通道高度增大而減小，使得交變電場電滲流瞬態(tài)速度流型中的波峰更加尖銳。

結(jié)論表明，準(zhǔn)確把握以上因素可實(shí)現(xiàn)對交變電場電滲流的精確控制，并為微流控技術(shù)提供理論參考。

［1］ 譚德坤．微流道內(nèi)表面效應(yīng)對流體流動及傳熱特性的影響［D］．南昌:南昌大學(xué)，2014．

［2］ 李宇杰，霍 曜，李 迪，等．微流控技術(shù)及其應(yīng)用與發(fā)展［J］．河北科技大學(xué)學(xué)報，2014，35(1):11－19．

［3］ 張 凱．微器件中流體的流動與混合研究［D］．杭州:浙江大學(xué)，2007．

［4］ Ramos A，Morgan H，Green NG，etal．ACElectrokinetics:a Review of Forces in Microelectrode Structures［J］．Journal of Physics D，1998，31(18):2338－2353．

［5］ Ramos A，Morgan H，Green N G，et al．AC Electric－Field－Induced Fluid Flow in Microelectrodes［J］．Journal of Colloid and Interface Science，1999，217(2):420－422．

［6］ WinJet Luo，YuJen Pan，RueyJen Yang．Transient Analysis of E-lectro－osmotic Secondary Flow Induced by Electric Field in a curved rectangularmicrochannel［J］．J．Micromech．Microeng，2005，15(3):463－473．

［7］ Yang J，Bhattacharyya A ，Masliyah JH，etal．Oscillating laminar electrokinetic flow in infinitely extended rectangular microchannels［J］．Journal of Colloid and Interface Science，2003，261(1):21－31．

［8］ Marcos，Yang C，Ooi T K，et al．Frequency－dependent laminar Electroosmotic Flow in a Closed－end RectangularMicrochannel［J］．Journal of Colloid and Interface Science，2004，275(2):679－698．

［9］ Oddy M H，Santiago JG，Mikkelsen JC．Electrokinetic instability micromixing［J］．Analytical Chemistry，2001，73(24):5822 －5832．

［10］ Sasaki N，Kitamori T，Kim HB．Experimental and Theoretical Characterization ofan ACElectroosmotic Micromixer［J］．Analytical Sicences，2010，26(7):815－819．

［11］ 張 磊，劉 瑩．微通道內(nèi)電場頻率對電滲流影響的數(shù)值模擬［J］．機(jī)械設(shè)計與研究，2011，27(3):35－38．

［12］ 吳健康，王賢明．生物芯片微通道周期性電滲流特性［J］．力學(xué)學(xué)報，2006，38(3):309－315．

［13］ Arulanandam S，Li D．Liquid transport in Rectangular Microchannels by Electroosmotic Pumping［J］．Colloids and Surfaces A:Physicochemical and Engineering Aspects，2000，161(1):89－102．