半線性映射的性質(zhì)

梁美花 王鳳娟 吳開迅 盧家寬

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

半線性映射的性質(zhì)

梁美花 王鳳娟 吳開迅 盧家寬

（廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004）

文章給出半線性映射的一些基本性質(zhì)，研究半線性變換與線性變換之間的聯(lián)系，特別地給出了它們等價(jià)的一個(gè)充分必要條件。

線性空間；半線性映射；線性映射

高等代數(shù)是高等院校里數(shù)學(xué)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，也是目前大多數(shù)高校數(shù)學(xué)專業(yè)考研的必考科目之一。線性空間與線性變換是高等代數(shù)的重要研究對(duì)象，事實(shí)上，關(guān)于線性空間和線性變換的理論已經(jīng)很成熟，內(nèi)容也很豐富，可參考文獻(xiàn)[1]。因此，研究與線性空間與線性變換相關(guān)的課題顯得很重要，也具有理論基礎(chǔ)。例如，文獻(xiàn)[2]研究了p-半線性映射的若干性質(zhì)。

文獻(xiàn)[1]第301頁第36道練習(xí)題中提到線性變換的如下推廣：

定義1 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上線性空間，f是V到W的映射，稱f是V到W的半線性映射，如果對(duì)任意的α,,有

V到W的所有半線性映射的集合記為QF(V,W).

特別地，V到自身的半線性映射稱為V的半線性變換.這時(shí)，QF(V,V)簡記為QK(V) .

從上面的例子已經(jīng)可以看出，半線性映射的概念比線性映射的概念具有更廣泛的普遍性，因而，它的應(yīng)用范圍也更廣。首先，關(guān)于半線性映射有如下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上線性空間，f是V到W的半線性映射，則有

（1）(0)0f=.

證明

類似線性映射的加法、乘法, 可以定義半線性映射的加法、乘法。

定義2 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上線性空間， f, g是V到W的半線性映射，k∈F, 對(duì)任意的α∈V, 規(guī)定

分別稱為f與g的和，以及k與f的數(shù)乘。

筆者有如下兩個(gè)命題：

證明 對(duì),Vα β?∈，有

命題2 設(shè)F是一數(shù)域，QF(V,W)是F上線性空間，QF(V,W)關(guān)于上面定義1中的加法、數(shù)乘運(yùn)算成為F上的線性空間。

證明 由于QF(V,W)對(duì)上面定義的加法及數(shù)乘運(yùn)算封閉，要證Q (V,U)是線性空間，還需驗(yàn)證線性空間定義中的8條公理，即：

由例子 1知，在一般情況下，半線性映射不一定是線性映射。但下面的定理給出了半線性映射與線性映射等價(jià)的一個(gè)充分必要條件。

定理1 設(shè)F是一數(shù)域，V,W是F上有限維線性空間，則F=Q當(dāng)且僅當(dāng)

[1] 藍(lán)以中.高等代數(shù)簡明教程(第二版)上冊(cè)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

[2] 王喜林,劉麗紅,王波.p-半線性映射的性質(zhì)[J].東北師大學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2010,42(4):21-25.

The properties of semilinear mappings

In this paper, some elementary properties of semilinear mappings, in particular, a necessary and sufficient condition for a semilinear mapping to be linear mapping are given.

Vector spaces; semilinear mapping; linear mapping

O151.2

A

1008-1151(2015)10-0096-02

2015-09-10

廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目(2014JGA116), 2015年自治區(qū)級(jí)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃立項(xiàng)項(xiàng)目（201510602037）。

梁美花（1985－），女（壯族），廣西師范大學(xué)學(xué)生；盧家寬（1980－），男（壯族），廣西貴港人，廣西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，研究方向?yàn)槿杭捌浔硎尽?/p>