借助幾何圖形解代數(shù)型問題舉例

覃禮權(quán)

（貴州省沿河縣客田中學(xué) 貴州沿河 565300）

借助幾何圖形解代數(shù)型問題舉例

覃禮權(quán)

（貴州省沿河縣客田中學(xué) 貴州沿河 565300）

數(shù)與形有著緊密的聯(lián)系，在一定條件下它們可以相互轉(zhuǎn)化，因此面對特殊的代數(shù)問題，可以將已知條件與幾何圖形建立聯(lián)系，把條件中的數(shù)量關(guān)系寓于特定的幾何圖形之中，就能迅速、準(zhǔn)確地找到解題途徑。

幾何圖形 代數(shù) 數(shù)形結(jié)合 舉例

有些特殊的代數(shù)問題，已知條件中的數(shù)量關(guān)系蘊(yùn)含著一定的幾何背景，具有明顯的幾何意義。如果我們將已知條件與幾何圖形建立聯(lián)系，把條件中的數(shù)量關(guān)系寓于特定的幾何圖形之中，常常能迅速、準(zhǔn)確地找到解題途徑。下面舉例說明。［1］

例1、若正實數(shù)x、y、z、r滿足條件

求證：xy=zr。

分析：如圖1，由條件⑴式可以構(gòu)造直角三角形ABC，使AC=y，BC=x，AB=z，由條件⑵式聯(lián)想，作斜邊上的高CD，則CD=r，借助三角形面積并可以證明。

證明：在Rt△ABC中

（圖1）

分析：構(gòu)造如圖2所示的幾何圖形，其中AC⊥CD，BD⊥CD，AC=4， BD=3，PC=x，PD=y，則即a=AP+BP。作點B關(guān)于直線CD的對稱點F，連結(jié)AF，a的最小值為線段AF的長，作矩形CDFE，并可以求解。

在Rt△AEF中，AE=7，EF=6，由勾股定理得［2］

（圖2）

分析：如果用我們生活中的一些基本常識來解本題，是顯而易見的。例如，b克糖水中，內(nèi)含a克糖，糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為若再往糖水中加入m克糖，糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)就變?yōu)榱颂撬乳_始也更甜一些。這表明

實際上，這個問題的結(jié)論我們還可以借助幾何圖形得出。

解：如圖3所示，由于0＜a＜b，所以S+S1＞S+S2

即ab+bm＞ab+am

不等式兩邊同時除以正數(shù)b（b+m），得

（圖3）

例4、試比較x2與 x|的大小。

分析：直接比較x2與 x|的大小不方便。如圖5，如果我們分別作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y= x|的圖象，借助二圖像，很容易求解。［3］

解：如圖4所示，分別作出函數(shù)y=x2與函數(shù)y= x|的圖象。求出二圖象交點的橫坐標(biāo)xA=-1，xB=1，xo=0

由圖象可知，

當(dāng)x＜-1或x＞1時，

當(dāng)-1＜x＜0時，

當(dāng)x=±1或x=0時，

（圖4）

我們看到，以上例子都是利用了“數(shù)形結(jié)合”的思想。實際上，形與數(shù)是數(shù)學(xué)的兩大支柱數(shù)。數(shù)借形有直觀作用，而形借助于數(shù)可以找到內(nèi)在規(guī)律。它們之間是沒有鴻溝的，也不是相割裂的，而是相輔相成、互相轉(zhuǎn)化的。學(xué)會用“數(shù)形結(jié)合”的思想分析和解決問題，就是要實現(xiàn)由數(shù)思形，以形助數(shù)，適時轉(zhuǎn)化、相互為用。

［1］李明，張銳.構(gòu)造幾何圖形解決代數(shù)問題［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2012，31（2）：67-67.

［2］董彪.淺議利用幾何圖形解決代數(shù)問題［J］.阿壩師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2003，（1）：101-104.

［3］韋國友.巧構(gòu)幾何圖形妙解代數(shù)問題 ［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2013，（20）：17-17.