N-控制策略且溫儲(chǔ)備失效M/G/1可修排隊(duì)

唐應(yīng)輝，劉金銀，余玅妙

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

2.四川師范大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

3.四川理工學(xué)院理學(xué)院，四川自貢 643000）

N-控制策略且溫儲(chǔ)備失效M/G/1可修排隊(duì)

唐應(yīng)輝1,2，劉金銀1，余玅妙3

（1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

2.四川師范大學(xué)基礎(chǔ)教學(xué)學(xué)院，四川成都 610066；

3.四川理工學(xué)院理學(xué)院，四川自貢 643000）

把“N-門(mén)限值進(jìn)入控制策略”引入到具有溫儲(chǔ)備失效和延遲修理的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)，其中在系統(tǒng)處于溫儲(chǔ)備失效的狀態(tài)下最多容許N（≥1）個(gè)顧客進(jìn)入系統(tǒng).利用全概率分解技術(shù)和Laplace變換工具，討論了系統(tǒng)在任意時(shí)刻t隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)分布，得到了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布的遞推表達(dá)式.同時(shí)分別討論了當(dāng)N=1與N→∞時(shí)的特殊情況.最后，建立了系統(tǒng)單位時(shí)間總成本費(fèi)用函數(shù)，通過(guò)數(shù)值計(jì)算例子討論了最優(yōu)門(mén)限值N?.

可修排隊(duì)系統(tǒng)；溫儲(chǔ)備失效；N-門(mén)限值進(jìn)入控制策略；隊(duì)長(zhǎng)分布；全概率分解

1 引言

在過(guò)去的幾十年里，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)可修排隊(duì)系統(tǒng)和休假排隊(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了廣泛深刻的研究，得到了許多有價(jià)值的成果［1-5］.隨著實(shí)際應(yīng)用的需要，各種各樣的休假機(jī)制和控制策略被引入到排隊(duì)系統(tǒng)里面［6-15］.但是，在可修排隊(duì)系統(tǒng)的研究文獻(xiàn)中，多數(shù)都是假定服務(wù)臺(tái)在系統(tǒng)閑期內(nèi)不發(fā)生故障（即服務(wù)臺(tái)處于冷儲(chǔ)備關(guān)閉狀態(tài)），而實(shí)際情況并非如此.事實(shí)上，很多系統(tǒng)在空閑時(shí)系統(tǒng)不會(huì)被完全關(guān)閉，相關(guān)設(shè)備仍然處于較低負(fù)荷的運(yùn)行狀態(tài).例如：在雷達(dá)系統(tǒng)中，雷達(dá)發(fā)射機(jī)會(huì)不停的發(fā)射電磁能量經(jīng)過(guò)收發(fā)轉(zhuǎn)換開(kāi)關(guān)傳送給天線，產(chǎn)生電磁波，利用電磁波的二次輻射、轉(zhuǎn)發(fā)或輻射的固有性質(zhì)來(lái)探測(cè)目標(biāo)，獲取目標(biāo)空間坐標(biāo)、速度、特征等信息，整個(gè)系統(tǒng)在沒(méi)有目標(biāo)信息反射時(shí)仍然處于運(yùn)轉(zhuǎn)狀態(tài).文獻(xiàn)［16］首次提出并研究了服務(wù)臺(tái)在閑期和忙期中均可能發(fā)生失效的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)，而且服務(wù)臺(tái)在閑期和忙期中具有不同的故障率.對(duì)于這類(lèi)可修排隊(duì)系統(tǒng)，從排隊(duì)模型方面講，不同于文獻(xiàn)［1］研究的可修排隊(duì)系統(tǒng)，從可靠性模型方面講，又不同于相應(yīng)經(jīng)典的可靠性系統(tǒng)模型［17］.文獻(xiàn)［18］把文獻(xiàn)［16］研究的系統(tǒng)模型推廣到成批到達(dá)的Mx/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)，最近，文獻(xiàn)［19，20］考慮了在溫儲(chǔ)備故障狀態(tài)下到達(dá)的顧客以概率p進(jìn)入的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)，并討論了該系統(tǒng)的排隊(duì)指標(biāo)和可靠性指標(biāo).但是，文獻(xiàn)［16，18，19，20］都假設(shè)服務(wù)臺(tái)在溫儲(chǔ)備期間發(fā)生故障能立即得到修理，而在實(shí)際中，由于系統(tǒng)在溫儲(chǔ)備期間工作人員可能不在崗（因?yàn)橄到y(tǒng)處于空閑期間），因此系統(tǒng)在溫儲(chǔ)備期間發(fā)生故障時(shí)不會(huì)立即被發(fā)現(xiàn)，從而發(fā)生溫儲(chǔ)備故障的系統(tǒng)就得不到立即修理.因此，考慮服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)閑期發(fā)生溫儲(chǔ)備故障而不能立即得到修理是有實(shí)際背景的.為了預(yù)防在溫儲(chǔ)備故障期間過(guò)多的顧客進(jìn)入造成系統(tǒng)擁擠和顧客等待時(shí)間的延長(zhǎng)，減少整個(gè)系統(tǒng)的成本，在溫儲(chǔ)備故障期間對(duì)進(jìn)入系統(tǒng)的顧客數(shù)進(jìn)行限制是非常必要的.因此，本文首次將“N-門(mén)限值進(jìn)入控制策略”引入到具有溫儲(chǔ)備故障且不能立即得到修理的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)，考慮在溫儲(chǔ)備故障的狀態(tài)下最多容許N（≥1）個(gè)到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng)的情況，使用全概率分解方法和Laplace變換（簡(jiǎn)稱(chēng)L變換）工具，借用更新過(guò)程理論，分別討論了系統(tǒng)的瞬態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布和穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)分布，并分析了當(dāng)N=1和N→∞的特殊情況.最后，結(jié)合更新報(bào)酬理論建立了系統(tǒng)單位時(shí)間的費(fèi)用結(jié)構(gòu)目標(biāo)函數(shù)，用數(shù)值實(shí)例討論了系統(tǒng)的最優(yōu)控制閾值N?.

2 模型描述

系統(tǒng)的模型描述如下：

1）服務(wù)臺(tái)有兩類(lèi)故障（兩類(lèi)故障修復(fù)后完全恢復(fù)相應(yīng)功能）：服務(wù)臺(tái)在服務(wù)員的“廣義忙期”中發(fā)生的故障，稱(chēng)為服務(wù)臺(tái)的“第一類(lèi)故障”，其壽命X服從負(fù)指數(shù)分布X（t）=1-e-αt，0≤α＜∞.服務(wù)臺(tái)發(fā)生“第一類(lèi)故障”可得到立即修理，其修理時(shí)間Z的分布函數(shù)是任意分布Z（t）=Pr｛Z≤t｝，t≥0，且設(shè)平均修理時(shí)間為β1（0≤β1＜∞）.服務(wù)臺(tái)在系統(tǒng)閑期中發(fā)生溫儲(chǔ)備故障，稱(chēng)為“第二類(lèi)故障”，其溫儲(chǔ)備壽命為一般分布Y（t）=Pr｛Y≤t｝，t≥0，服務(wù)臺(tái)發(fā)生溫儲(chǔ)備故障時(shí)得不到立即修理，只有在有顧客到達(dá)系統(tǒng)需要服務(wù)時(shí)才發(fā)現(xiàn)服務(wù)臺(tái)是否正常.如果服務(wù)臺(tái)沒(méi)有發(fā)生溫儲(chǔ)備故障，到達(dá)的顧客立即接受服務(wù)，系統(tǒng)轉(zhuǎn)入服務(wù)員的“廣義忙期”狀態(tài)，若服務(wù)臺(tái)已經(jīng)發(fā)生了溫儲(chǔ)備故障，此時(shí)開(kāi)始修理已溫儲(chǔ)備的服務(wù)臺(tái)，到達(dá)的顧客只有等服務(wù)臺(tái)修好后再接受服務(wù).服務(wù)臺(tái)溫儲(chǔ)備故障的修理時(shí)間V有任意分布V（t）=Pr｛V≤t｝，t≥0，且設(shè)平均修理時(shí)間為β2（0≤β2＜∞）.

2）系統(tǒng)在服務(wù)臺(tái)處于溫儲(chǔ)備故障的修理期間內(nèi)采取“N-門(mén)限值進(jìn)入控制策略”：在溫儲(chǔ)備故障的修理期間內(nèi)最多允許N-1個(gè)到達(dá)顧客進(jìn)入，即如果在此時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)大于N-1，則系統(tǒng)就從第N-1個(gè)到達(dá)的顧客進(jìn)入系統(tǒng)時(shí)刻起，禁止后面到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng)，等溫儲(chǔ)備失效的系統(tǒng)修復(fù)完后，重新允許到達(dá)顧客進(jìn)入系統(tǒng).而在服務(wù)員的“廣義忙期”中到達(dá)的顧客仍然可以完全進(jìn)入系統(tǒng).

3）到達(dá)時(shí)間的間隔｛τn,n≥1｝獨(dú)立同負(fù)指數(shù)分布F（t）=1-e-λt，t≥0.顧客實(shí)際所需的服務(wù)時(shí)間｛χn,n≥1｝獨(dú)立同一般分布G（t）=Pr｛χn≤t｝，t≥0，且平均服務(wù)時(shí)間設(shè)為μ-1（0＜μ＜∞）.

4）服務(wù)臺(tái)在服務(wù)員的“廣義忙期”中發(fā)生“第一類(lèi)故障”時(shí)，正在接受服務(wù)的顧客需要等待其修復(fù)，再繼續(xù)接受服務(wù)，已服務(wù)過(guò)的時(shí)間仍然有效，且假定隨機(jī)變量τ,χ,X,Z,Y,,V是彼此獨(dú)立的.

3 系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)概率分布和穩(wěn)態(tài)概率分布

將式（2）代入式（1）可得

由于

由式（5）和式（6）整理化簡(jiǎn)即可.證畢.

定理2對(duì)Re｛s｝＞0，有

1）當(dāng)j=1,2,...,N-1時(shí)，

2）當(dāng)j=N時(shí)，

3）當(dāng)j=N+1,N+2,...時(shí)，

證明1）當(dāng)j=1,2,...,N-1時(shí)，時(shí)刻t隊(duì)長(zhǎng)為j，則時(shí)刻t可能落在服務(wù)員的“廣義忙期”也可能落在第二類(lèi)故障的修理期，且滿足隊(duì)長(zhǎng)為j，利用全概率分解技術(shù)，可得

由于

由文獻(xiàn)［5］可得

其中Qj（t）由文獻(xiàn)［5］的4.2節(jié)給出，j≥1.

將式（13）～式（15），取Laplace變換整理可得

將式（17）代入式（16），整理即可得到式（7）.

2）當(dāng)j=N時(shí)，時(shí)刻t可能落在服務(wù)員的“廣義忙期”且隊(duì)長(zhǎng)為N，或時(shí)刻t落在第二類(lèi)故障的修理期內(nèi)且隊(duì)長(zhǎng)為N（此時(shí)在第二類(lèi)故障的修理期內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)大于或者等于N-1），于是，同理可得

將式（19）代入式（18），再取Laplace變換，整理即可得到式（9）.

3）當(dāng)j≥N+1時(shí)，時(shí)刻t隊(duì)長(zhǎng)為j當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)刻t落在服務(wù)員的“廣義忙期”中且隊(duì)長(zhǎng)為j，同理可得

將式（21）代入式（20），作Laplace變換，整理即可得到式（11）.證畢.

當(dāng)j=0時(shí)，由式（5）與式（6），利用羅比達(dá)法則可得

當(dāng)j=1,2,...,N-1時(shí)，由式（7）和羅比達(dá)法則可得

綜上所述，當(dāng)j=1,2,...,N-1時(shí)，pj=0，當(dāng)j=N與j≥N+1時(shí)，同理可得pj=0.當(dāng)＜1時(shí)，由文獻(xiàn)［19］引理2.1，有此時(shí)有

下面證明當(dāng)eρ＜1時(shí)，｛pj,j≥0｝構(gòu)成概率分布.事實(shí)上，

經(jīng)計(jì)算得

至此，新時(shí)代新重慶牢記“四個(gè)扎實(shí)”，立足“兩點(diǎn)”定位，加快“兩地”建設(shè)，以重慶人的“堅(jiān)韌頑強(qiáng)、開(kāi)放包容、豪爽耿直”的精氣神努力實(shí)現(xiàn)“兩高”目標(biāo)。全市上下團(tuán)結(jié)一致、沉心靜氣，全面貫徹新發(fā)展理念，統(tǒng)籌推進(jìn)“五位一體”總體布局，協(xié)調(diào)推進(jìn)“四個(gè)全面”戰(zhàn)略布局，以供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革為主線，扎實(shí)做好穩(wěn)增長(zhǎng)、促改革、調(diào)結(jié)構(gòu)、惠民生、防風(fēng)險(xiǎn)各項(xiàng)工作，堅(jiān)決打好“三大攻堅(jiān)戰(zhàn)”，大力實(shí)施“八項(xiàng)行動(dòng)計(jì)劃”，努力打造“山水之城，美麗之地”，不斷提升人民群眾的獲得感、幸福感、安全感，奮力把黨的十九大精神和習(xí)近平總書(shū)記的殷殷囑托全面落實(shí)在重慶大地上。

將式（28）～式（30）代入式（27），整理即可.證畢.

定理4令P（z）表示穩(wěn)態(tài)分布｛pj,j=0,1,2,...｝的概率母函數(shù)，則當(dāng)＜1時(shí)，有

而且平均隊(duì)長(zhǎng)為

于是整理可得

推論1當(dāng)N=1時(shí)，此時(shí)相當(dāng)于在服務(wù)臺(tái)第二類(lèi)故障的修理期間到達(dá)的顧客禁止進(jìn)入系統(tǒng)，則當(dāng)＜1時(shí)，穩(wěn)態(tài)分布｛pj,j=0,1,2,...｝為

其母函數(shù)為

且平均隊(duì)長(zhǎng)為

推論2當(dāng)N→∞時(shí)，相當(dāng)于服務(wù)臺(tái)在第二類(lèi)故障的修理期內(nèi)到達(dá)的顧客全部進(jìn)入系統(tǒng)，則當(dāng)＜1時(shí)，穩(wěn)態(tài)分布｛pj,j=0,1,2,...｝為

證明當(dāng)N→∞時(shí)，由式（22）與式（23），并注意到此時(shí)有ΔN=λβ2，Δ=1+λy（λ）β2，F(xiàn)（N-1）（t）=0，并且有

然后代入相應(yīng)式子整理即可.證畢.

4 費(fèi)用結(jié)構(gòu)函數(shù)與最優(yōu)N?的討論

假設(shè)系統(tǒng)費(fèi)用結(jié)構(gòu)為：

1）顧客在系統(tǒng)中逗留（包括等待和服務(wù)）單位時(shí)間的成本費(fèi)用為h個(gè)單位；

2）第一類(lèi)故障服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間的維修費(fèi)用為cz個(gè)單位，第二類(lèi)故障服務(wù)臺(tái)單位時(shí)間的維修費(fèi)用為cv個(gè)單位；

3）在一個(gè)周期內(nèi)的固定消耗費(fèi)用為c0個(gè)單位.

記C（N）為系統(tǒng)在該策略下，長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行單位時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的費(fèi)用.由更新報(bào)酬理論［21］知

下面計(jì)算一個(gè)更新周期的期望長(zhǎng)度與一個(gè)更新周期內(nèi)成本期望費(fèi)用.

令A(yù)表示在服務(wù)員的“廣義忙期”開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù)，bj=Pr｛A=j｝，由系統(tǒng)模型假設(shè)可知，1≤j≤N，于是

則在服務(wù)員的“廣義忙期”開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的平均顧客數(shù)為

由顧客到達(dá)過(guò)程是參數(shù)λ的Poisson流，可得系統(tǒng)閑期I的平均長(zhǎng)度為

由模型的描述可知，系統(tǒng)的一個(gè)更新周期是指從一個(gè)服務(wù)員“廣義忙期”結(jié)束時(shí)算起，直到下一個(gè)相鄰的服務(wù)員“廣義忙期”結(jié)束為止的這段時(shí)間.容易知道，若服務(wù)臺(tái)在系統(tǒng)閑期中不發(fā)生溫儲(chǔ)備故障，系統(tǒng)的一個(gè)更新周期是一個(gè)系統(tǒng)閑期長(zhǎng)度I與一個(gè)服務(wù)員“廣義忙期”長(zhǎng)度eBA之和；若服務(wù)臺(tái)在系統(tǒng)閑期中發(fā)生溫儲(chǔ)備故障，系統(tǒng)的一個(gè)更新周期是一個(gè)系統(tǒng)閑期長(zhǎng)度I，一個(gè)第二類(lèi)故障修理時(shí)間長(zhǎng)度V與一個(gè)服務(wù)員“廣義忙期”長(zhǎng)度eBA之和.因此系統(tǒng)的一個(gè)更新周期的期望長(zhǎng)度為

一個(gè)更新周期內(nèi)的期望費(fèi)用由以下幾個(gè)部分組成：

1）單位時(shí)間內(nèi)在系統(tǒng)中逗留顧客的成本期望費(fèi)用為hL，其中L由定理4給出；

2）服務(wù)臺(tái)在一個(gè)更新周期內(nèi)的第一類(lèi)故障修理期望費(fèi)用為E［Z］E［eBA］cz/（E［X］+E［Z］）；

3）服務(wù)臺(tái)在一個(gè)更新周期內(nèi)的第二類(lèi)故障修理的期望費(fèi)用為E［V］y（λ）cv；

4）一個(gè)更新周期內(nèi)的固定消耗費(fèi)用為c0.

于是在一個(gè)更新周期內(nèi)的系統(tǒng)單位時(shí)間成本期望費(fèi)用C（N）為

下面通過(guò)數(shù)值計(jì)算例子來(lái)討論最優(yōu)閾值N?，取G（t）=1-e-μt，0≤μ＜∞，Z（t）=1-e-γt，0≤γ＜∞，Y（t）=1-e-θt，0≤θ＜∞，V（t）=1-e-βt，0≤β＜∞.代入到C（N）的表達(dá)式，經(jīng)化簡(jiǎn)整理得

取參數(shù)λ=1.0，μ=2.0，α=0.6，γ=2.0，θ=0.1，β=0.6，h=20，c0=500，cz=50，cv=20.表1和圖1分別給出了在不同的控制策略閾值N下系統(tǒng)單位時(shí)間的運(yùn)行費(fèi)用（數(shù)值結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后4位）.

表1 不同的控制策略閾值N下系統(tǒng)運(yùn)行的單位時(shí)間平均費(fèi)用Table 1The long-run expected cost per unit time against different threshold value N

圖1 控制策略閾值N對(duì)單位時(shí)間平均費(fèi)用的影響Fig.1The influence of the long-run expected cost per unit time against threshold value N

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將N-門(mén)限值進(jìn)入控制策略首次引入到“具有溫儲(chǔ)備失效的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)”中，使得模型更加符合實(shí)際情況，推廣了具有溫儲(chǔ)備失效可修排隊(duì)系統(tǒng)的研究模型.利用全概率分解技術(shù)和更新過(guò)程理論，討論了系統(tǒng)隊(duì)長(zhǎng)的瞬態(tài)與穩(wěn)態(tài)分布.在此基礎(chǔ)上，結(jié)合更新報(bào)酬理論，建立了在該控制策略下，系統(tǒng)長(zhǎng)期運(yùn)行單位時(shí)間所產(chǎn)生的費(fèi)用目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，并通過(guò)數(shù)值計(jì)算討論了最優(yōu)N?，使得本文的研究有了更好的應(yīng)用價(jià)值.

［1］曹晉華，程侃.服務(wù)臺(tái)可修的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)分析［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1982，5（2）：113-127.

Cao Jinhua，Cheng Kan.Analysis of M/G/1 queueing system with reparable service station［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，1982，5（2）：113-127.（in Chinese）

［2］唐應(yīng)輝，唐小我.推廣的Mx/G（M/G）/1（M/G）可修排隊(duì)系統(tǒng)（I）：一些排隊(duì)指標(biāo)［J］.系統(tǒng)科學(xué)與數(shù)學(xué)，2000，20（4）：385-397.

Tang Yinghui，Tang Xiaowo.The generalized Mx/G（M/G）/1（M/G）repairable queueing system（I）：Some queueing indices［J］.Journal of Systems Science&Mathematical Sciences，2000，20（4）：385-397.（in Chinese）

［3］唐應(yīng)輝，趙瑋.可修排隊(duì)系統(tǒng)可靠性的分解特性［J］.運(yùn)籌學(xué)學(xué)報(bào)，2004，8（4）：73-84.

Tang Yinghui，Zhao Wei.The decomposition properties of reliability indices in repairable queueing systems［J］.Operations Research Transactions，2004，8（4）：73-84.（in Chinese）

［4］田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2001.

Tian Naishuo.Stochastic Service Systems with Vacations［M］.Beijing：Beijing University Press，2001.（in Chinese）

［5］唐應(yīng)輝，唐小我.排隊(duì)論：基礎(chǔ)與分析技術(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，2006.

TangYinghui，TangXiaowo.QueueingTheory：FoundationsandAnalyticTechniques［M］.Beijing：SciencePress，2006.（inChinese）

［6］唐應(yīng)輝，毛勇.服務(wù)員假期中以概率p進(jìn)入的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)分解［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2004，24（16）：683-688.

Tang Yinghui，Mao Yong.The Stochastic decomposition for M/G/1 queue with p-entering discipline during server vacations［J］.Acta Mathematica Scientia，2004，24（16）：683-688.（in Chinese）

［7］駱川義，唐應(yīng)輝.具有可變到達(dá)率的多重休假Geo（λ1,λ2）/G/1排隊(duì)分析［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，53（4）：805-816.

Luo Chuanyi，Tang Yinghui.Analysis of a multi-vacation Geo（λ1,λ2）/G/1 queue with variable arrival rate［J］.Acta Mathematica Sinica，2010，53（4）：805-816.（in Chinese）

［8］劉云頗，唐應(yīng)輝.多重假期中以概率p進(jìn)入的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2011，26（5）：718-724.

Liu Yunpo，Tang Yinghui.M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during server vacations［J］.Journal of Systems Engineering，2011，26（5）：718-724.（in Chinese）

［9］Yu M M，Tang Y H，F(xiàn)u Y H.Steady state analysis and computation of the GI［x］/Mb/1/L queue with multiple working vacations and partial batch rejection［J］.Computers&Industrial Engineering，2009，56（4）：1243-1253.

［10］Yu M M，Tang Y H，F(xiàn)u Y H，et al.GI/Geom/1/MWV queue with changeover time and searching for the optimum service rate in working vacation period［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2011，235（8）：2170-2184.

［11］Luo C Y，Tang Y H.The recursive solution for Geom/G/1（E，SV）queue with feedback and single server vacation［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2011，27（1）：155-166.

［12］余玅妙，唐應(yīng)輝，付永紅.具有中途準(zhǔn)入機(jī)制和多重休假的離散時(shí)間GI/Geom（a,b）/1/N早到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2011，34（5）：853-872.

Yu Miaomiao，Tang Yinghui，F(xiàn)u Yonghong.GI/Geom（a,b）/1/Nearly arrival queueing system with accessible mechanism of ongoing service and multiple vacation［J］.Acta Mathematicae Applicatae Sinica，2011，34（5）：853-872.（in Chinese）

［13］Wei Y Y，Yu M M，Tang Y H，et al.Queue size distribution and capacity optimum design forN-policy Geo（λ1,λ2,λ3）/G/1 queue with setup time and variable input rate［J］.Mathematical and Computer Modelling，2013，57（5/6）：1559-1571.

［14］Yu M M，Tang Y H，Liu L P，et al.A phase-type geometric process repair model with spare device procurement and repairman's multiple vacations［J］.European Journal of Operational Research，2013，225（2）：310-323.

［15］Tang Y H，Yu M M，Yun X，et al.Reliability indices of discrete-time Geox/G/1 queueing system with unreliable service station and multiple adaptive delayed vacations［J］.Journal of Systems Science&Complexity，2012，25（6）：1122-1135.

［16］Tang Y H.A single-server M/G/1 queueing system subject to breakdowns：Some reliability and queueing problems［J］.Microelectronics&Reliability，1997，37（2）：315-321.

［17］曹晉華，程侃.可靠性數(shù)學(xué)引論［M］.北京：高等教育出版社，2006.

Cao Jinhua，Cheng Kan.Introduction to Mathematical Reliability［M］.Beijing：Higher Education Press，2006.（in Chinese）

［18］牟永聰.在閑期內(nèi)可能發(fā)生故障的Mx/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)分析［D］.成都：四川師范大學(xué)，2011.

Mou Yongcong.Analysis of Mx/G/1 Repairable Queueing System in which the Service Station May Fail in the Idle Periods［D］. Chengdu：Sichuan Normal University，2011.（in Chinese）

［19］李才良，唐應(yīng)輝，牟永聰，等.在第二類(lèi)故障期間以概率p進(jìn)入的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)：一些排隊(duì)指標(biāo)［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào)，2012，32（6）：1149-1157.

Li Cailiang，Tang Yinghui，Mu Yongcong，et al.M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during second type failure times：Some queueing indices［J］.Acta Mathematica Scientia，2012，32（6）：1149-1157.（in Chinese）

［20］唐應(yīng)輝，牟永聰，余玅妙.在第二類(lèi)故障期間以概率p進(jìn)入的M/G/1可修排隊(duì)系統(tǒng)：一些可靠性指標(biāo)［J］.系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)，2012，27（4）：559-567.

Tang Yinghui，Mu Yongcong，Yu Miaomiao.Analysis of reliability on M/G/1 repairable queueing system with p-entering discipline during second type failure times：Some reliability indices［J］.Journal of Systems Engineering，2012，27（4）：559-567.（in Chinese）

［21］Ross S M.Stochastic Processes［M］.2nd Edition.New York：Wiley，1996.作者簡(jiǎn)介：

唐應(yīng)輝（1963-），男，四川廣安人，博士，教授，研究方向：系統(tǒng)可靠性，排隊(duì)論和決策理論，Email：tangyh@uestc.edu.cn；

劉金銀（1988-），男，四川自貢人，碩士，研究方向：系統(tǒng)可靠性和排隊(duì)論，Email：liujinyin2006@126.com；

余玅妙（1979-），男，湖北沙市人，博士，副教授，研究方向：排隊(duì)論，可靠性，隨機(jī)庫(kù)存理論等，Email：mmyu75@163.com. **********************************************************************************************

M/G/1 repairable queue with N-control policy and warm standby failure

Tang Yinghui1,2，Liu Jinyin1，Yu Miaomiao3

（1.School of Mathematics and Software Science，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
2.School of Fundamental Education，Sichuan Normal University，Chengdu 610066，China；
3.School of Science，Sichuan University of Science and Engineering，Zigong 643000，China）

This paper considers an M/G/1 repairable queuing system with warm standby and delayed repair，in which the“N-threshold entering-control policy”is introduced.In such a policy，at most N（≥1）customers are allowed to enter into the system during the warm standby failure period.By the total probability decomposition technique and the Laplace transform，this paper discusses the transient queue length distribution and the steady state queue length distribution at any time t，and obtain the recursion expression of the steady state queue length distribution.Moreover，This paper also considers some special cases when N=1 and N→∞.Finally，the total long run expected average cost per unit time for the system is developed，and the optimal threshold N?is determined by numerically examples.

repairable queueing system；warm standby failure；N-threshold entrance control policy；queuelength distribution；total probability decomposition

O213.2；O226

A

1000-5781（2015）06-0852-13

10.13383/j.cnki.jse.2015.06.013

2013-08-26；

2013-11-28.

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（71171138；71571127；71301111）.