基于布爾求差的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確建模

向鐵明，顧立志，李鵬，陳維周

（1.華僑大學(xué) 機(jī)電及自動(dòng)化學(xué)院，福建 廈門361021；2.廈門理工學(xué)院 機(jī)械與汽車工程學(xué)院，福建 廈門361024）

螺旋錐齒輪，又稱為弧齒錐齒輪，弧齒傘齒輪，具有傳動(dòng)平穩(wěn)，噪音低，重合度高的特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空航天、機(jī)床、船舶及汽車工業(yè)［1］.螺旋錐齒輪因齒向線上各點(diǎn)螺旋角不同，造成在制造螺旋錐齒輪時(shí)要調(diào)整包括刀盤和機(jī)床的大量參數(shù)，即使這樣，也不能做到嚙合點(diǎn)螺旋角相等［1］.文獻(xiàn)［1－3］提出的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪，其齒向線是圓錐對(duì)數(shù)螺旋線，從原理上體現(xiàn)出對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的優(yōu)越性，但實(shí)際效果及可行性仍需要在設(shè)計(jì)、CAE分析［4］、加工制造、裝配及使用過(guò)程中對(duì)其進(jìn)行研究和驗(yàn)證.目前，螺旋錐齒輪的建模日趨成熟.常規(guī)螺旋錐齒輪的建模主要有兩類方法［5－6］，一類是齒面方程推導(dǎo)為主的擬合建模［7－13］；另一類是虛擬現(xiàn)實(shí)的仿真加工建模［14－23］.對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的建模及研究較少報(bào)道，本文根據(jù)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的形成原理進(jìn)行精確建模，建模理論誤差為零，但在實(shí)際建模時(shí)，因受計(jì)算機(jī)建模在數(shù)值計(jì)算時(shí)的截?cái)嗾`差和舍入誤差的影響，實(shí)際距離誤差≤0.1μm.

圖1 圓錐對(duì)數(shù)螺旋線Fig.1 Conical logarithmic spiral line

1 圓錐對(duì)數(shù)螺旋線方程的推導(dǎo)

在圓錐面上形成的定傾曲線（曲率與撓率之比為常數(shù)的曲線）稱為圓錐對(duì)數(shù)螺旋線［24－27］，如圖1所示.

設(shè)正圓錐面上有動(dòng)點(diǎn)M，它由M0運(yùn)動(dòng)到M1時(shí)，在錐面上轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)τ角.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)由M1轉(zhuǎn)到M2時(shí)，在錐面上變化一個(gè)dτ角，則M1點(diǎn)到原點(diǎn)（錐頂）的矢徑r也相應(yīng)增大dr，曲線M1，M2在M2的切線與過(guò)M2點(diǎn)的圓錐母線OM2所成角度β，令β為一恒定值，則可推導(dǎo)出圓錐對(duì)數(shù)螺旋線的矢徑方程為

式（1）中：a為圓錐對(duì)數(shù)螺旋線起點(diǎn)距離錐頂?shù)木嚯x；φ為自變量，表示動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的角度在底面的投影；α為圓錐的錐頂半角；β為螺旋角.

把式（1）化成參數(shù)方程形式［1－3］，有

2 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確建模

2.1 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪精確建模思路

面錐體與齒槽體采用布爾求差的方式，對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪進(jìn)行三維建模.

2.2 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的基本參數(shù)

根據(jù)某一微型汽車主減速器的格里森制螺旋錐齒輪參數(shù)，設(shè)計(jì)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪，擬用對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪取代格里森制螺旋錐齒輪，對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的小齒輪主要參數(shù)如下：齒數(shù)為9，大端端面模數(shù)為4.5 mm，大端分度圓直徑為40.5mm，壓力角為20°，螺旋角為35°，齒頂高系數(shù)為0.85，頂隙系數(shù)為0.188.

2.3 齒輪基本曲線的創(chuàng)建

基本曲線包括：齒輪的軸線、面錐母線、節(jié)錐母線、根錐母線、基錐母線、背錐母線和前錐母線.根據(jù)幾何關(guān)系可推導(dǎo)出關(guān)系式，有

式（3）中：d為大端分度圓直徑；da為大端齒頂圓直徑；db為大端基圓直徑；df為大端齒根圓直徑；δ1為小齒輪分錐角；z1為小齒輪齒數(shù)；a＊h為齒頂高系數(shù)；c＊為頂隙系數(shù).

2.4 齒輪大端和小端的當(dāng)量齒輪基本圓的創(chuàng)建

大端當(dāng)量齒輪的基本圓包含大端當(dāng)量齒輪分度圓，大端當(dāng)量齒輪齒頂圓，大端當(dāng)量齒輪基圓和大端當(dāng)量齒輪齒根圓.其數(shù)值計(jì)算為

式（4）中：d2為大端當(dāng)量齒輪分度圓直徑；da2為大端當(dāng)量齒輪齒頂圓直徑；db2為大端當(dāng)量齒輪基圓直徑；df2為大端當(dāng)量齒輪齒根圓直徑.

2.5 布爾求差

設(shè)A，B分別表示兩個(gè)實(shí)體，由計(jì)算幾何學(xué)及計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的知識(shí)［26］可知，實(shí)體A，B進(jìn)行布爾求差運(yùn)算表示為

式（5）中：AoutB表示實(shí)體A表面處于實(shí)體B外的部分；（BinA）－1表示實(shí)體B表面在實(shí)體A內(nèi)的部分的補(bǔ)集.

在式（4）所示表達(dá)式中，d2，da2，db2，df2的一般形式為無(wú)理數(shù)，建模如果采用根錐B與輪齒A進(jìn)行布爾求和，那么計(jì)算機(jī)在處理無(wú)理數(shù)問(wèn)題時(shí)，必須對(duì)其進(jìn)行截?cái)?

因截?cái)嗨a(chǎn)生的誤差，造成兩者無(wú)法相交而運(yùn)算失敗，且誤差直接反應(yīng)在輪齒的工作部分上面，如圖2（a）所示.采用面錐D與齒槽實(shí)體C進(jìn)行布爾求差運(yùn)算方式的建模方法，如圖2（b）所示.不僅可以成功完成運(yùn)算，而且還可以把誤差累計(jì)到齒槽中去，確保了輪齒工作部分的建模精度.

圖2 布爾運(yùn)算Fig.2 Boolean operation

2.6 圓錐對(duì)數(shù)螺旋線創(chuàng)建

根據(jù)UG的表達(dá)式功能，分別選擇t，logx，logy，logz為規(guī)律曲線的內(nèi)部變量、x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)，在分錐上創(chuàng)建圓錐對(duì)數(shù)螺旋線.r0＝1處作為起始點(diǎn)，半錐角α＝δ1，螺旋角β＝35°，φ角為旋轉(zhuǎn)360°的圓錐對(duì)數(shù)螺旋線.分錐上的圓錐對(duì)數(shù)螺旋線即為齒向線，也為精確建模的掃引線.

2.7 大、小端齒輪掃引截面和齒向線的描述與可視化表達(dá)

對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的端面為漸開(kāi)線齒廓，根據(jù)漸開(kāi)線方程

式（6）中：xt，yt，zt為漸開(kāi)線坐標(biāo)；為大端當(dāng)量基圓半徑；θ為漸開(kāi)線展開(kāi)角；t為UG系統(tǒng)內(nèi)部變量，其變化范圍0～1.

采用UG的規(guī)律曲線功能，繪制大端漸開(kāi)線，并把漸開(kāi)線沿著相應(yīng)的對(duì)稱中心進(jìn)行鏡像.其中：漸開(kāi)線與齒根圓通過(guò)r2圓弧進(jìn)行過(guò)渡，圓弧半徑定義為

圖3 大端齒輪當(dāng)量漸開(kāi)線齒槽Fig.3 Equivalent involute space of gear big end

同理，按照小齒輪大端當(dāng)量漸開(kāi)線齒槽的建模過(guò)程，可以建立小齒輪小端當(dāng)量漸開(kāi)線齒槽，如圖3所示.

用節(jié)錐的上、下兩個(gè)底面，去截?cái)喙?jié)2.6所生成的圓錐對(duì)數(shù)螺旋線，得到結(jié)果如圖4中實(shí)線所示，即為對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的掃引線（掃掠路徑）.

利用UG軟件的掃掠功能，選擇圖4中左、右兩端漸開(kāi)線齒槽為掃掠截面，選擇齒向線為掃掠路徑，進(jìn)行掃掠實(shí)體建模，得圖5所示的一個(gè)齒槽實(shí)體模型.

圖4 掃掠截面與路徑 Fig.4 Sweeping section and path

圖5 掃掠得出齒槽實(shí)體Fig.5 Cogging entity obtained by sweeping

2.8 完整齒輪齒面構(gòu)建

根據(jù)對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪面錐的尺寸，建立面錐的實(shí)體模型，并將圖5所示的齒槽實(shí)體，按照軸線中心進(jìn)行z1－1個(gè)數(shù)目的陣列［27］，得到圖6所示的效果圖.

對(duì)圖6所示的模型，進(jìn)行布爾運(yùn)算，求差，目標(biāo)體選擇面錐體，工具體選擇z個(gè)齒槽體，進(jìn)行布爾求差后即得到對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪的小齒輪的三維模型，結(jié)果如圖7所示.

圖6 陣列齒槽 Fig.6 An array of coggings

圖7 對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪模型Fig.7 Model of logarithmic spiral bevel gear

3 實(shí)體樣件加工與測(cè)量

為了驗(yàn)證模型的正確性，采用45號(hào)鋼作為材料，先在普通臥式車床C6140A1上加工出齒坯，再在如圖8所示的德瑪吉DMU 40monoBLOCK五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控銑床上進(jìn)行齒坯的精銑和數(shù)控銑削加工（銑齒），得出零件的實(shí)體樣件，如圖9所示.

圖8 五軸銑床加工 Fig.8 Five axis milling machine

圖9 小齒輪加工樣件Fig.9 Sample of pinion

在CONTURA G3三維坐標(biāo)測(cè)量?jī)x上，通過(guò)測(cè)量大端齒頂圓上的三點(diǎn)，求齒頂圓直徑，計(jì)算大端齒頂圓直徑，測(cè)量的數(shù)值，如表1所示.

表1 CONTURA G3三維坐標(biāo)測(cè)量數(shù)值Tab.1 Three－dimensional coordinate measurement values of CONTURA G3

德瑪吉DMU 40monoBLOCK五軸聯(lián)動(dòng)數(shù)控銑床在某一軸向的線性誤差為0.001mm，蔡司CONTURA G3三維坐標(biāo)測(cè)量?jī)x在某一軸向的線性誤差為0.001 8mm，使用UG軟件建模，進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)的截?cái)嗾`差和舍入誤差為0.1μm＝0.000 1mm.則在某一軸向的累計(jì)線性誤差為0.002 9mm，在空間的線性誤差為

利用蔡司CONTURA G3三維坐標(biāo)測(cè)量，大端齒頂圓直徑測(cè)量的平均值為47.936 3mm，根據(jù)大端齒頂圓的計(jì)算值da＝d＋2×a＊h×cosδ1＝47.933 3mm，測(cè)量值和計(jì)算值之間的誤差為

4 結(jié)論

1）基于布爾求差的建模方法，采用面錐與齒槽進(jìn)行布爾求差的方法建模，成功解決了根錐與輪齒求和的方式建模中存在的根錐與輪齒不相交的問(wèn)題.

2）以齒數(shù)為9，模數(shù)為4.5mm，壓力角為20°，螺旋角為35°的對(duì)數(shù)螺旋錐齒輪小齒輪為例，對(duì)其進(jìn)行了精確建模，建模理論誤差為零，實(shí)際距離誤差≤0.1μm.

3）采用45號(hào)鋼作為材料，在普通臥式車床C6140A1上加工出齒坯，在德瑪吉DMU 40五軸聯(lián)動(dòng)銑床上對(duì)所建模型進(jìn)行了數(shù)控銑齒加工，得實(shí)體樣件.

4）在蔡司CONTURA G3三維坐標(biāo)測(cè)量?jī)x上分三組進(jìn)行，對(duì)大端齒頂圓上最外側(cè)三點(diǎn)進(jìn)行了三坐標(biāo)值的測(cè)量，大端齒頂圓測(cè)量值和計(jì)算值之間的誤差為0.003 0mm.

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