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    建筑結(jié)構(gòu)可靠度分析方法比較

    2015-11-17 03:31:46馮惠苗北京中外建建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司重慶400045
    中國房地產(chǎn)業(yè) 2015年9期
    關(guān)鍵詞:正態(tài)蒙特卡羅二階

    文/馮惠苗 北京中外建建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司 重慶 400045

    呂長浩 廣東省華城建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司 重慶 400045

    建筑結(jié)構(gòu)可靠度分析方法比較

    文/馮惠苗 北京中外建建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司 重慶 400045

    呂長浩 廣東省華城建筑設(shè)計(jì)有限公司重慶分公司 重慶 400045

    詳細(xì)闡述了結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法,對(duì)一次二階矩法中的中心點(diǎn)法、HL法、JC法、幾何法,二次二階矩法,響應(yīng)面法,蒙特卡羅法,基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算方法進(jìn)行了分析;同時(shí)對(duì)四種常用的方法JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法,根據(jù)影響其結(jié)果精度的因素,以直接的蒙特卡羅法的結(jié)果為標(biāo)準(zhǔn)解,對(duì)其結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析。

    結(jié)構(gòu)可靠度;JC法;幾何法;二次二階矩法;基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法;功能函數(shù)

    1 結(jié)構(gòu)可靠度的計(jì)算方法

    1.1 一次二階矩法

    一次二階矩法計(jì)算簡便,其要點(diǎn)是非正態(tài)隨機(jī)變量的正態(tài)變換及非線性功能函數(shù)的線性化。

    1.1.1 中心點(diǎn)法

    設(shè)結(jié)構(gòu)構(gòu)件功能函數(shù)為)

    式中 Xi( i = 1 ,2 ,… ,n ) 為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量。

    將功能函數(shù)在 X i (i = 1 ,2 ,… ,n ) 的均值點(diǎn) μXi( i = 1 ,… ,n ) 展 T a y l o r 級(jí)數(shù),僅保留線性項(xiàng)。有

    Z的均值和方差

    結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)

    該方法對(duì)于非線性功能函數(shù),因略去二階及更高階項(xiàng),誤差將隨著線性化點(diǎn)到失效邊界距離的增大而增大,而均值法中所選用的線性化點(diǎn)(均值點(diǎn))一般在可靠區(qū)而不在失效邊界上,誤差較大[2]。

    1.1.2 改進(jìn)一次二階矩法(HL法)

    針對(duì)均值一次二階矩法的上述問題,人們把線性化點(diǎn)選在失效邊界上,且選在與結(jié)構(gòu)最大可能失效概率對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)上,以克服均值一次二階矩法存在的問題,提出了改進(jìn)的一次二階矩法。該方法無疑優(yōu)于均值一次二階矩法,為工程實(shí)際可靠度計(jì)算中求解 β 的基礎(chǔ)。

    Z的均值和方差

    結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠指標(biāo)可表示為

    設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)坐標(biāo)

    考慮到設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn) p*應(yīng)位于極限狀態(tài)曲面上,故,因此式(11)可寫為

    由于p*未知,不能直接利用上式求β。故β的求取只能采用迭代法。

    但該方法只是在隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)獨(dú)立、正態(tài)分布和線性極限狀態(tài)方程才是精確的,否則只能得到近似的結(jié)果[1]。

    1.1.3 JC法

    針對(duì)工程結(jié)構(gòu)各隨機(jī)變量的非正態(tài)性,拉克維茨提出了JC法。其基本原理是將非正態(tài)的變量當(dāng)量正態(tài)化,替代的正態(tài)分布函數(shù)要求在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)處的累積概率分布函數(shù)(CDF)和概率密度函數(shù)(PDF)值分別和原變量的CDF值、PDF值相等。當(dāng)量正態(tài)化后,采用改進(jìn)一次二階矩法的計(jì)算原理求解結(jié)構(gòu)可靠度指標(biāo)。

    (1)在驗(yàn)算點(diǎn)處,當(dāng)量前后分布函數(shù)值相等;

    (2)當(dāng)量前后概率密度函數(shù)值相等。所以有:

    1.1.4 幾何法

    用以上方法計(jì)算時(shí),迭代次數(shù)多,而且極限狀態(tài)方程為高次非線性時(shí)誤差較大,為此專家們提出幾何法即是優(yōu)化算法。根據(jù)可靠指標(biāo)的幾何意義,可靠指標(biāo)的獲得也就是在功能函數(shù)面上尋找一點(diǎn)y*,使該點(diǎn)與均值點(diǎn)的距離最短,從而使問題成為一個(gè)優(yōu)化問題,即:目標(biāo)函數(shù):β = min (y*T · y*)1/2;約束條件:g(y*) = 0。用幾何法求解可靠指標(biāo)β的思路:先假設(shè)驗(yàn)算點(diǎn)x*,將驗(yàn)算點(diǎn)值代入極限狀態(tài)方程g(x),若g(x*)≠0,則沿著g(x) = g(x*)所表示的空間曲面x*點(diǎn)處的梯度方向前進(jìn)(后退),得到新的驗(yàn)算點(diǎn)x*代入極限狀態(tài)方程,若g (x*) > ε,其中ε為控制精度,繼續(xù)迭代;若g(x*)≤ ε則表示該驗(yàn)算點(diǎn)已在失效邊界上,迭代停止,即可求出β和x*的值。

    設(shè)隨機(jī)變量 X=(x1,x2,…,xn)T為相互獨(dú)立的正態(tài)變量,通過變換得到一組相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Y=(y1,y2,…,yn)T。

    式中[T],{B}分別為

    于是得到如下所示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

    式中mxi為隨機(jī)變量xi的均值,σxi為隨機(jī)變量xi的標(biāo)準(zhǔn)差。

    可用下面的迭代公式求得結(jié)構(gòu)的可靠度指標(biāo)β

    式中{a}和a分別為迭代點(diǎn)的移動(dòng)方向及步長,即

    幾何法與一般的一次二階矩法相比,具有迭代次數(shù)少、收斂快、精度高的優(yōu)點(diǎn),但其結(jié)果亦為近似解。

    1.2 二次二階矩法

    假設(shè)功能函數(shù)Z(X)= g(X)對(duì)于相關(guān)隨機(jī)變量 X = (X1,X2,...,Xn)T的相關(guān)系數(shù)為 ρXi,Xj(i≠j),根據(jù)邊際概率分布函數(shù)相等的原則,可以將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量 Y= (Y1,Y2,...,Yn)T,假設(shè)其相關(guān)系數(shù)矩陣為(25),顯然,當(dāng)X為正態(tài)隨機(jī)變量時(shí),ρYi,Yj= ρXi,Xj(i≠j),當(dāng)X為非正態(tài)隨機(jī)變量時(shí),ρYi,Yj≈ ρXi,Xj(i≠j)。

    從而結(jié)構(gòu)失效概率表達(dá)式為:

    最終可以近似為:

    其中:

    β為一階矩可靠指標(biāo);y*為驗(yàn)算點(diǎn);I 為單位矩陣;H′為正交變換矩陣,用于對(duì)隨機(jī)變量Y′(=AY) 做正交變換:Y′=H′U;A 為相關(guān)系數(shù)矩陣ρY分解得到的下三角矩陣,即有ρY=AAT。

    利用曲率κ (即 (H′TQ′H′)n-1的特征值矩陣),式(27)可以改寫為:

    從公式的表達(dá)上可以看出,二次二階矩法的結(jié)果是在一次二階矩法結(jié)果的基礎(chǔ)上乘一個(gè)考慮功能函數(shù)二次非線性影響的系數(shù),所以可以看作是對(duì)一次二階矩法結(jié)果的修正。需要強(qiáng)調(diào)的是,在廣義隨機(jī)空間中,對(duì)于隨機(jī)變量變換前后相關(guān)系數(shù)的取值依據(jù)的是變換前后的相關(guān)系數(shù)近似相等,這相當(dāng)于一次二階矩法隨機(jī)變量間的一次變換,對(duì)于二次二階矩法是否考慮隨機(jī)變量間的二次變換項(xiàng),以及二次變換項(xiàng)如何考慮是需要進(jìn)一步研究的問題。

    1.3 響應(yīng)面法

    對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言,常難以寫出功能函數(shù)的顯式,而直接的數(shù)值模擬工作量太大,為此一些學(xué)者提出用響應(yīng)面法確定結(jié)構(gòu)功能函數(shù)。該方法的基本思想是采用有限次的數(shù)值試驗(yàn),通過回歸擬合解析表達(dá)式來代替真實(shí)功能函數(shù)曲面 Z= G(X1,X2,… ,XN),用二次多項(xiàng)式不含交叉項(xiàng)表示響應(yīng)面函數(shù)的形式為

    然后用插值方法來確定表達(dá)式中的未知參量,關(guān)鍵在于確定響應(yīng)面函數(shù)的系數(shù)。多項(xiàng)式系數(shù)的確定一般以試驗(yàn)設(shè)計(jì)為基礎(chǔ),應(yīng)用二水平因子設(shè)計(jì)或中心復(fù)合設(shè)計(jì)回歸得到特定因子的最小二乘估計(jì)。響應(yīng)面法用二次多項(xiàng)式代替大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)極限狀態(tài)函數(shù),并且通過系數(shù)的迭代調(diào)整,一般都能滿足實(shí)際工程精度,具有較高的效率,很有使用價(jià)值,是一個(gè)很有發(fā)展前景的計(jì)算方法。

    1.4 蒙特卡羅法

    蒙特卡羅法又稱隨機(jī)抽樣技巧、概率模擬方法和統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)法。其理論基礎(chǔ)是概率論中的大數(shù)定理,因此它的優(yōu)點(diǎn)是其應(yīng)用范圍幾乎沒有什么限制。對(duì)基本變量相互獨(dú)立的情況,設(shè)基本變量X1,X2,…,Xn的分布函數(shù)分別為Fx1(x1),F(xiàn)x2(x2),…,F(xiàn)xn(xn),令Fxi(xi) = rj,rj是由蒙特卡羅法產(chǎn)生的隨機(jī)序列中的一個(gè)數(shù)。由此得到xi= F-1

    xi(rj),i=1,2,…,n。對(duì)于每個(gè) rj值可產(chǎn)生每個(gè)基本變量的相互獨(dú)立的子樣xi,將這些值帶入失效函數(shù)g(x)得出一個(gè)取值。若g(x)≤0,則在計(jì)算機(jī)程序中記入一次失效函數(shù)的實(shí)現(xiàn);若 g(x)>0,則不記入,這樣就完成了一次計(jì)算,再產(chǎn)生下一隨機(jī)數(shù),重復(fù)上面的計(jì)算,直至完成預(yù)定的試驗(yàn)次數(shù)為止。

    此時(shí),失效概率為

    式中,n是試驗(yàn)的總次數(shù),k是試驗(yàn)中g(shù)(x)≤0的次數(shù),比值k/n是統(tǒng)計(jì)變量,對(duì)于低的失效概率或n較小時(shí),估算Pf值容易發(fā)生相當(dāng)大的不定性。但當(dāng)模擬次數(shù)很大時(shí),直至趨于無窮大時(shí),能夠得出精確的 Pf值;若基本隨機(jī)變量相關(guān)時(shí),利用條件概率密度,把多維問題化為一維問題來解決。

    2 算例及各算法精度比較

    2.1 函數(shù)非線性程度的影響

    對(duì)于式(32)形式的功能函數(shù),其非線性程度主要取決于系數(shù)k的大小,取k=1,2,3,4,5,6共六種工況進(jìn)行分析。

    假設(shè)X1為正態(tài)隨機(jī)變量,X1的均值μx1=20,標(biāo)準(zhǔn)差σx1=4,對(duì)JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,如下表所示。

    表1 HL法與幾何法迭代次數(shù)比較

    表2 不同非線性各算法精度比較

    由表 1的數(shù)據(jù)可以看出,一次二階矩法中的幾何法在計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)時(shí),其迭代次數(shù)與JC法相當(dāng)。

    由表2的數(shù)據(jù)可以看出,幾何法的計(jì)算結(jié)果與JC法的計(jì)算結(jié)果相同;k=1時(shí),即功能函數(shù)為線性時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、優(yōu)化的 MC法的計(jì)算結(jié)果相同且都很接近于標(biāo)準(zhǔn)解;當(dāng)功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí),二次二階矩法的計(jì)算結(jié)果均大于一次二階矩法的計(jì)算結(jié)果;當(dāng)1<k<3時(shí),此時(shí)功能函數(shù)非線性程度較小,幾何法、JC法、二次二階矩法、優(yōu)化的MC法的計(jì)算結(jié)果有較小誤差,仍接近標(biāo)準(zhǔn)解;k≥3時(shí),隨著功能函數(shù)非線性程度的增大,四種方法的計(jì)算結(jié)果的誤差有所增大,優(yōu)化的MC法誤差最大;但k=5時(shí),幾何法、JC法、二次二階矩法的結(jié)果接近于標(biāo)準(zhǔn)解。

    2.2 函數(shù)變量類型的影響

    對(duì)式(32)的功能函數(shù),針對(duì)不同的變量類型,X1分別取對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量、極值I型隨機(jī)變量,取 k=1,X1的均值 μx1=20,標(biāo)準(zhǔn)差σx1=4,分別運(yùn)用JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo),并與上述正態(tài)隨機(jī)變量情況下對(duì)比,如下表所示。

    表3 不同變量類型各算法精度比較

    由表3的數(shù)據(jù)可知,k=1時(shí),此時(shí)功能函數(shù)為線性函數(shù):當(dāng)X1為正態(tài)隨機(jī)變量和對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果接近于標(biāo)準(zhǔn)解,但正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)果精度要優(yōu)于對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)變量的結(jié)果;當(dāng)X1為極值I型隨機(jī)變量時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的結(jié)果誤差較大。

    2.3 函數(shù)變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)的影響

    假設(shè)X1為正態(tài)隨機(jī)變量,X1的均值μx1=20,取 k=1,2,X1標(biāo)準(zhǔn)差 σx1=4,5,6,7,8,9。以六種工況比較JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果,如下表所示。

    表4 變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)不同各算法精度比較(k=1)

    表5 變量統(tǒng)計(jì)參數(shù)不同各算法精度比較(k=2)

    由表4數(shù)據(jù)可知,k=1,功能函數(shù)為線性函數(shù)時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果相同,都很接近于標(biāo)準(zhǔn)解,且隨著變量X1標(biāo)準(zhǔn)差的增大,精度變化不大。

    由表5數(shù)據(jù)可知,k=2,功能函數(shù)為非線性函數(shù)時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果的精度隨著變量X1標(biāo)準(zhǔn)差的增大而降低,且小于對(duì)應(yīng)的表4的數(shù)據(jù)。

    3 結(jié)論

    通過以上對(duì)可靠度理論的常用的四種計(jì)算方法的研究,有如下結(jié)論:

    (1)當(dāng)功能函數(shù)為線性函數(shù)或非線性程度較低,變量為正態(tài)隨機(jī)變量或?qū)?shù)正態(tài)隨機(jī)變量,且變異系數(shù)較小時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果均可滿足工程需要;

    (2)當(dāng)功能函數(shù)非線性程度較高,變量為極值I型隨機(jī)變量,且變異系數(shù)較大時(shí),JC法、幾何法、二次二階矩法、基于最優(yōu)化原理的蒙特卡羅法的計(jì)算結(jié)果均有較大誤差。

    [1]李典慶,周建方.結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算方法述評(píng) [J].河 海 大 學(xué) 常 州 分 校 學(xué)報(bào),2000,14(1):34-42.

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