新課標高考理科卷中概率與統(tǒng)計的探究

李龍飛

摘 要 概率與統(tǒng)計是每年高考必考內容之一，是一個?？嫉闹R點也是一個熱點，歷年在全國各地的高考題中所占的分量都較大，不但有大題出現(xiàn)，還有一部分小題，具體考查內容，考察的形式也多樣化，解題的方法也有很多，本文就對云南省的高考數(shù)學所考的新課標理科試卷中概率與統(tǒng)計解答題作些簡單分析與探究.

關鍵詞 高考 新課標 概率與統(tǒng)計 函數(shù) 分類討論

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2015）21-0010-02

概率與統(tǒng)計是每年高考必考內容之一，是一個常考的知識點也是一個熱點，歷年在全國各地的高考題中所占的分量都較大，具體考查內容、考察的形式也多樣化，解題的方法也有很多。近幾年云南省高考中的概率與統(tǒng)計解答題的特點是密切聯(lián)系教材，試題通常是通過對課本原題的改編，通過對基礎知識的重新組合、拓廣，從而成為立意高、情境新、設問巧，并賦予生活氣息、貼近學生實際的問題。以學生的學習生活為情景，貼近生活實際，這也充分顯示了數(shù)學來源于生活又服務于生活。高考對概率與統(tǒng)計的考查的力度一直都很大，通常是一個大題和一個小題，分數(shù)共計17分。其中解答題不僅題型在變化，而且問題的新穎度和廣度也在不斷加大，難度與深度基本保持不變。這幾年新課標卷考查的知識點包括：函數(shù)、概率、統(tǒng)計、分布列、數(shù)學期望。本文就對我們云南省的高考數(shù)學所考的新課標理科試卷中概率與統(tǒng)計解答題作些簡單分析與探究。

例1 （2012高考真題新課標理第18題）

某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進若干枝玫瑰花，然后以每枝 元的價格出售，如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。

（1）若花店一天購進16枝玫瑰花，求當天的利潤y（單位：元）關于當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式。

（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：

以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率。

（i）若花店一天購進16枝玫瑰花，X表示當天的利潤（單位：元），求X的分布列，數(shù)學期望及方差；

（ii）若花店計劃一天購進16枝或17枝玫瑰花，你認為應購進16枝還是17枝？請說明理由。

分析：本題考查函數(shù)、概率、統(tǒng)計、分布列、數(shù)學期望的綜合應用。

解：（1）當n≥16時，y=16€祝？0-5）=80

當n≤15時，y=5n-5（16-n）=10n-80

∴y=（n∈N）

（2）（i）X可取60，70，80

P（X=60）=0.1，P（X=70）=0.2，P=（X=80）=0.7

X的分布列為

EX=60€？.1+70€？.2+80€？.7=76

DX=162€？.1+62€？.2+42€？.7=44

（ii）購進17枝時，當天的利潤為

y=（14€？-3€？）€？.1+（15€？-2€？）€？.2+（16€？-1€？）0.16+17€？€？.54=76.4

又76.4>76所以，應購進17枝。

點評：以花店購進玫瑰花為情境，貼近生活實際；第（1）問簡單的分段函數(shù)的應用，也就是通過分類討論求出分段函數(shù)利潤 （單位：元）關于當天需求量 （單位：枝，n∈N）的函數(shù)解析式.同時問題（1）的解決為問題（2）的求解做好了鋪墊，第（2）的（i）是考查分布列、數(shù)學期望，結合頻數(shù)分布表及古典概型公式：P（A）=（包括等可能性事件的概率；互斥事件的概率加法公式等等）求得 取值的對應概率，從而得到 分布列、數(shù)學期望；第（ii）是考查數(shù)學期望的理解，當天的利潤也就是當天的利潤的數(shù)學期望，數(shù)學期望大的利潤就大。因此，購進16枝或17枝玫瑰花，只需要求出它們的數(shù)學期望問題就得以解決。

例2 （2013年新課標理科卷Ⅱ第19題）

經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內，每售出 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每 t虧損300元。根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示。經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130t該農(nóng)產(chǎn)品，以 （單位：t，100≤X≤150）表示下一個銷售季度內的市場需求量， （單位：元）表示下一個銷售季度內銷商該農(nóng)產(chǎn)品的利潤。

（Ⅰ）將T表示為X的函數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57000元的概率；

（Ⅲ）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率（例如：若X∈[100，110]，則取X=105，且X=105的概率等于需求量落入[100，110]的概率），求利潤 的數(shù)學期望。

分析：本題考查函數(shù)、概率、統(tǒng)計、分布列，數(shù)學期望的綜合應用。本題應用分類討論的思想將問題（Ⅰ）中T表示為X的函數(shù).同時問題（Ⅰ）的解決為問題（Ⅱ），（Ⅲ）的求解做好了鋪墊，再結合頻率分布直方圖求解。

解：（Ⅰ）當100≤X<130時

T=500X-300（130-X）=800X-39000

當130≤X≤150時

T=500€？30=65000

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知利潤T不少于57000元當且僅當

120≤X≤150

由直方圖需求量X∈[120，150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7。

（Ⅲ）依題意可得T的分布列為：

∴E（T）=45000€？.1+53000€？.2+61000€？.3+65000€？

0.4=594000

點評：以經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品為背景，貼近生活實際；第（Ⅰ）問簡單的分段函數(shù)的應用，也就是通過應用分類討論的思想將問題（Ⅰ）中T表示為X的函數(shù)。同時問題（Ⅰ）的解決為問題（Ⅱ）， （Ⅲ）的求解做好了鋪墊， 再結合頻率分布直方圖及公式：頻率=€鬃榫啵侍？Ⅱ）用頻率近視作為概率，從而得到相應的概率的估計值；問題 （Ⅲ）求出利潤T取值的對應概率，從而得到T分布列、數(shù)學期望。

從上面的例題，我們可以看出，近幾年云南省高考中的概率與統(tǒng)計解答題的特點是密切聯(lián)系教材，試題通常是通過對課本原題的改編，通過對基礎知識的重新組合、拓廣，從而成為立意高、情境新、設問巧、并賦予生活氣息、貼近學生實際的問題。以學生的學習生活為情景，貼近生活實際，這也充分顯示了數(shù)學來源于生活又服務于生活。高考對概率與統(tǒng)計的考查的力度一直都很大，通常是一個大題和一個小題，分數(shù)共計17分。其中解答題不僅題型在變化，而且問題的新穎度和廣度也在不斷加大，難度與深度基本保持不變。這幾年新課標卷考查的知識點包括：函數(shù)、概率、統(tǒng)計、分布列、數(shù)學期望。通過對高考命題的回顧現(xiàn)總結如下：

1.在復習中，概率與統(tǒng)計這部分的內容不能忽視，從新課標理科卷中的試卷看到每年均有一個概率的選擇題或填空題；都有一個概率解答題，概率經(jīng)常與統(tǒng)計相結合考查。例如概率與統(tǒng)計中的抽樣、頻率分布直方圖、莖葉圖、回歸方程、獨立性檢驗等等相結合考查。所以在復習中應引起足夠的重視，新課標理科卷中都沒有出現(xiàn)幾何概型，以后有可能出現(xiàn)也不能忽視。

2.在復習中，應充分研究大綱、考綱，使學生掌握：

（1）古典概型：P（A）=（包括：①了解隨機事件的統(tǒng)計規(guī)律性；隨機事件，等可能事件，互斥事件等等的概率；②會用排列組合基本公式計算等可能事件的概率；會用互斥事件的概率加法公式計算事件的概率等）。

（2）幾何概型：

P（A）=

（3） ①條件概率：P（B|A）=（P（A）>0）

②二項分布：a.若X～B（n，p） 則P=（X=k）=CknPk（1-P）n-k（k=0，1，2，…，n）；

b.若X～B（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1-p）.

③正態(tài)分布：若X～N（ ， 2），則E（X）= ，D（X）= 2等等。

3.在復習中，應注意培養(yǎng)學生善于從普通語言中捕捉信息、將普通語言轉化為數(shù)學語言的能力，使學生能以數(shù)學語言為工具進行數(shù)學思維與數(shù)學交流。

4.在復習中，應要求學生平時多關心國家大事，了解信息社會，講究聯(lián)系實際，重視數(shù)學在生產(chǎn)、生活及科學中的應用，并加強對學生進行偶然性與必然性的對立統(tǒng)一觀點的教育。

（責任編輯 全 玲）